2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 根式学案 新人教A版必修第一册

1 第第 1 1 课时课时 根式根式 1 理解n次方根 n次根式的概念 2 正确运用根式运算性质化简 求值 3 体会分类讨论思想 符号化思想的作用 1 根式的概念 一般地 如果xn a 那么x叫做a的n次方根 其中n 1 且n n n 1 当n是奇数时 正数的n次方根是一个正数 负数的n次方根是一个负数 这时 a的n次方根用符号表示 n a 2 当n是偶数时 正数a的n次方根有两个 记为 负数没有偶次方根 n a 3 0 的任何次方根都是 0 记作 0 n 0 式子叫做根式 其中n n 1 且n n n 叫做根指数 a叫做被开方数 n a 2 根式的性质 根据n次方根的意义 可以得到 1 n a n a 2 当n是奇数时 a 当n是偶数时 a error n an n an 温馨提示 n中当n为奇数时 a r r n为偶数时 a 0 而 中a r r n a n an 1 若x4 3 这样的x有几个 如何表示 答案 有 2 个 表示为 4 3 2 判断正误 正确的打 错误的打 1 任意实数的奇次方根只有一个 2 正数的偶次方根有两个且互为相反数 3 当n n n 时 n都有意义 n 16 4 3 3 2 答案 1 2 3 4 题型一根式的意义 典例 1 下列说法正确的个数是 16 的 4 次方根是 2 的运算结果是 2 当n为大于 1 的奇数时 对任意 4 16 n a 2 a r r 都有意义 当n为大于 1 的偶数时 只有当a 0 时才有意义 n a a 1b 2 c 3d 4 2 已知m10 2 则m等于 a b 10 2 10 2 c d 210 10 2 思路导引 利用n次方根的概念求解 解析 1 16 的 4 次方根应是 2 2 所以正确的应为 4 16 2 m10 2 m是 2 的 10 次方根 m 10 2 答案 1 b 2 d n n 1 次方根的个数及符号的确定 1 正数的偶次方根有两个且互为相反数 任意实数的奇次方根只有一个 2 根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定 n a 当n为偶数时 为非负实数 n a 当n为奇数时 的符号与a的符号一致 n a 针对训练 1 16 的平方根为 27 的 5 次方根为 解析 4 2 16 16 的平方根为 4 27 的 5 次方根为 5 27 答案 4 5 27 2 若有意义 则实数x的取值范围是 4 x 2 解析 要使有意义 则需x 2 0 即x 2 因此实数x的取值范围是 4 x 2 2 答案 2 题型二简单根式的化简与求值 典例 2 化简下列各式 1 2 3 5 2 5 4 10 4 4 9 2 4 4 a b 4 思路导引 利用的性质进行化简 n an 解 1 2 5 2 5 2 10 10 4 10 4 3 3 4 9 2 4 34 3 4 a b error 4 a b 4 根式的化简求值注意以下 2 点 1 首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式 然后运用根式的性质进行化简或求值 2 开偶次方时 先用绝对值表示开方的结果 再去掉绝对值符号化简 化简时要结合 条件或分类讨论 针对训练 3 计算下列各式的值 1 3 4 3 2 6 3 6 3 3 1 2 3 4 1 2 4 4 4 2 x y 4 解 1 4 3 4 3 2 3 3 6 3 6 3 1 1 2 3 1 2 3 4 1 2 4 222 4 2x y error 4 2 x y 4 题型三有限制条件的根式化简 典例 3 设x 1 2 化简 4 4 x 1 6 x2 4x 4 3 思路导引 借助根式的性质去掉根号并化简 解 4 4 x 1 6 x2 4x 4 3 4 4 x 1 6 x 2 6 1 x 2 x 1 0 x 2 0 原式 x 1 x 2 x 1 2 x 1 变式 若本例中的 x 1 2 改为 x 2 3 其他条件不变 化简求值 解 4 4 4 x 1 6 x2 4x 4 3 4 x 1 6 x 2 6 2 x 3 x 1 0 x 2 0 原式 x 1 x 2 x 1 x 2 2x 3 有限制条件根式的化简策略 1 有限制条件根式的化简问题 是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方 拆分 等方式进行化简 2 有限制条件根式的化简经常用到配方的方法 当根指数为偶数时 在利用公式化简 4 时 要考虑被开方数或被开方的表达式的正负 针对训练 4 若n m 0 则 等于 m2 2mn n2m2 2mn n2 a 2mb 2n c 2md 2n 解析 原式 m n m n n m 0 m n0 原式 m n m n 2 m n 2 m n 2m 答案 c 5 设 2 x 2 求 的值 x2 2x 1x2 4x 4 解 原式 x 1 x 2 x 1 2 x 2 2 2 x 2 当 2 x 1 时 原式 x 1 x 2 2x 1 当 1 x 2 时 原式 x 1 x 2 3 原式 error 课堂归纳小结 1 一个数到底有没有n次方根 我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数 还要 分清n为奇数或偶数这两种情况 n为奇数时 n次方根只有一个 n为偶数时 正数的n 次方根有两个 负数没有偶次方根 2 掌握两个公式 1 n a 2 n为奇数 a n为偶数 a error n a n an n an 1 以下说法正确的是 a 正数的n次方根是正数 b 负数的n次方根是负数 c 0 的n次方根是 0 n n n d a的n次方根是 n a 解析 当n为偶数时 正数的n次方根为一正一负 故 a 错误 当n为偶数时 负 数的n次方根无意义 故 b 错误 当n n n 时 0 的n次方根为 0 故 c 正确 当n为偶数 a 0 时 无意义 故 d 错误 n a 5 答案 c 2 81 的 4 次方根是 a 2b 2 c 3d 3 解析 3 4 81 81 的 4 次方根为 3 答案 d 3 下列各式正确的是 a b a 6 3 2 3 3 4 a4 c d a0 1 6 22 3 2 解析 a a0 1 条件为a 0 故 a b d 错 6 3 2 6 32 3 3 4 a4 答案 c 4 已知 4a 1 则实数a的取值范围是 4 a 1 2 解析 4a 1 4a 1 4 a 1 2 4a 1 0 a 1 4 答案 1 4 5 已知 a b 求 的值 4 a4 4 b4 4 a b 4 3 a b 3 解 因为 a b 4 a4 4 b4 所以 a b 4 a4 4 b4 所以a 0 b 0 所以a b 0 所以原式 a b a b a b a b 0 课后作业 二十五 复习巩固 一 选择题 1 已知x5 6 则x等于 a b 6 5 6 c d 5 6 5 6 解析 由x5 6 可知x 5 6 答案 b 2 下列各式正确的是 a 3 b a 3 2 a2 c 2 d 2 22 3 2 3 6 解析 由于 3 a 2 故 a b d 错误 3 2 a2 3 2 3 答案 c 3 的值是 a b 2 5 a b 5 a 0b 2 a b c 0 或 2 a b d a b 解析 若a b 则原式 a b a b 2 a b 若a b 则原式 b a a b 0 故选 c 答案 c 4 若 2 a 3 化简 的结果是 2 a 2 4 3 a 4 a 5 2ab 2a 5 c 1d 1 解析 由于 2 a 3 所以 2 a0 所以原式 a 2 3 a 1 故选 c 答案 c 5 当有意义时 化简 的结果为 2 xx2 4x 4x2 6x 9 a 2x 5b 2x 1 c 1d 5 2x 解析 由有意义得x 2 所以 2 x x 2 x 3 2 x 3 x 1 x2 4x 4x2 6x 9 答案 c 二 填空题 6 若x 0 则 x x2 x2 x 解析 x 0 原式 x x 1 x x 答案 1 7 化简 1 b 2 b 2b 1 解析 原式 1 1 b 2 b 1 2b 答案 1 b 8 若 则实数a的取值范围为 2 a 1 2 3 1 2a 3 解析 2a 1 1 2a 2 a 1 2 3 1 2a 3 因为 2a 1 1 2a 故 2a 1 0 所以a 1 2 答案 1 2 7 三 解答题 9 化简 1 e 2 7 e e 1 2 4 e e 1 2 4 2 x 2 2 6 x 2 6 解 1 原式 e2 2 e 2 4e2 2 e 2 4 e e 1 2 e e 1 2 e e 1 e e 1 2e 5 4 2 原式 x 2 x 2 当x 2 时 原式 2 x x 2 2x 当 2 x 2 时 原式 2 x x 2 4 当x 2 时 原式 x 2 x 2 2x 综上 原式 error 10 已知a b1 n n n 化简 n a b n n a b n 解 a b 0 a b 0 a b 0 当n是奇数时 原式 a b a b 2a 当n是偶数时 原式 a b a b b a a b 2a error n a b n n a b n 综合运用 11 下列式子中成立的是 a a b a a a3 aa3 c a d a a a3 aa3 解析 要使a有意义 则a 0 故a a a a a a 2 a 故选 c a3 答案 c 12 等于 7 4 37 4 3 a 4b 2 3 c 2d 4 3 解析 2 2 4 7 4 37 4 3 2 3 2 2 3 233 答案 d 13 化简 2 的结果是 a 1 1 a 2 3 1 a 3 a 1 ab 2 1 a c a 1d 2 a 1 8 解析 有意义 a 1 0 即a 1 a 1 2 a 1 1 a 1 a a 1 a 1 a 1 1 a 2 3 1 a 3 1 a a 1 故选 c 答案 c 14 设f x 若 0 a 1 则f x2 4 a 1 a 解析 f a 1 a a 1