对三种频域变换的理解

对三种频域变换的理解 这三种变换都非常重要 任何理工学科都不可避免需要这些变换 这三种变换的本质是将信号从时域转换为频域 傅里叶变换的出现颠覆了人类对世界 的认知 世界不仅可以看作虽时间的变化 也可以看做各种频率不同加权的组合 举个不 太恰当的例子 一首钢琴曲的声音波形是时域表达 而他的钢琴谱则是频域表达 三种变换由于可以将微分方程或者差分方程转化为多项式方程 所以大大降低了微分 差分 方程的计算成本 另外 在通信领域 没有信号的频域分析 将很难在时域理解一个信号 因为通信领 域中经常需要用频率划分信道 所以一个信号的频域特性要比时域特性重要的多 具体三种变换的分析 应该是四种 是这样的 傅里叶分析包含傅里叶级数与傅里叶变换 傅里叶级数用于对周期信号转换 傅里叶 变换用于对非周期信号转换 但是对于不收敛信号 傅里叶变换无能为力 只能借助拉普拉斯变换 主要用于计 算微分方程 而 z 变换则可以算作离散的拉普拉斯变换 主要用于计算差分方程 为什么要变换 一切的变换的意义 都是为了能在数学上面表达一个波的形状到底是什么 一开始我 们可以用一个冲激函数以时间的顺序排成一排 再每个乘以各自的系数 线性组合 就 能得到纸面上一个波的形状 后来 伟大的傅里叶同学发现 不仅使冲激函数 用复指数 信号叠加之后乘上各自的系数 也可以表达几乎所有的波的波形 而且 用复指数信号表 达的输出计算方式比卷积有规律很多 而这个规律可以从频域上面看出来 这个发现 使 得信号的变换进步了一大步 周期信号可以用傅里叶级数表示 非周期信号用傅里叶变换表示 这个再展开讲就偏 题了 奉上以前的傅里叶公式笔记一张 来自知乎用户牛咩咩 拉普拉斯变换 傅里叶变换对信号的要求比较高 适应于本身衰减得快的信号 为了 扩大傅里叶变换的应用范围 使其能用于更多不稳定系统的分析 人们在计算过程中人为 的添上一个负指数函数作为系数 让一些不衰减的信号更快衰减 方便换算 这就是拉布 拉斯变换的由来 拉普拉斯变换用于连续信号 拉布拉斯变换 其中 把 带回公式可得 跟傅里叶变换的公式对比起来看 是不是只差了个系数 因为变换要收敛才有意义 所以收敛域讨论的是让积分之后有意义 这个稍微涉 及了一点微积分的知识 最后的答案在直角坐标系看 分界线平行于 Y 轴 Z 变换 和拉普拉斯变换的目的类似 把离散时间傅里叶变换公式的替换成为 z 再乘以一个加权系数表示 z 的模 通常等于 1 就进化成了 z 变换 z 变换用于离散信号 z 变换 其中 带进去就可以还原了 同样 Z 变换的收敛域是要让算出的值有意义 通过等比公式展开之后可以看到 需 要 z 小于或者大于某个值才可以 用极坐标来看 就是个圆域 从复平面来说 傅里叶分析直注意虚数部分 拉普拉斯变换则关注全部复平面 而 z 变换则是将拉普拉斯的复平面投影到 z 平面 将虚轴变为一个圆环 不恰当的比方就是 那种一幅画只能通过在固定位置放一个金属棒 从金属棒反光才能看清这幅画的人物那种 感觉 怎么理解 我假定现在大家对这些变换已有一些了解 至少知道这些变换怎么算 好了 接下来 我将从几个不同的角度来阐述这些变换 一个信号 通常用一个时间的函数来表示 这样简单直观 因为它的函数图像可 以看做信号的波形 比如声波和水波等等 很多时候 对信号的处理是很特殊的 比如说 线性电路会将输入的正弦信号处理后 输出仍然是正弦信号 只是幅度和相位有一个变化 实际上从数学上看是因为指数函数是线性微分方程的特征函数 就好像矩阵的特征向量 一样 而这个复幅度对应特征值 因此 如果我们将信号全部分解成正弦信号的线性组合 傅里叶变换 那么就可以用一个传递函数 来描述这个线性系统 倘若这个信号很特殊 例如 傅里叶变换在数学上不存在 这个时候就引入拉普拉斯变换来解决这个问题 这样一个线性系统都可以用一个传递函数 来表示 所以 从这里可以看到将信号分解为正弦函数 傅里叶变换 或者 复指数函数 拉普拉斯变换 对分析线性系统至关重要 如果只关心信号本身 不关心系统 这几个变换的关系可以通过这样一个过程联系起 来 首先需要明确一个观点 不管使用时域还是频域 或 s 域 来表示一个信号 他们表 示的都是同一个信号 关于这一点 你可以从线性空间的角度理解 同一个信号 如果采 用不同的坐标框架 或者说基向量 那么他们的坐标就不同 例如 采用 作为坐标 那么信号就可以表示为 而采用则表示 为傅里叶变换的形式 线性代数里面讲过 两个不同坐标框架下 同一个向量的坐 标可以通过一个线性变换联系起来 如果是有限维的空间 则可以表示为一个矩阵 在这 里是无限维 这个线性变换就是傅里叶变换 如果我们将拉普拉斯的 域画出来 他是一个复平面 拉普拉斯变换是这个复平面上的一个复变函数 而这个 函数沿虚轴的值就是傅里叶变换 到现在 对信号的形式还没有多少假定 如 果信号是带宽受限信号 也就是说只在一个小范围内 如 不为 0 根据采样定理 可以对时域采样 只要采样的频率足够高 就可以无失真地将信号还 原出来 那么采样对信号的影响是什么呢 从 s 平面来看 时域的采样将沿虚轴方向 作周期延拓 这个性质从数学上可以很容易验证 z 变换可以看做拉普拉斯变换的一种特殊形式 即做了一个代换 T 是采样的 周期 这个变换将信号从 s 域变换到 z 域 请记住前面说的那个观点 s 域和 z 域表示的 是同一个信号 即采样完了之后的信号 只有采样才会改变信号本身 从复平面上来看 这个变换将与 轴平行的条带变换到 z 平面的一个单叶分支 你会看到前面采样导致的周期延拓产生的条带重叠在一起了 因为具有周期性 所以 z 域 不同的分支的函数值是相同的 换句话说 如果没有采样 直接进行 z 变换 将会得 到一个多值的复变函数 所以一般只对采样完了后的信号做 z 变换 这里讲了时域的采样 时域采样后 信号只有间的频谱 即最高频率 只有采样频率一半 但是要记录这样一个信号 仍然需要无限大的存储空间 可以进一步 对频域进行采样 如果时间有限 这与频率受限互相矛盾 的信号 那么通过频域采样 时域做周期扩展 可以不失真地从采样的信号中恢复原始信号 并且信号长度是有限的 这就是离散傅里叶变换 DFT 它有著名的快速算法快速傅里叶变换 FFT 为什么我 要说 DFT 呢 因为计算机要有效地对一般的信号做傅里叶变换 都是用 DFT 来实现的 除 非信号具有简单的解析表达式 总结起来说 就是对于一个线性系统 输入输出是线性关系的 不论是线性电路还是 光路 只要可以用一个线性方程或线性微分方程 如拉普拉斯方程 泊松方程等 来描述 的系统 都可以通过傅里叶分析从频域来分析这个系统的特性 比单纯从时域分析要强大 得多 两个著名的应用例子就是线性电路和傅里叶光学 信息光学 甚至非线性系统 也在很多情况里面使用线性系统的东西 所以傅里叶变换才这么重要 你看最早傅里叶最 早也是为了求解热传导方程 那里其实也可以看做一个线性系统 傅里叶变换的思想还在不同领域有很多演变 比如在信号处理中的小波变换 它也是 采用一组基函数来表达信号 只不过克服了傅里叶变换不能同时做时频分析的问题 最后 我从纯数学的角度说一下傅里叶变化到底是什么 还记得线性代数中的代数方程吗 如果 A 是对称方阵 可以找到矩阵 A 的所 有互相正交的特征向量和特征值 然后将向量 x 和 b 表示成特征 向量的组合 由于特征向量的正交关系 矩阵的代数方程可以化为 n 个标量代数方程 是不是 很神奇 你会问这跟傅里叶变换有毛关系啊 别急 再看非齐次线性常微分方程 可以验证指数函数是他的特征函数 如果把方程改写为算子表示 那么有 这是不是和线性方程的特征向量特征值很像 把 y 和 z 都表示为指数函