用二分法求方程的近似解知识点

用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 1 二分法 对于区间 a b 上连续不断 且 f a f b 0 的函数 y f x 通过不断地把函数 f x 的零点所在的 区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 bisection 函数零点的性质是二分法求函数变号零点近似值的重要依据 必须是满足区间 a b 上连续不断 且 f a f b 0 这两个条件的函数才能用二分法求得零点的近似值 2 用二分法求函数零点 给定精确度 用二分法求函数 f x 零点近似值的步骤如下 1 确定区间 a b 验证 f a f b 0 给定精确 度 2 求区间 a b 的中点 3 计算 f x1 1 若 f x1 0 则 x1就是函数的零点 2 若 f a f x1 0 则令 b x1 此时零点 x0 a x1 3 若 f x1 f b 0 则令 a x1 此时零点 x0 x1 b 4 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值 a 或 b 否则重复步骤 2 4 3 用二分法求方程近似解 不解方程 如何求方程 x2 2x 1 0 的一个正的近似解 精确到 0 1 怎样理解是否达到精度要求了 设函数的零点为 x0 则 a x0 b 作出数轴 在数轴上标出 a b x0对应的点 所以 0 x0 a b a a b x0 b 0 由于 a b 所以 x0 a b a x0 b a b 即 a 或 b 作为函数的零点 x0 的近似值都达到给定的精确度 由函数的零点与相应方程根的关系 我们可用二分法来求方程的近似解 由于计算量较大 而且是重复相同的步骤 因此 我们可以通过设计一定的计算程序 借助计算器或计算 机完成计算 在计算器或计算机中安装一个方程数值解法的程序 当我们输入相应的方程 并给出精确度 有 效数字 后 计算器或计算机就会依据程序进行运算了 例 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x 3x 7 的近似解 精确到 0 1 解 原方程即 2x 3x 7 0 令 f x 2x 3x 7 借助计算器或计算机作出该函数的图象与对应值表 解 原方程即 2x 3x 7 0 令 f x 2x 3x 7 借助计算器或计算机作出该函数的图象与对应值表 x0123456 7 8 f x 6 2310214075142 273 观察图表 可知 f 1 f 2 0 说明这个函数在区间 1 2 内由零点 下面是求方程近似解的框图 根据框图 可选择一种计算机语言 写出程序 并在计算机上运行后得出结果 4 二分法不仅仅用于求函数的零点和方程的根 它在现实生活中也有许多重要的应用 常用于 查找线路电线 水管 气管等管道线路故障 实验设计 资料查询等 在一个风雨交加的夜里 从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障 这是一条 10km 长的线路 如何迅 1 速查出故障所在 如果沿着线路一小段一小段查找 困难很多 每查一个点要爬一次电线杆子 10km 长 大约有 200 多根电线杆子呢 想一想 维修线路的工人师傅怎样工作最合理 如图 设闸门和指挥部的所在处为点 A B 1 首先从中点 C 查 2 用随身带的话机向两端测试时 发现 AC 段正常 断定故障在 BC 段 3 再到 BC 段中点 D 4 这次发现 BD 段正常 可见故障在 CD 段 5 再到 CD 中点 E 来看 6 这样每查一次 就可以把待查的线路长度缩减一半 要把故障可能发生的范围缩小到 50 100m 左右 即一两根电线杆附近 要检查 77 次 从上海到美国旧金山的海底电缆有 15 个节点 现在某节点发生故障 需及时修理 为尽快断定故障发生点 2 一般至少需要检查节点的个数为多少 要检查节点的个数为 3 个 下列函数图像与 x 轴均有交点 但不宜用二分法求交点横坐标的是 B 3 方程 lnx 2x 6 在区间上的根必定属于区间 B A 2 1 B 2 5 4 C 1 7 4 4 D 7 4 5 2 函数 f x x2 4x 4 在区间 4 1 上 B A 没有零点 B 有一个零点 C 有两个零点 D 有无数个零点 5 5 用二分法求方程 f x 0 或 g x h x 近似解基本步骤 寻找解所在区间 1 1 图像法 先画出 y f x 图象 观察图象与 x 轴交点横坐标所处的范围 或画出 y g x 和 y h x 的图象 观察两图象的交点横坐标所处的范围 2 函数性态法 把方程均转换为 f x 0 的形式 再利用函数 y f x 的有关性质 如单调性 来判断解所在的区间 不断二分解所在的区间 2 若 x a b 不妨设 f a 0 1 若 f a b 2 0 由 f a 0 则 x a a b 2 2 若 f a b 2 0 则 x a b 2 b 3 若 f a b 2 0 则 x a b 2 对 1 2 两种情形再继续二分法所 在的区间 根据精确度得出近似解 当 x m n 且 m n 根据精确度得到的近似值均为同一个值 p 时 则 x p 即求 3 得了近似解 例 在用二分法求方程的近似解时 若初始区间是 1 5 精确度要求是 0 001 则需要计算的次数是 根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系确定 设需计算 n 次 则 n 满足 4 2n 0 001 即 2n 4000 由于 211 2048 212 4096 故计算 12 次就可以满足精确度要求 故填 12 在用二分法求方程的近似解时 精确度与计算次数 区间长度之间存在紧密的联系 可以根据其中两个量求 得另一个 当然 在实际求解过程中也可能用不到 12 次 也许 11 次 甚至 10 次即可解决问题 但前提是到结束时 区间的两个端点精确到与所要求的精确度的近似值相同 例 方程 f x 0 在 0 1 内的近似解 用二分法计算到 x10 0 445 达到精确度要求 求所取误差限 根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足 b a 2n 1 精确度确定 解 由题知计算了 10 次满足精确度要求 所以 b a 2n 1 1 211 1 2048 0 00049 故所取误差限 是 0 0005 故答案为