2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（课标全国卷Ⅰ解析版）

1 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 课标全国卷年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 课标全国卷 解析版 解析版 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 其中第 卷第 22 24 题为选考题 其它题为必考题 考生作答时 将答案答在答题卡上 在本 试卷上答题无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 教师简评 2010 年新课标高考数学试题从整体看 体现 总体稳定 深化能力 的特点 在保持 2009 年特点的同时 又力争创新与变化 试题不仅注意对基础知识的考查 更注 重了对能力的考查 从考生角度来说 试卷总体难度 没有想象的那么难 试题有较好 的梯度 注重认知能力和数学运用能力的考查 稳中求新 注意事项 1 答题前 考生务必先将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 认真核对条形码上 的姓名 准考证号 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上 2 选择题答案使用 2B 铅笔填涂 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案的标 号 非选择题答案使用 0 5 毫米的黑色中性 签字 笔或碳素笔书写 字体工整 笔迹清 楚 3 请按照题号在各题的答题区域 黑色线框 内作答 超出答题区域书写的答案无 效 4 保持卡面清洁 不折叠 不破损 5 做选考题时 考生按照题目要求作答 并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑 2 参考公式 样本数据 n xxx 21 的标准差 锥体体积公式 222 12 1 n sxxxxxx n 1 3 VSh 其中x为样本平均数 其中S为底面面积 h为高 柱体体积公式 球的表面积 体积公式 VSh 2 4SR 3 4 3 VR 其中S为底面面积 h为高 其中R为球的半径 第 I 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 已知集合 2 RAx xx 4 ZBxxx 则AB A 0 2 B 0 2 C 0 2 D 0 1 2 2 已知复数 2 3i 13i z z是z的共轭复数 则z z A 1 4 B 1 2 C 1 D 2 3 曲线 2 x y x 在点 1 1 处的切线方程为 A 21yx B 21yx C 23yx D 22yx 3 切线方程为 1 2 1 yx 即21yx 4 如图 质点P在半径为 2 的圆周上逆时针运动 其初始位置为 0 2 2P 角速 度为 1 那么点P到x轴距离d关于时间 t 的函数图像大致为 5 已知命题 1 p 函数22 xx y 在 R 为增函数 2 p 函数22 xx y 在 R 为减函数 则在命题 1 q 12 pp 2 q 12 pp 3 q 12 pp 和 4 q 12 pp 中 真命题是 4 A 1 q 3 q B 2 q 3 q C 1 q 4 q D 2 q 4 q 有 1 2222 2 xxx x y 22 xx y 不是减函数 故 2 p为假 112 qpp 为真 212 qpp 为假 312 qpp 为假 412 qpp 为 真 6 某种种子每粒发芽的概率都为 0 9 现播种了 1000 粒 对于没有发芽的种子 每粒 需再补种 2 粒 补种的种子数记为X 则X的数学期望为 A 100 B 200 C 300 D 400 7 如果执行右面的框图 输入5N 则输出的数等于 A 5 4 B 4 5 C 6 5 D 5 6 5 8 设偶函数 f x满足 3 80f xxx 则 20 x f x A 2x xx 或 4 B 0 x xx 或 4 C 0 x xx 或 6 D 2x xx 或 2 9 若 4 cos 5 是第三象限的角 则 1tan 2 1tan 2 A 1 2 B 1 2 C 2 D 2 10 设三棱柱的侧棱垂直于底面 所有棱的长都为a 顶点都在一个球面上 则该球的 表面积为 A 2 a B 2 7 3 a C 2 11 3 a D 2 5 a 6 2222 37 3212 aaa OAR 2 2 77 44 123 aa SR 球 11 已知函数 lg 010 1 6 0 2 xx f x xx 1 若a b c互不相等 且 f af bf c 则abc的取值范围是 A 1 10 B 5 6 C 10 12 D 20 24 12 已知双曲线 E 的中心为原点 F 3 0 是 E 的焦点 过 F 的直线 l 与 E 相交于 A B 两 点 且 AB 的中点为 N 12 15 则 E 的方程为 A 22 1 36 xy B 22 1 45 xy C 22 1 63 xy D 22 1 54 xy 7 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须 做答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 设 y f x 为区间 0 1 上的连续函数 且恒有 0 f x 1 可以用随机模拟方法近 似计算积分 1 0 f x dx 先产生两组 每组 N 个 区间 0 1 上的均匀随机数 1 x 2 x N x和 1 y 2 y N y 由此得到 N 个点 1 x 1 y i 1 2 N 在数出其中满足 1 y 1 f x i 1 2 N 的点数 1 N 那么由随机模拟方法可得积分 1 0 f x dx 的近 似值为 14 正视图为一个三角形的几何体可以是 写出三种 15 过点 A 4 1 的圆 C 与直线10 xy 相切于点B 2 1 则圆 C 的方程为 8 16 在ABC 中 D 为边 BC 上一点 BD 1 2 DC ABC 120 AD 2 若ADC 的面积 为33 则BAC 9 法二 120ADB 60ADC 10 45 15BAHCAH C 45 1560BA 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 l2 分 设数列 n a满足 1 2a 21 1 3 2 n nn aa A 求数列 n a的通项公式 令 nn bna 求数列 n b的前 n 项和 n S 11 18 本小题满分 12 分 如圈 己知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形 AB CD AC BD 垂足为 H PH 是四棱锥 的高 E 为 AD 中点 证明 PE BC 若APB ADB 60 求直线 PA 与 平面 PEH 所成角的正弦值 12 命题意图 本题主要考查空间中的垂直关系以及直线与平面所成的角 等腰梯形的性质 建立空间直角坐标系 空间向量的坐标表示 考查空间想象能力和推理运算能力 以及应用 向量知识解答问题的能力 点评 因为本题中三条直线两两垂直 可建立空间直角坐标系 根据所学知识 理清图 形中的数量关系 从而确定点的坐标 19 本小题满分 12 分 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助 用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人 结果如下 13 估计该地区老年人中 需要志愿者提供帮助的老年人的比例 能否有 99 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关 根据 的结论 能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中 需要志愿 者提供帮助的老年人的比例 说明理由 答案答案 14 20 本小题满分 12 分 设 12 F F分别是椭圆 E 22 22 1 xy ab a b 0 的左 右焦点 过 1 F斜率为 1 的直线l 与 E 相较于 A B 两点 且 2 AF AB 2 BF成等差数列 求 E 的离心率 设点 P 0 1 满足PAPB 求 E 的方程 答案答案 15 21 本小题满分 12 分 设函数 f x 2 1 x exax 若 a 0 求 f x 的单调区间 16 若当 x 0 时 f x 0 求 a 的取值范围 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 已知圆上的弧 A AC ABD 过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点 证明 ACE BCD 2 BCBECD 17 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知直线 1 C 1cos sin xt yt t 为参数 圆 2 C cos sin x y 为参数 当 3 时