2016年高考试题（数学文）山东卷 解析精校版[来源：学优网1256448]

绝密 启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 文科数学文科数学 本试卷分第 卷和第 卷两部分 共 4 页 满分 150 分 考试用时 120 分钟 考试结束后 将将本试卷 和答题卡一并交回 注意事项 1 答卷前 考生务必用 0 5 毫米黑色签字笔将自己的姓名 座号 考生号 县区和科类填写在答题卡 和试卷规定的位置上 2 第 卷每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦 干净后 再选涂其他答案标号 答案写在试卷上无效 3 第 卷必须用 0 5 毫米黑色签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置 不 能写在试卷上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不能使用涂改液 胶带纸 修正带 不按以上要求作答的答案无效 4 填空题请直接填写答案 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤 参考公式 如果事件A B互斥 那么P A B P A P B 如果事件A B独立 那么P AB P A P B 第第 I I 卷 共卷 共 5050 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 设集合 则 1 2 3 4 5 6 1 3 5 3 4 5 UAB U AB A B C D 2 6 3 6 1 3 4 5 1 2 4 6 答案 A 解析 试题分析 由已知 所以 1 3 5 3 4 5 1 3 4 5 AB 1 3 4 5 2 6 UU CABC 选 A 考点 集合的运算 名师点睛 本题主要考查集合的并集 补集 是一道基础题目 从历年高考题目看 集合的基本运算 是 必考考点 也是考生必定得分的题目之一 2 若复数 其中 i 为虚数单位 则 2 1i z z A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 答案 B 来源 gkstk Com 考点 1 复数的运算 2 复数的概念 名师点睛 本题主要考查复数的运算及复数的概念 是一道基础题目 从历年高考题目看 复数题目往往 不难 有时运算与概念 复数的几何意义综合考查 也是考生必定得分的题目之一 来源 学优高考网 gkstk 3 某高校调查了 200 名学生每周的自习时间 单位 小时 制成了如图所示的频率分布直方图 其中 自习时间的范围是 17 5 30 样本数据分组为 17 5 20 20 22 5 22 5 25 25 27 5 27 5 30 根据直方图 这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22 5 小时的人数是 A 56 B 60 C 120 D 140 答案 D 解析 试题分析 由频率分布直方图知 自习时间不少于 22 5 小时的有 200 0 160 080 04 2 5140 选 D 考点 频率分布直方图 名师点睛 本题主要考查频率分布直方图 是一道基础题目 从历年高考题目看 图表题已是屡见不鲜 作为一道应用题 考查考生的视图 用图能力 以及应用数学解决实际问题的能力 4 若变量 x y 满足则 x2 y2的最大值是 2 239 0 xy xy x A 4 B 9 C 10 D 12 答案 C 解析 试题分析 画出可行域如图所示 点到原点距离最大 所以31A 选 C 22 max 10 xy 考点 简单线性规划 名师点睛 本题主要考查简单线性规划的应用 是一道基础题目 从历年高考题目看 简单线性规划问题 是不等式中的基本问题 往往围绕目标函数最值的确定 涉及直线的斜率 两点间距离等 考查考生的绘 图 用图能力 以及应用数学解决实际问题的能力 5 一个由半球和四棱锥组成的几何体 其三视图如图所示 则该几何体的体积为 A B 12 33 12 33 C D 12 36 2 1 6 答案 C 考点 1 三视图 2 几何体的体积 名师点睛 本题主要考查三视图及几何体的体积计算 本题涉及正四棱锥及球的体积计算 综合性较强 较全面的考查考生的视图用图能力 空间想象能力 数学基本计算能力等 6 已知直线 a b 分别在两个不同的平面 内 则 直线 a 和直线 b 相交 是 平面 和平面相交 的bb A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 来源 学优高考网 gkstk C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 试题分析 直线和直线相交 平面和平面相交 但 平面和平面相交 直线和直线ab a 相交 所以 直线和直线相交 是 平面和平面相交 的充分不必要条件 故选 A bab 考点 1 充要条件 2 直线与平面的位置关系 名师点睛 充要条件的判定问题 是高考常考题目之一 其综合性较强 易于和任何知识点结合 本题涉 及直线与平面的位置关系 突出体现了高考试题的基础性 能较好的考查考生分析问题解决问题的能力 空间想象能力等 7 已知圆 M 截直线所得线段的长度是 则圆 M 与圆 N 22 20 0 xyaya 0 xy 2 2 的位置关系是 22 1 1xy 1 A 内切 B 相交 C 外切 D 相离 答案 B 解析 试题分析 由 得 所以圆的圆心为 半径为 22 20 xyay 0a 2 22 xyaa 0a 0 a 1 ra 因为圆截直线所得线段的长度是 所以 解得 圆 0 xy 2 2 2 2 22 2 2 2 11 a a 2a 的圆心为 半径为 所以 因为 1 1 2 1r 22 0 12 12 12 3rr 12 1rr 所以圆与圆相交 故选 B 1212 rrrr 考点 1 直线与圆的位置关系 2 圆与圆的位置关系 名师点睛 本题主要考查直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系问题 是高考常考知识内容 本题综合 性较强 具有 无图考图 的显著特点 解答此类问题 注重 圆的特征直角三角形 是关键 本题能较 好的考查考生分析问题解决问题的能力 基本计算能力等 8 中 角 A B C 的对边分别是 a b c 已知 则 A ABC 22 2 1sin bc abA A B C D 3 4 3 4 6 答案 C 考点 余弦定理 名师点睛 本题主要考查余弦定理的应用 三角函数的同角公式及诱导公式 是高考常考知识内容 本题 难度较小 解答此类问题 注重边角的相互转换是关键 本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力 基本计算能力等 9 已知函数 f x 的定义域为 R 当 x 0 时 f x x3 1 当 1 x 1 时 f x f x 当 x 时 f x 1 2 1 2 f x 则 f 6 1 2 A 2 B 1 C 0 D 2 答案 D 解析 试题分析 当时 所以当时 函数是周期为 的周期函数 所以 1 2 x 11 22 f xf x 1 2 x f x1 又因为当时 所以 故选 6 1 ff 11x fxf x 3 1 1 112ff D 考点 1 函数的奇偶性与周期性 2 分段函数 名师点睛 本题主要考查分段函数的概念 函数的奇偶性与周期性 是高考常考知识内容 本题具备一定 难度 解答此类问题 关键在于利用分段函数的概念 发现周期函数特征 进行函数值的转化 本题能较好 的考查考生分析问题解决问题的能力 基本计算能力等 10 若函数的图象上存在两点 使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直 则称具 yf x yf x 有 T 性质 下列函数中具有 T 性质的是 A B C D sinyx lnyx exy 3 yx 答案 A 解析 试题分析 由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知 存在两点处的切线斜率的积 即导函数值的乘积 为负一 当时 有 所以在函数图象存在两点使条sinyx cosyx cos0 cos1 sinyx 0 xx 件成立 故 A 正确 函数的导数值均非负 不符合题意 故选 A 3 ln x yx yeyx 考点 1 导数的计算 2 导数的几何意义 名师点睛 本题主要考查导数的计算 导数的几何意义及两直线的位置关系 本题给出常见的三角函数 指数函数 对数函数 幂函数 突出了高考命题注重基础的原则 解答本题 关键在于将直线的位置关系与 直线的斜率 切点处的导数值相联系 使问题加以转化 利用特殊化思想解题 降低难度 本题能较好的考 查考生分析问题解决问题的能力 基本计算能力及转化与化归思想的应用等 第第 II 卷 共卷 共 100 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分 分 11 执行右边的程序框图 若输入 n 的值为 3 则输出的 S 的值为 答案 1 考点 程序框图 名师点睛 自新课标学习算法以来 程序框图成为常见考点 一般说来难度不大 易于得分 题目以程序 运行结果为填空内容 考查考生对各种分支及算法语言的理解和掌握 本题能较好的考查考生应用知识分 析问题解决问题的能力等 12 观察下列等式 22 2 4 sin sin 1 2 333 2222 2 3 4 4 sin sin sin sin 2 3 55553 2222 2 3 6 4 sin sin sin sin 3 4 77773 2222 2 3 8 4 sin sin sin sin 4 5 99993 照此规律 2222 2 3 2 sin sin sin sin 21212121 n nnnn 答案 4 1 3 nn 考点 合情推理与演绎推理 名师点睛 本题主要考查合情推理与演绎推理 本题以三角函数式为背景材料 突出了高考命题注重基 础的原则 解答本题 关键在于分析类比等号两端数学式子的特征 找出共性 总结规律 降低难度 本题 能较好的考查考生逻辑思维能力及归纳推理能力等 13 已知向量若 则实数 t 的值为 1 16 4ab atab 答案 5 解析 试题分析 解得 6 4 6 41 12100tabtttabattt 5t 考点 平面向量的数量积 名师点睛 本题主要考查平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 解答本题 关键在于能从 出发 转化成为平面向量的数量积的计算 本题能较好的考查考生转化与化归思想 基本运算 atab 能力等 14 已知双曲线 E 1 a 0 b 0 矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上 AB CD 的中点为 E 的 2 2 x a 2 2 y b 两个焦点 且 2 AB 3 BC 则 E 的离心率是 答案 2 解析 试题分析 依题意 不妨设 作出图象如下图所示6 4ABAD 则故离心率 21 24 2 2532 1 ccaDFDFa 2 2 1 c a 考点 双曲线的几何性质 名师点睛 本题主要考查双曲线的几何性质 本题解答 利用特殊化思想 通过对特殊情况的讨论 转化 得到一般结论 降低了解题的难度 本题能较好的考查考生转化与化归思想 一般与特殊思想及基本运算能 力等 15 已知函数 其中 若存在实数 b 使得关于 x 的方程 f x b 有 2 24 xxm f x xmxm xm 0m 三个不同的根 则 m 的取值范围是 答案 3 解析 试题分析 画出函数图象如下图所示 由图所示 要有三个不同的根 需要红色部分图像在深蓝色图像的下方 即 f xb 解得 22 24 30mmm mm mm 3m 考点 1 函数的图象与性质 2 函数与方程 3 分段函数 来源 学优高考网 gkstk 名师点睛 本题主要考查二次函数函数的图象与性质 函数与方程 分段函数的概念 解答本题 关键在 于能利用数形结合思想 通过对函数图象的分析 转化得到代数不等式 本题能较好的考查考生数形结合思 想 转化与化归思想 基本运算求解能力等 来源 学优高考网 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 16 本小题满分 12 分 某儿童乐园在 六一 儿童节推出了一项趣味活动 参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次 每次转动后 待转盘停止转动时 记录指针所指区域中的数 设两次记录的数分别为 x y 奖励规则如下 若 则奖励玩具一个 3xy 若 则奖励水杯一个 8xy 其余情况奖励饮料一瓶 假设转盘质地均匀 四个区域划分均匀 小亮准备参加此项活动 I 求小亮获得玩具的概率 II 请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小 并说明理由 答案 小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率 5 16 解析 试题分析 用数对表示儿童参加活动先后记录的数 写出基本事件空间与点集 x y 一一对应 得到基本事件总数 14 14Sx yxN yNxy 利用列举法 确定事件包含的基本事件 计算即得 A 记 为事件 为事件 8xy B38xy C 确定事件包含的基本事件共有个 B6 事件包含的基本事件共有个 计算得到 比较即知 C5 P B P C 试题解析 用数对表示儿童参加活动先后记录的数 则基本事件空间与点集 x y 则事件包含的基本事件共有个 即B6 2 4 3 3 3 44 2 4 3 4 4 所以 63 168 P B 则事件包含的基本事件共有个 即C5 1 4 2 2 2 3 3 2 4 1 所以 5 16 P C 因为 35 816 所以 小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率 考点 古典概型 名师点睛 本题主要考查古典概型概率的计算 解答本题 关键在于能准确确定所研究对象的基本事件空 间 基本事件个数 利用概率的计算公式求解 本题较易 能较好的考查考生数学应用意识 基本运算求解 能力等 17 本小题满分 12 分 设 2 2 3sin sin sincos f xxxxx I 求得单调递增区间 f x II 把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 再把得到的图象向左平移 yf x 个单位 得到函数的图象 求的值 3 yg x 6 g 答案 的单调递增区间是 或 f x 5 1212 kkkZ 5 1212 kkkZ 3 解析 试题分析 化简得 2 2 3sinsinsincosf xxxxx 2sin 231 3 f xx 由即得 222 232 kxkkZ 5 1212 kxkkZ 写出的单调递增区间 f x 由平移后得进一步可得 f x2sin 231 3 x 2sin31 g xx 6 g 试题解析 由 2 2 3sinsinsincosf xxxxx 2 2 3sin1 2sin cosxxx 3 1 cos2sin21xx sin23cos231xx 2sin 231 3 x 由得 222 232 kxkkZ 5 1212 kxkkZ 再把得到的图象向左平移个单位 得到的图象 3 y2sin31x 即 2sin31 g xx 所以 2sin313 66 g 考点 1 和差倍半的三角函数 2 三角函数的图象和性质 3 三角函数图象的变换 名师点睛 本题主要考查和差倍半的三角函数 三角函数的图象和性质 三角函数图象的变换 此类题 目是三角函数问题中的典型题目 可谓相当经典 解答本题 关键在于能利用三角公式化简函数 进一步讨 论函数的性质 利用 左加右减 上加下减 变换原则 得出新的函数解析式并求值 本题较易 能较好的 考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等 18 本小题满分 12 分 在如图所示的几何体中 D 是 AC 的中点 EF DB I 已知 AB BC AE EC 求证 AC FB II 已知 G H 分别是 EC 和 FB 的中点 求证 GH 平面 ABC 答案 证明 见解析 见解析 解析 试题分析 根据 知与确定一个平面 连接 得到 BDEF EFBDDEACDE 从而平面 证得 ACBD ACBDEFFBAC 设的中点为 连 在 中 由三角形中位线定理可得线线平行 证得FCIHIGI CEF CFB 平面平面 进一步得到平面 GHIABC GHABC 试题解析 证明 因 所以与确定一个平面 连接 因为为BDEF EFBDDEEECAE 的中点 所以 同理可得 又因为 所以平面 ACACDE ACBD DDEBD ACBDEF 因为平面 FBBDEFFBAC 设的中点为 连 在中 是的中点 所以 又 所FCIHIGI CEF GCEEFGI DBEF 以 在中 是的中点 所以 又 所以平面平面DBGI CFB HFBBCHI IHIGI GHI 因为平面 所以平面 ABC GHGHI GHABC I F E H G B D C A 考点 1 平行关系 2 垂直关系 名师点睛 本题主要考查直线与直线垂直 直线与平面平行 此类题目是立体几何中的基本问题 解答本 题 关键在于能利用直线与直线 直线与平面 平面与平面关系的相互转化 通过严密推理 给出规范的 证明 本题能较好的考查考生的空间想象能力 逻辑推理能力及转化与化归思想等 19 本小题满分 12 分 已知数列的前 n 项和 是等差数列 且 n a 2 38 n Snn n b 1nnn abb I 求数列的通项公式 n b II 令 求数列的前 n 项和 1 1 2 n n n n n a c b n c n T 答案 13 nbn 2 23 n n nT 试题解析 由题意当时 当时 所以2 n56 1 nSSa nnn 1 n11 11 Sa 设数列的公差为 由 即 解之得 所以56 nand 322 211 bba bba db db 3217 211 1 1 3 4 1 db 13 nbn 由 知 又 即 1 1 2 1 3 33 66 n n n n n n n c nn ccccT 321 2 1 242322 3 1432 n n nT 所以 以上两式两边相减得 2 1 242322 32 2543 n n nT 2221432 23 2 1 12 12 4 4 3 2 1 22222 3 nn n nn n nnnT 所以 2 23 n n nT 考点 1 等差数列的通项公式 2 等差数列 等比数列的求和 3 错位相减法 名师点睛 本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式 等比数列的求和 数列求和的 错位相减法 此类题目是数列问题中的常见题型 本题覆盖面广 对考生计算能力要求较高 解答本题 布列方程组 确 定通项公式是基础 准确计算求和是关键 易错点是在 错位 之后求和时 弄错等比数列的项数 本题能 较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等 20 本小题满分 13 分 设 f x xlnx ax2 2a 1 x a R 令 g x f x 求 g x 的单调区间 已知 f x 在 x 1 处取得极大值 求实数 a 的取值范围 答案 当时 函数单调递增区间为 0a g x 0 当时 函数单调递增区间为 单调递减区间为 0a g x 1 0 2a 1 2a 来源 学优高考网 1 2 a 解析 试题分析 求导数 ln22 fxxaxa 可得 ln22 0 g xxaxa x 从而 112 2 ax gxa xx 讨论当时 当时的两种情况下导函数正负号 确定得到函数的单调区间 0a 0a 分以下情况讨论 当时 当时 当时 当时 综合即得 来源 学优高考网 0a 1 0 2 a 1 2 a 1 2 a 试题解析 由 ln22 fxxaxa 可得 ln22 0 g xxaxa x 则 112 2 ax gxa xx 当时 时 函数单调递增 0a 0 x 0gx g x 当时 时 函数单调递增 0a 1 0 2 x a 0gx g x 时 函数单调递减 1 2 x a 0gx g x 所以当时 函数单调递增区间为 0a g x 0 当时 函数单调递增区间为 单调递减区间为 来源 学优高考网 gkstk 来源 学优高考网 0a g x 1 0 2a 1 2a 由 知 10f 当时 单调递减 0a 0fx f x 所以当时 单调递减 0 1x 0fx f x 当时 单调递增 1 x 0fx f x 当时 即时 在 0 1 内单调递增 在 内单调递减 1 2 a 1 1 2a fx 1 所以当时 单调递减 不合题意 0 x 0fx f x 当时 即 当时 单调递增 1 2 a 1 01 2a 1 1 2 x a 0fx f x 当时 单调递减 1 x 0fx f x 所以在处取得极大值 合题意 f x1x 综上可知 实数 a 的取值范围为 1 2 a 考点 1 应用导数研究函数的单调性 极值 2 分类讨论思想 名师点睛 本题主要考查导数的计算 应用导数研究函数的单调性与极值 分类讨论思想 本题覆盖面 广 对考生计算能力要求较高 是一道难题 解答本题 准确求导数是基础 恰当分类讨论是关键 易错点 是分类讨论不全面 不彻底 不恰当 本题能较好的考查考生的逻辑思维能力 基本计算能力 分类讨论思 想等 21 本小题满分 14 分 已知椭圆 C a b 0 的长轴长为 4 焦距为 2 I 求椭圆 C 的方程 过动点 M 0 m m 0 的直线交 x 轴与点 N 交 C 于点 A P P 在第一象限 且 M 是线段 PN 的中点 过点 P 作 x 轴的