初中数学竞赛辅导资料（53）

189 初中数学竞赛辅导资料 53 条件等式的证明 甲内容提要甲内容提要 1 恒等式 如果等式中所含的字母在允许值范围内 用任何实数值代替它 等式都能 成立 那么这个等式叫做恒等式 例如 a b b a a b 2 a2 2ab b2 x x 0 x 4 x x4 2 2 a 在实数范围内 a 0 a 在实数范围内 n 为正奇数 a nn a 都是恒等式 只含常数的等式是恒等式的特例 如 3 2 1 32 32 1 2 条件等式 满足一定条件下的等式 称为条件等式 方程是条件等式 解方程就是 求出能满足等式的条件 未知数的值 3 证明条件等式就是在题设的条件下 判断恒等式 4 证明条件等式的方法 除和证明恒等式的一般方法 见第 20 讲 以外 要特别注意 如何把已知的条件用上 一般有以下几种 用已知的条件直接代入 即等量代换 变形后代入 包括把已知变形 或把结论变形 引入参数后代入 包括换元 5 分式 根式在恒等变形时 要注意字母保持允许值的范围不变 乙例题乙例题 例 1 已知 且 x y z 0 a zy x b xz y c yx z 求证 1 111 c c b b a a 分析 设法化为同分母 轮换式可先代入一式 其余的可用同型式 用已知直接代入 证明 zyx x zy x zy x a a 1 1 根据 轮换式的性质 得 c c b b a a 111 1 zyx z zyx y zyx x 190 例 2 已知 cbacba 1111 求证 n 是整数 12121212 1111 nnnn cbacba 分析 先把已知变形 找出 a b c 之间的关系 证明 由已知 去分母 得 bc a b c ac a b c ab a b c abc a b c bc ac ab a b 0 a b b c c a 0 a b 或 b c 或 c a n 是整数 2n 1 是奇数 当 a b 时 左边 12121212 111 1 nnnn ccbb 右边 12 1 n cbb 12 1 n c 即 a b 时 等式成立 同理可证 当 b c 和 c a 时 等式也成立 n 为整数 12121212 1111 nnnn cbacba 例 3 已知 ax3 by3 cz3 1 111 zyx 求证 3 222 czbyax 333 cba 证明 设 ax3 by3 cz3 k 引入参数 那么 ax2 by2 cz2 代入左边 x k y k z k 得 左边 3 33 111 k zyx k z k y k x k 而且 a b c 代入右边 3 x k 3 y k 3 z k 得 右边 3 3 3 3 3 3 z k y k x k zyx 111 3 k 3 k 3 222 czbyax 333 cba 191 例 4 已知 abc 0 方程 ac bc x2 bc ab x ab ac 0 有两个相等实根 求证 bcab 1111 分析 要等式成立 必须且只须 ac bc ab ac bcab 1111 证明 方程有两个相等的实数根 0 即 bc ab 2 4 ac bc ab ac 0 bc ab ac ac 2 4 bc ac ab ac 0 添项 ac ac bc ac ab ac 2 4 bc ac ab ac 0 bc ac ab ac 2 0 bc ac ab ac 0 ac bc ab ac abc 0 两边都除以 abc 得 bcab 1111 例 5 已知 a a b c a c c b b 111 求证 a2b2c2 1 证明 由已知 a b bc 11 bc cb a b 即 a b 0 bc ba cb 根据轮换式性质 得同型式 ca ab cb ac ac ba ab bc ca ac ba ba cb cb ac a2b2c2 1 丙练习丙练习 53 1 已知 abc 1 求证 1 111 cca c bbc b aab a 2 已知 x y z ba ba cb cb ac ac 求证 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 3 已知 ay bx 2 bz cy 2 cx az 2 0 求证 c z b y a x 4 已知 求证 a b c 2 a2 b2 c2 2 a b c a c c b b a 5 已知 zxy c yzx b xyz a 222 求证 a b c 0 192 6 已知 a b c 0 b bac a acb c cba 求证 8 abc accbba 7 已知 1949x2 1988y2 且 x 0 y 0 1 11 yx 求证 1988194919881949 yx 8 已知 x 且 a 0 b0 0 b 1 求证 1 2 2 b ab bxaxa xaxa1 10 求证 4 3 21420