江西省上饶市上饶中学2019-2020学年高一数学上学期第一次月考试题（特零班含解析）

1 上饶中学上饶中学 2019 20202019 2020 学年高一上学期第一次月考学年高一上学期第一次月考 数学试卷 特零班 数学试卷 特零班 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 小题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设集合 则 2 2 0mx xx 1 128 x nx mn a b c d 2 4 1 4 1 4 4 答案 a 解析 分析 集合 m 与集合 n 的公共元素构集合 m n 由此利用集合 m x x2 x 2 0 x x2 n x 能求出 m n 1x4 详解 集合 m x x2 x 2 0 x x2 n x 1 128 x x 1x4 m n x 2 x 4 故选 a 点睛 本题考查集合的交集及其运算 关键是将两集合的关系转化为元素间的关系 是基 础题 2 已知点是角终边上的一点 则 4 3p sin a b c d 3 5 3 5 4 5 4 5 答案 a 解析 分析 根据三角函数的定义求出 然后再根据诱导公式求出即可 sin sin 详解 点是角终边上的一点 4 3p 2 3 sin 5 3 sin sin 5 故选 a 点睛 本题考查三角函数的定义和诱导公式的运用 解题的关键是根据定义求出正弦值 然后再用诱导公式求解 解题时要注意三角函数值的符号 属于基础题 3 设 向量 且 则 x yr 1 1 2 4axbyc acadbcadbc bdbdbdbd ab a b c d 5102 510 答案 b 解析 向量 由得 解得 由 x yr 1 1 2 4axbyc ac 240 x 2x 得 解得 bc 420y 2y 2 1 1 2 1 3abab 故选 b 2 2 1310ab 4 函数在区间上的零点个数为 2 cosf xxx 0 4 a 4b 5c 6d 7 答案 c 解析 分析 依照函数零点的定义即可求出 详解 令 可得或 所以或 2 cos0f xxx 0 x 2 cos0 x 0 x 3 2 2 xkkz 因为 所以的取值有 0 1 2 3 4 故函数在 0 4x 2 0 16x k 2 cosf xxx 区间上的零点个数为 6 故选 c 0 4 点睛 本题主要考查函数零点个数的求法以及三角方程的解法 常见函数零点个数的求法 有 一是定义法 二是零点存在性定理结合函数单调性 三是利用函数零点个数与函数图象 交点个数关系判断 5 已知 为两条不同直线 为两个不同平面 则下列命题正确的是 lm a 若 则b 若 则 l a m lmal am alma c 若 则d 若 则 l m lmal al m lma 答案 d 解析 分析 根据线面平行的定义 判定定理和性质定理等逐一判断其正误 详解 解 选项 a 若 l m 则得到 与无公共点 lm 则 与可以平行 也可以是异面 lm 故选项 a 不正确 选项 b 设 l l 因为 l 则 l l 因为 m 与可以平行 也可以是异面 l m 故 与可以平行 也可以是异面 也可以相交 lm 4 故选项 b 不正确 选项 c 因为 l 所以 与无公共点 l 因为 m 所以 与无公共点 lm 则 与异面或平行 lm 故选项 c 不正确 选项 d 设 l 1 l 2 l 若 l 则 1 ll 同理可得 2 ll 所以 12 ll 因为 12 ll 所以 2 l 因为 m 2 l 所以 2 lm 所以 lm 选项 d 正确 本题选 d 点睛 本题考查了线面平行 线线平行的位置关系 解题的关键是要能根据题意熟练运用 判定定理与性质定理等进行演绎推理 6 已知边长为 1 的菱形中 则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积 abcd3 a 为 5 a b c d 3 2 3 4 6 6 6 8 答案 d 解析 分析 直接利用直观图画出斜二测画法 并利用定义求解即可 详解 菱形中 abcd1ab 3 a 则菱形的面积为 13 221 1 sin 232 abdabcd ss 菱形 所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图面积为 3 6 2 82 22 2 abcd s s 菱形 故选 d 点睛 本题考查斜二画面法的定义 属于基础题 7 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线画出的是某几何体的三视图 则此几何体的体 积为 a 6b 9 c 12d 15 答案 b 解析 6 分析 通过三视图还原几的直观图 是一个条侧棱与底面垂直的三棱锥 利用三视图的数据求出几 何体的体积即可 详解 该几何体是三棱锥 如图所示 abcd 则 11 1 6 3 39 33 2 bcd vsab 点睛 本题以三视图为载体 要求还原几何体的直观图 再通过三视图的数据 考查三棱 锥体积公式的应用 8 已知 则的值为 0 2 5 sin 45 sin 2 3 a b c d 3 34 10 4 33 10 3 34 10 4 33 10 答案 d 解析 详解 5 sin 45 253 cossin sin2 cossin 255 4 0 0 2 0 cos2 2425 所以 选 d sin 2 3 314334 3 525210 9 函数的图象向左平移个单位后关于轴对称 则函数 sin 2 2 f xx 6 y 7 在 上的最小值为 f x 0 2 a b c d 3 2 1 2 1 2 3 2 答案 b 解析 分析 利用平移后的图像关于轴对称求出 再利用三角函数的性质可求其在给定范围上的最小 y 值 详解 平移得到的图像对应的解析式为 sin 2 3 g xx 因为为偶函数 所以 g x 0sin1 3 g 所以 其中 32 k kz 因为 所以 2 6 当时 所以 0 2 x 7 2 666 x 1 sin 21 26 x 当且仅当时 故选 b 2 x min 1 2 f x 点睛 本题考查三角函数的图像变换及正弦型函数的最值的求法 属于中档题 10 已知函数 若 则 的大小关系是 ln x f x x 2 af 3 bf 5 cf abc a b c d bca bac acb cab 答案 d 解析 8 分析 可以得出 从而得出c a 同样的方法得出a b 从而得出 11 ln32 ln25 1010 ac a b c的大小关系 详解 根据对数函数的单调性得到 ln2ln32 2 210 af 1ln25 5ln5 510 cf a c 又因为 再由对数函数的 ln3 3 3 bf ln2ln8 2 26 af ln3ln9 3 36 bf 单调性得到 a b c a 且a b c a b 故选 d 点睛 考查对数的运算性质 对数函数的单调性 比较两数的大小常见方法有 做差和 0 比较 做商和 1 比较 或者构造函数利用函数的单调性得到结果 11 将函数的图像向左平移个单位长度后 得到的图像 若函 44 sincosf xxx 8 g x 数在上单调递减 则正数的最大值为 ygx 12 4 a b 1c d 1 2 3 2 2 3 答案 a 解析 分析 先化简的表达式 平移后得到的解析式 再求出的解析式 然后利用 f x g x gx 的单调减区间列不等式组 求得的取值范围 进而求得正数的最大值 gx 详解 依题意 向左 22 2 1 cos21 cos21 cos 23cos4 2224 xxxx f x 平移个单位长度得到 故 8 31 31 31 cos 4cos 4sin4 44844244 xxx 9 下面求函数的减区间 由 由于 31 sin 4 44 gxx 2 42 22 kxk 故上式可化为 由于函数在上单调递减 0 8282 kk x gx 12 4 故 解得 所以当时 为正数的最大值 故选 82 12 82 4 k k 3 6 2 1 2 2 k k 0k 1 2 a 点睛 本小题主要考查三角函数降次公式 考查三角函数图像变化的知识 考查三角函数 的单调区间的求法 综合性较强 需要较强的运算能力 是不能够直接合并 44 sincosxx 起来的 需要通过运用降次公式两次 才能化简为的形式 求解三角函数 sinaxb 单调区间时 要注意是正数还是负数 a 12 由国家公安部提出 国家质量监督检验检疫总局发布的 车辆驾驶人员血液 呼气酒精 含量阀值与检验标准 于年月 日正式实施 车辆驾驶人员酒 195222010gb t 201171 饮后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表 经过反复试验 一般情况下 某人喝一瓶 啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的 散点图 见图 喝 瓶啤酒的情况 1 且图表示的函数模型 则该人喝一瓶啤酒后至少经过 0 5 40sin13 02 3 9014 2 x xx f x ex 多长时间才可以驾车 时间以整小时计算 参考数据 ln52 71 ln303 40 10 驾驶行为类型 阀值 100mgml 饮酒后驾车 20 80 醉酒后驾车80 车辆驾车人员血液酒精含量阀值 a b c d 5678 答案 b 解析 分析 由题意知车辆驾驶人员血液中的酒精小于时可以开车 此时 令 20 100mgml 2x 解出的取值范围 结合题意求出结果 20f x x 详解 由图知 当时 函数取得最大值 此时 02x yf x 40sin13 3 f xx 当时 当车辆驾驶人员血液中酒精小于时可以 2x 0 5 9014 x f xe 20 100mgml 开车 此时 2x 由 得 两边取自然对数得 即 0 5 901420 x e 0 5 1 15 x e 1 0 5ln 15 x 0 5ln15x 解得 所以 喝啤酒需个小时候才可以合法驾车 故选 b ln152 71 5 42 0 50 5 x 6 点睛 本题考查了散点图的应用问题 也考查了分段函数不等式的应用问题 解题的关键 就是将题中的信息转化为不等关系 利用分段函数来进行求解 考查分析问题的能力 属于 中等题 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 将答案填写在题中的横线上 分 将答案填写在题中的横线上 11 13 已知函数经过定点a 定点a也在函数的图象上 log 1 3 a yx 2xf xb 2 log 3 f 答案 5 解析 分析 由题意函数经过定点 a 根据对数函数图像的性质 可求出点 a 的坐标 log 1 3 a yx 再将点 a 的坐标代入 解得 b 的值 再将代入 即可求解出结 2xf xb 2 log 3x f x 果 详解 函数经过定点 a log 1 3 a yx 0 3 a 又定点 a 也在函数的图象上 2xf xb 解得 0 23b 2b 故答案为5 2 log 3 2 log 3 225f 点睛 本题主要考查了对数函数的图像和性质 以及换底公式的应用 14 如图 在正三角形abc中 d e f分别为各边的中点 g h i j分别为 af ad be de的中点 将沿de ef df折成三棱锥以后 gh与ij所成角的度数为 abca 答案 60 解析 分析 将 abc沿de ef df折成三棱锥以后 则ij 侧棱 故gh与ij所成角与侧棱与gh所成 12 的角相等 ad为折成三棱锥的侧棱 则gh与ij所成角的度数为 60 详解 将 abc沿de ef df折成三棱锥以后 i j分别为be de的中点 则ij 侧棱 故gh与ij所成角与侧棱与gh所成的角相等 ad为折成三棱锥的侧棱 因为 ahg 60 故gh与ij所成角的度数为 60 故答案为 60 点睛 本题主要考查异面直线的角度及余弦值计算 解题时要认真审题 仔细解答 注意 等价转化思想的合理运用 15 己知函数 则不等式的解集是 2 22 xx f xx 21 1 0fxf 答案 1 解析 分析 根据题意 分析可得函数f x x2 2x 2 x 为奇函数且在 r r 上是增函数 则不等式 f 2x 1 f 1 0 可以转化为 2x 1 1 解可得x的取值范围 即可得答案 详解 根据题意 对于函数f x x2 2x 2 x 有f x x 2 2 x 2x x2 2x 2 x f x 则函数f x 为奇函数 函数f x x2 2x 2 x 其导数f x 2x 2x 2 x x2 ln2 2x 2 x 0 则 f x 为增函数 不等式f 2x 1 f 1 0 f 2x 1 f 1 f 2x 1 f 1 2x 1 1 解可得x 1 即f 2x 1 f 1 0 的解集是 1 13 故答案为 1 点睛 本题主要考查不等式的求解 利用条件判断函数的奇偶性和单调性 以及利用奇偶 性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键 16 已知函数 若对任意实数 恒有 则 cos2sinf xxx x 12 ff xf 12 cos 答案 1 4 解析 分析 由函数取得最值的条件 可求得 再由三角恒等变换求 f x 12 1 sin1 sin 4 的值 12 cos 详解 对任意实数 恒有 则为最小值 为最大 x 12 ff xf 1 f 2 f 值 因为 而 2 2 19 cos2sin1 2sinsin2 sin 48 f xxxxxx 1sin1x 所以当时 取得最小值 当时 取得最大值 sin 1x f x 1 sin 4 x f x 所以 所以 12 1 sin1 sin 4 1 cos0 所以 121212 1 coscoscossinsin 4 点睛 本题考查三角函数的最值和三角恒等变换 解题的突破口是由不等式恒成立得出函 数的最值 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 设集合 1216 x ax 2 log1 bxx 14 1 求 ab 2 若集合 满足 求实数的取值范围 0 cx xa bc a 答案 1 2 02 abxx 2 解析 分析 1 根据指数函数的运算性质和对数函数的运算性质 分别求得集合 再根据集合的 a b 交集的运算 即可求解 2 由集合 得到 即可求解 bc 2a 详解 1 由题意 根据指数函数的运算性质 可得 1216 04 x axxx 由对数函数的运算性质 可得 2 log1 02 bxxxx 所以 02 abxx 2 由题意 可得集合 因为 cx xa bc 所以 解得 即实数实数的取值范围 2a 2a a 2 点睛 本题主要考查了集合的运算及应用 其中解答中根据指数函数与对数函数的额运算 性质 正确求解集合是解答的关键 着重考查了推理与运算能力 属于基础题 a b 18 已知向量 1 3 2 0ab 1 求的坐标以及与之间的夹角 ab ab a 2 当时 求的取值范围 1 1t atb 答案 1 2 3 3 6 3 2 3 解析 分析 1 根据向量的减法运算法则求出的坐标 再用向量夹角公式即可求出与之间 ab ab a 15 的夹角 2 利用向量的模的计算公式求出 再根据二次函数知识求出范围 atb 详解 1 所以的坐标为 ab 3 3 设与之间的夹角为 ab a 则 而 故 3 1333 cos 2931 3 aba ab a 0 6 2 2 21 12343 2 atbtt 在上递减 在上递增 所以时 最小值为 1 1 2 1 1 2 1 2 t atb 3 时 最大值为 故的取值范围为 1t atb 2 3 atb 3 2 3 点睛 本意主要考查两个向量的夹角公式应用 向量的模的定义及求法 以及利用二次函 数的单调性求函数取值范围 意在考查学生的数学运算能力 19 如图 在平面直角坐标系中 点为单位圆与轴正半轴的交点 点为单位圆上 xoy axp 的一点 且 点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点 4 aop p q ab 1 当时 求的值 6 ab 16 2 设 求的取值范围 42 ba 答案 1 2 1 4 ab 12 解析 分析 1 由三角函数的定义得出 通过当 cossincossin 4444 pq 时 进而求出的值 6 cos 4 a sin 4 b ab 2 利用三角恒等变换的公式化简得 得出 进而得到 2sinba 12sin2 的取值范围 ba 详解 1 由三角函数的定义 可得 cossincossin 4444 pq 当时 即 6 55 cossin 1212 q 55 cossin 1212 ab 所以 55155151 cossin2 cossinsin 121221212264 ab 2 因为 所以 cossin 44 q cossin 44 ab 由三角恒等变换的公式 化简可得 sincos2 sincoscossin2sin 444444 ba 因为 所以 42 12sin2 即的取值范围为 ba 12 点睛 本题主要考查了任意角的三角函数的定义 两角和与差的正 余弦函数的公式的应 用 以及正弦函数的性质的应用 其中解答中熟记三角函数的定义与性质 以及两角和与差 17 的三角函数的运算公式 准确运算是解答的关键 着重考查了推理与运算能力 属于基础 题 20 如图 在四棱锥中 底面是边长为 2 的菱形 底面 oabcd abcdoa abcd 为的中点 为的中点 2oa moanbc60abc 证明 直线平面 1 mnocd 求异面直线与所成角的余弦值 2 abmd 答案 1 证明见解析 2 5 5 解析 分析 1 取的中点 连接 求证平面平面 即可证明 obemene emnocd 平面 mnocd 2 连接 由题可得异面直线与所成角即为相交线与所成角 mcacab mdcdmd 求出的三边长 利用余弦定理即可得到答案 mcd 详解 1 证明 取的中点 连接 obemene 在中 为 为 oba eobmoa 18 emab 又四边形为菱形 abcd abcd emcd 在中 为 为中点 obc eobnbc enoc 由于 平面 emab enocmemne occdc me mn emn 平面 oc od ocd 平面平面 emnocd mn emn 平面 mnocd 2 连接 由于 则异面直线与所成角即为相交线 与 mcac abcdab mdcd 所成角 md 由为 则 moa 1 1 2 amoa 由四边形为边长为 2 的菱形 则 由于 则 abcd2cd 0 60abc 2ac 由平面 则 oa abcdoaad oaac 22 145mdamad 22 145mcamac 在中 mcd 222222 5 2 5 5 cos 25252 mdcdmc mdc md cd 所以异面直线与所成角的余弦值为 abmd 5 5 19 点睛 本题考查利用面面平行证明线面平面 考查利用三角形的余弦定理求异面直线所成 角 属于中档题 21 已知向量a a cos2 x sin2 x sin x b b 2cos x 设函数f x 3 a a b b x r r 的图象关于直线x 对称 其中 为常数 且 0 1 2 1 求函数f x 的最小正周期和单调递增区间 2 若将y f x 图象上各点的横坐标变为原来的 再将所得图象向右平移个单位 纵坐 1 6 3 标不变 得到y h x 的图象 若关于x的方程h x k 0 在上有且只有一个实数解 0 2 求实数k的取值范围 答案 1 t 6 单调递增区间为 k z z 2 k 5 6 6 22 kk 或k 2 33k 解析 分析 1 先利用平面向量的数量积定义和二倍角公式 辅助角公式得到 2sin 2 3 f xx 再利用对称性求出值 再利用三角函数的性质进行求解 2 先利用三角函数图象变换 得到 再令 利用三角函数的图象和数形结合思想进行求解 2sin 2 3 h xx 2 3 xt 详解 1 f x a a b b cos2 x sin2 x 2sin xcos x 3 cos2 x sin2 x 2sin 3 2 3 x 直线x 是y f x 的图象的一条对称轴 2 20 k z z 即 k k z z 32 k 1 6 又 0 1 f x 2sin 1 6 1 33 x t 6 令 k z z 得 k z z 1 2 2 2332 kxk 5 6 6 22 kxk 即函数f x 的单调递增区间为 k z z 5 6 6 22 kk 2 由 1