常微分试题(35)

期中测验考试卷期中测验考试卷 9 一 填空题 1 方程的所有常数解是 yx x y tan d d 2 2 方程的常数解是 0d 1 1 d 22 yxyxyx 3 一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的 一条曲线 4 方程的基本解组是 0 yy 二 选择题 1 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 个 n A B 1 C 1 D nnn 2n 2 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条 件 A 充分 B 必要 C 充分必要 D 必要非 充分 3 方程过点共有 个解 2 1 d d y x y 1 2 A 一 B 无数 C 两 D 三 4 方程 奇解 xxy x y d d A 有一个 B 有两个 C 无 D 有无数 个 5 方程的奇解是 y x y d d A B C D xy 1 y1 y0 y 三 计算题 1 x y y 22 yx 2 tgydx ctydy 0 3 0dd 2 yxxyx 4 1 d d x y x y 5 0d ln d 3 yxyx x y 四 求下列方程的通解或通积分 1 1 d d 2 yx x y y 2 2 d d x y x y x y 3 x y x y 2 e3 d d 试卷答案 一 填空题 1 ky 2 1 0 k 2 1 y1 x 3 2 4 xcosxsin 二 选择题 1 A 2 B 3 B 4 C 5 D 三 计算题 1 解 将方程改写为 令 u 得到 x y 2 1 x y x y x y y u 则 变为 x 变量分离并两边积分得 u dx du u 1 arcsinu ln lnC 故方程的解为 arcsin lnCx u x y 2 解 变量分离 ctgxdy tgydx 两边积分得 ln siny ln C 或 sinycosx C 另外 由 tgy 0 或 ctgx 0 得 xcos y k k 0 1 x t t 0 1 也是方程的解 2 tgy 0 或 ctgx 0 的解是 当 C 0 时的特殊情况 故原方程 的解为 sinycosx C 3 方程化为 x y x y 21 d d 令 则 代入上式 得xuy x u xu x y d d d d u x u x 1 d d 分量变量 积分 通解为 1 Cxu 原方程通解为 xCxy 2 4 解 齐次方程的通解为 Cxy 令非齐次方程的特解为 xxCy 代入原方程 确定出 CxxC ln 原方程的通解为 Cxy xxln 5 解 因为 所以原方程是全微分方程 x N xy M 1 取 原方程的通积分为 0 1 00 yx 即Cyyx x y yx 0 3 1 ddCyxy 4 4 1 ln 四 求下列方程的通解或通积分 1 解 当时 分离变量得1 y xxy y y dd 1 2 等式两端积分得 1 2 dd 1 Cxxy y y 1 22 2 1 1ln 2 1 Cxy 1 2 22 e e1 Cx CCy 方程的通积分为 2 e1 2x Cy 2 解 令 则 代入原方程 得xuy x u xuy d d 2 d d uu x u xu 2 d d u x u x 当时 分离变量 再积分 得0 u C x x u u dd 2 Cx u ln 1 Cx u ln 1 即通积分为 Cx x y ln 3 解 齐次方程的通解为 x Cy