山东科技大学概率统计简明教程主编卓相来第七章详细答案-石油大学出版社

习题七 1 已知总体的概率密度为 其中为未知参数 X 1 01 0 xx f x 其他 1 是来自总体的一组样本 试求的最大似然估计量 n XXX 21 X 解解 构造似然函数 11 1 nn n jj jj Lf xx 故 令 1 ln ln 1 ln n i j Lnx 1 ln ln0 1 n j j dLn x d 所以的最大似然估计量为 1 1 ln n j j n x 2 已知总体的概率密度为 其中为已知 X 1 0 C xxC f x 其他 0 C 为未知参数 是来自总体的样本 试求的矩估计量与最大似1 n XXX 21 X 然估计量 解 1 1 c C E Xxf x dxx C xdx 由 所以的矩估计量为 1 C X CX X 构造似然函数 1 1 n j j LC x 12 n x xxC 1 ln lnln 1 ln n j j Lnncx 令方程 1 ln lnln0 n j j dLn nCx d 所以的最大似然估计量为 1 lnln n j j n XnC 3 设总体服从参数为 的二项分布 为已知 为未知 是总体Xnpnp 21n XXX 的一个样本 为其样本观察值 试求X 21n xxx 1 参数的矩估计量和最大似然估计量 p 2 与之比的矩估计值 p 1p 解 1 令所以的矩估计量为 E Xnp 1 E XAX p X p n 构造似然函数 1 1 j jj n n xxx n j L pCpp 取对数 1 lnlnlnln 1 j n x njj j L pCxpnxp 111 lnlnln 1 j nnn x njj jjj Cpxpnx 令 11 ln11 0 1 nn jj jj dL p xnx dppp 所以最大似然估计量p X p n 2 的矩估计值为 1 p p 1 X X n XnX n 4 设总体的概率密度为X 1 1 1 01 0 xxx f x 其它 其中为未知参数 是总体的一个样本 试求0 21n XXX X 1 参数的矩估计量 2 当样本观察值为 时 求未知参数的矩估计量 43 0 35 0 5 0 6 0 4 0 2 0 3 未知参数的最大似然估计量 解 1 1 1 0 1 1 E Xxf x dxxxx dx 1111 112 0000 1 1 1 2 x dxxdxxx 1 22 令所以的矩估计量为 1 E XAX 2 1 X X 2 0 20 40 60 50 350 431 24 63 X 所以的矩估计量为 1 24 2 3 1 409 1 24 1 3 3 构造似然函数 1 1 1 1 n jj j Lxx 取对数 1 lnlnln11 lnln 1 n jj j Lxx 11 lnln11lnln 1 nn jj jj nnxx 令得 1 ln ln0 1 n j j dLnn x d 1 211 ln 1 n j j xc n 即由于 2 2 24 210 2 cc cc c 0 所以的最大似然估计量为 2 1 241 ln 2 n j j cc cx cn 5 设总体的分布律为X 2 1 Xp 1 2 2 Xp 2 1 3 Xp 其中 为未知参数 已知取得了样本值 试求未知参数 10 1 1 x2 2 x1 3 x 的矩估计值和最大似然估计值 解 22 2 2 1 3 1 32 E X 令所以的矩估计量为又因为 1 32 E XAX 3 2 X 12 14 33 X 所以 4 3 5 3 26 构造似然函数 3 225 1 1 2 1 2121 j j Lf xfff 取对数 ln2 5lnln 1 L 令所以的最大似然估计量为 ln51 20 1 dL d 5 6 6 设是总体的一个样本 试证统计量 321 XXXX 3211 5 2 5 1 5 2 XXXT 3212 2 1 3 1 6 1 XXXT 3213 14 9 14 3 7 1 XXXT 都是总体的均值的无偏估计量 并指出那一个统计量的估计最有效 X E X 解 1123123 212212212 555555555 E TEXXXE XE XE XE XE X 同理 2123 111111 632632 E TEXXXE XE X 3123 139139 7141471414 E TEXXXE XE X 所以都是无偏估计量 123 TTT 123 41491447 252525253698 D TD XD XD TD XD TD X 因为所以最有效 1213 D TD TD TD T 1 T 7 设总体 是总体的一个样本 如果参数为已知 试证统 2 XN 21n XXX X 计量是总体方差的无偏估计量 n j j X n 1 22 1 2 解 222222 1111 111 22 nnnn jjjj jjjj XXuXnuXuXu nnn 又因为所以 2 222 jjj E XD XEXuE Xu 2222222 11 11 22 nn j jj EEXuXuuuuu nn 所以统计量是总体方差的无偏估计量 n j j X n 1 22 1 2 8 设是来自总体的一个样本 记 n XXX 21 2 NX n i i X n X 1 1 证明 是的无偏估计量 2 1 2 1 1 XX n S n i i 22 1 S n XU U 2 证 1 1 2222 S n EXES n XEUE 22 1 D XE XE S n 222 2 1 nn 所以是的无偏估计量 U 2 9 设总体的均值为方差为分别独立从总体中抽取样本X u 2 X 样本均值分别为令 1212 mn XXXY YY X Y uaXbY 1 当满足什么条件时 是的无偏估计量 ab和 uu 2 当为何值时 1 式中的无偏估计量的方差最小 ab和u u 解 1 因为 E uE aXbYaE XbE Yab u 为了使是的无偏估计量 应有 uaXbY u1 ab 2 相互独立 所以XY与 2 222 2222 1 aaba D uD aXbYa D Xb D Y mnmn 令 2 2 222 12 12 20 dD u aadaanamma dadamnmnmn 得 1 mn aba mnmn 又因为 2 2 2 20 d D u mn damn 所以当 时 的无偏估计量的方差最小 1 mn aba mnmn u u 10 某工厂生产滚球 从长期实践中知道 滚球直径 现从某天的产品中随机 2 0 20 XN 抽取 6 个 测得直径如下 单位 mm 1 15 2 15 8 14 9 14 0 15 7 14 试求未知参数的一个置信水平分别为的置信区间 99 090 0 和 解 这里查表得14 95 0 20 6Xn 0 050 005 1 645 2 575 ZZ 置信区间为 22 XzXz nn 的置信水平为的置信区间为 0 90 14 82 15 08 的置信水平为的置信区间为 0 99 14 74 15 16 11 某人对铁的溶化点作了 4 次试验 得其结果为 C1550 C 1540C1530 C1560 如果铁的溶化点 试求未知参数的一个置信水平分别为的置信区间 2 XN 95 0 解 这里 0 025 10 95 0 025 33 1824 1545 12 9099 2 tXS 的置信水平为的置信区间为 95 0 2 12 9099 1 15453 1824 4 S Xtn n 即 1524 46 1565 54 12 为考察某大学成年男性的胆固醇水平 现抽取了样本容量为 25 的一个样本 并测得样本 均值 样本标准差为 假定所设成年男性的胆固醇水平 参数 186X 12S 2 XN 均为未知 试求未知参数及的一个置信水平分别为的置信区间 2 90 0 解 这里 22 0 050 050 95 10 90 0 05 241 7109 2436 415 2413 848 2 t 的置信水平为 0 90 的置信区间为 2 12 1 1861 7109 25 S Xtn n 即 181 89 190 11 的置信水平为 0 90 的置信区间为 22 21 2 1124 1224 12 36 41513 848 1 1 nSnS nn 即 9 74 15 80 13 某糖厂用自动包装机装糖 设各包重量服从正态分布 某日开工后测得 9 包重 2 N 量为 单位 kg 99 398 7100 5101 298 399 799 5102 1 100 5 试求未知参数的一个置信水平分别为的置信区间 95 0 解 这里 2 0 025 10 95 0 025 82 306 99 978 1 47 2 tXS 的置信水平为的置信区间为 95 0 2 1 47 1 99 9782 306 9 S Xtn n 即 99 046 100 91 14 两个地区种植同一型号的小麦 现抽取了 19 块面积相同的麦田 其中 9 块属于区 A BA 另外 10 块属于区 测得它们的小麦产量 以 kg 计 分别如下B 地区 A 100 105 110 125 110 98 105 116 112 地区 B 101 100 105 115 111 92 106 121 102 107 设地区的小麦产量 地区的小麦产量 参数均为未A 2 1 XN B 2 2 YN 2 21 知 试求这两个地区的小麦的平均产量之差的一个置信水平为的置信区间 21 90 0 解 这里 12120 05 10 90 0 05 9 10 217 171 7396 2 nnnnt 2 12 8 68 759 67 33 109 106 8 2916 8 2057 8 2462 17 XYSSSS 的置信水平为的置信区间为 21 90 0 21 2 12 11 2 3 59 9 59 w XYtnnS nn 15 某公司利用两条自动化流水线罐装矿泉水 现从两条自动化流水线上生产的矿泉水中分 别抽取瓶和瓶 并测量每瓶矿泉水的体积 毫升 进而算得样本均值分别为1217 和 样本方差分别为和 假定这两条自动化流水线所501 1X 499 7Y 2 1 2 4S 2 2 4 7S 装矿泉水的体积都分别服从正态分布和 试求的一个置信水 2 1 N 2 2 N 21 平为的置信区间 95 0 解 这里 12120 025 10 95 0 025 12 17 227 272 0518 2 nnnnt 12 222 11 2 4 16 4 7 501 1 499 7 2 4 4 7 3 763 1 9398 27 XYSSSS 的置信水平为的置信区间为 21 0 95 22 12 2 12 0 101 2 901 XYz nn 16 设两位化验员独立地对某钟化合物的含氯量用相同的方法各作次测量 其测量 A B10 值的样本方差分别为 设 分别为化验员所测量的测量值5419 0 2 1 S 2 2 0 6065S 2 1 2 2 A B 总体的方差 总体均为正态总体 求方差比 的置信水平为的置信区间 2 1 2 2 0 95 解 这里 12 2120 025 0 05 10 10 1 1 9 9 4 03 nnFnnF 1 2120 975 1 1 1 9 9 0 248 4 03 FnnF 方差比 的置信水平为的置信区间为 2 1 2 2 0 95 22 11 22 212212 1 22 110 541910 54191 1 1 1 1 0 60654 03 0 60650 248 SS SFnnSFnn 即 601 3 222 0 17 为比较甲 乙两种灯泡的寿命 从甲型灯泡中随机抽取只 测得样本均值为8 小时 样本标准差为 小时 从乙型灯泡中随机抽取只 测得样2000X 1 80S 10 本均值为 小时 样本标准差为 小时 假定甲 乙两种灯泡的寿命1900Y 2 100S 分别服从正态分布和 且相互独立 试求两个正态分布的方差比 2 11 N 2 22 N 的置信水平为的置信区间 2 2 2 1 90 0 解 这里 12 2222 12 10 90 0 05 8 10 80 100 2 nnSS 0 050 95 0 05 11 7 9 3 29 7 9 9 7 3 68 FF F 方差比 的置信水平为的置信区间为 2 1 2 2 0 95 22 11 22 212212 1 22 11 0 19 2 35 1 1 1 1 SS SFnnSFnn 18 从一批灯泡中随机抽取只做试验 测得其寿命为5 10501100113012501270 设灯泡寿命 试求未知参数的置信水平为的单侧置信下限 2 XN 0 95 解 这里 2 0 05 10 95 5 142 1318 1160 9950 ntntXS 的置信水平为的单侧置信下限为 0 95 1 1065 S Xtn n 19 对于方差为已知的正态总体 要使均值的置信水平为的置信区间的长度不 2 1 小于 抽取的样本容量至少应为多大 2n 解 方差为已知的正态总体 均值的置信水平为的置信区间为 2 1 2 Xz n 要是区间长度则 2 22 z n 2 2 z n 20 设总体 其中为已知 为未知参数 是来自总