高考数学（精讲+精练+精析）专题7_1 不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用试题 文（含解析）.doc

专题1 不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用（文科）【三年高考】1. 【2016高考上海文科】设，则不等式的解集为_.【答案】【解析】由题意得：，即，故解集为2. 【2015高考浙江，文6】有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，且在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A B C D【答案】B【解析】由，所以 ，故；同理， ，故.因为，故.故最低费用为.故选B.3.【2015高考湖南，文7】若实数满足，则的最小值为( )A、 B、2 C、2 D、4【答案】C【解析】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.4.【2015高考重庆，文14】设,则的最大值为_.【答案】5.【2015高考天津，文12】已知 则当a的值为 时取得最大值.【答案】4【解析】当时取等号,结合可得 6.【2015高考上海，文16】 下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，可能是正数、负数或零，所以由可得，所以不等式解集相同的是，选B.7【2014高考大纲卷文第3题】不等式组的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】原不等式组可化为，所以，故选C.8【2014高考湖北卷文第16题】某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：米/秒）平均车长（单位：米）的值有关，其公式为（1）如果不限定车型，则最大车流量为_辆/小时；（2）如果限定车型，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时.【答案】（1）1900；（2）1009. 【2014高考四川卷文第5题】若，则一定有（ ）A B C D 【答案】B【解析】，又.选B10.【2014高考辽宁文第24题】设函数，记的解集为M，的解集为N.（）求M；（）当时，证明：.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查，主要考查不等式性质、不等关系、二次不等式解法、基本不等式及其应用，高考中一般会以小题形式形式考查，个别省市在大题中考查不等式的应用【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 不等式是中学数学的主体内容之一, 是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具, 因而是数学高考命制能力题的重要版块. 在近年来的高考数学中,有关不等式的试题都占有较大的比重. 不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力. 在题型上, 选择题、填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、绝对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等;解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、求恒成立中的参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等. 试题常常是不等式的证明、解不等式、求参数范围于函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题之中, 知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高, 是高考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地. 从近几年数学试题得到启示：涉及不等式解法的题目，往往较为容易；对基本不等式的考查，较多的寓于综合题目之中.因此，在2017年复习备考中，要注意不等式性质运用的条件，以及与函数交汇考查单调性，对不等关系，要培养将实际问题抽象为不等关系的能力，从而利用数学的方法解决，对不等式解法主要是二次不等式的解法，往往与集合知识交汇考查，注意含参数的二次不等式的解法.对基本不等式及其应用，会涉及求函数的最值问题，或者将实际问题抽象出数学最优化问题，利用基本不等式求解不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的不等式，函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题，问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高预测2017年可能有一道选择或者填空出现，考查不等式的解法，或不等式的性质，或基本不等式，可能与导数结合出一道解答题【2017年高考考点定位】高考对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查有以下几种主要形式：一是考查不等式的性质；二是不等式关系；三是不等式解法；四是基本不等式及应用，其中经常与函数、方程等知识的相联系【考点1】不等式性质【备考知识梳理】1不等式的基本性质：（1） （2） （3）， （4）2不等式的运算性质：（）加法法则： （）减法法则：，（）乘法法则： （）除法法则：，（）乘方法则：（）开方法则：【规律方法技巧】1判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质 2特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题 【考点针对训练】1. 【2016年河南省六市高三联考】若，则下列结论不正确的是（ ）A B C D【答案】D.【解析】，A，B，C正确，而，故D错误，故选D2. 【2016年江西师大附中高三最后冲刺】已知是定义域，值域都为的函数， 满足，则下列不等式正确的是（ ）A BC. D. 【答案】C【解析】构造函数，所以在单调递增，所以，结合不等式性质. 故C正确.【考点2】不等关系【备考知识梳理】在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系，再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系.【规律方法技巧】区分不等关系与不等式的异同，不等关系强调的是关系，可用符号表示，而不等式则是表现两者的不等关系，可用等式子表示，不等关系是通过不等式表现【考点针对训练】1. 【2016年安徽淮北一中高三二模】已知实数，设方程的两个实根分别为，则下列关系中恒成立的是（ ）A B C D【答案】B【解析】方程可化为，记，这是二次函数，又，同理，由二次函数的图象知必有故选B2. 【2016届四川南充高中高三4月模拟三】设是不相等的两个正数，且，给出下列结论：；.其中所有正确结论的序号是（ ）A B C D【答案】D【解析】变形为，设，由得；由得；则当时，函数取极大值，则，则一个大于，一个小于，不妨设，则正确；，则正确；令，再令，在上为增函数. ，则正确.故选D.【考点3】一元二次不等式解法【备考知识梳理】对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根【规律方法技巧】1解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.【考点针对训练】1.已知关于的不等式的解集为（1）求的值；（2）当时，解关于的不等式（用表示）2. 【2016年江西九江高三第三次联考】不等式对于任意及恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【考点4】基本不等式及应用【备考知识梳理】1、 如果，那么（当且仅当时取等号“=”）推论：（）2、 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.推论：（，）；3、【规律方法技巧】1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等2. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. 一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.【考点针对训练】1. 【2016安徽省安庆市高三二模】已知,则的最小值为（ ）A B C D【答案】B【解析】由有,则,故选B.2. 【2016届浙江省杭州市学军中学高三5月模拟】已知,且,若 恒成立，则实数的取值范围是 当 取到最大值时 【答案】，【解析】，当且仅当时取等号，因为 恒成立，所以【应试技巧点拨】1使用均值不等式求最值时，注意在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.2基本不等式及其变式中的条件要准确把握如()，()等3.利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定值”“积为定值”的结构特点在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出最值即应用基本不等式，应注意“一正、二定、三相等”，缺一不可.灵活的通过“拆、凑、代（换）”，创造应用不等式的条件，是解答此类问题的技巧;忽视等号成立的条件，是常见错误之一.3.求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关：第一关是转化关，即通过分离参数，先转化为f(a)g(x)(或f(a)g(x)对xD恒成立，再转化为f(a)g(x)max(或f(a)g(x)min)；第二关是求最值关，即求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题4.应用导数证明不等式，解题格式明确、规范，基本思路清晰，能使问题解决的领域更宽广.解题过程中，注意处处应用转化与化归思想，化生为熟、化难为易、化繁为简，是解决问题的基本方法.5对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式二年模拟1. 【2016届湖北八校高三二联】若，则的最大值是 .【答案】【解析】因为，所以，即，当且仅当，即时取得最小值.2. 【2016届襄阳五中宜昌一中龙泉中学高三联考】设, 对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做的上确界. 若，且，则的上确界为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意可知，上确界即函数的最大值，当且仅当时不等式取等号，所以有，故本题的正确选项为C. 3. 【2016届河南省新乡卫辉一中高考押题一】若一组数据2，4，6，8的中位数、方差分别为，且，则的最小值为（ ）A B C D20【答案】D4. 【2016届宁夏高三三轮冲刺猜三】设点是曲线上的动点，且满足，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【解析】设，则满足的点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为，曲线为如下图所示的菱形由于，所以，即所以，选A 5. 【2016江西师大附中高三上学期期末】不等式对于任意及恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】A 6. 【2016年福建厦门一中高三质量检测】函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】令则设，则函数在上单调递增，在上单调递减，在的值域，即故选C 7. 【2016广西桂林调研考试，理15】已知、为正实数,向量,若,则的最小值为_【答案】 8. 【2016届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测】已知函数的定义域为，对任意，有,且，则不等式的解集为（ ）A B C D【答案】D【解析】由对任意，有，得令，则为上的增函数因为，所以，所以等价于，所以，解得且，故选D 9. 【2016届江西省上高二中高三全真模拟】已知函数，若，则a的取值范围是 【答案】【解析】由题意得，作出函数的图象，如图所示，此时当时，要使得成立，当时，直线与相切，联立方程组，得，由，解得，所以要使得成立，则实数的取值范围是 10. 【2016年江西南昌高三模拟】已知抛物线C:x2 =4y的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点设直线l是抛物线C的切线，且lMN，P为l上一点，则的最小值为 .【答案】【解析】过焦点且斜率为1的直线与抛物线相交于，联立，得，则；设直线与抛物线相切于点,因为,所以，则，直线的方程为，即，设点，则 11 .【2015届山东省实验中学高三6月份模拟】已知a0，b0，c0，且 ，则的最大值为A B C3 D 4【答案】A12.【2015届吉林省实验中学高三上学期第五次模拟】若，则下列不等式中： ；对一切满足条件的，恒成立的序号是（ ）A B C D【答案】C【解析】；，所以恒成立的序号是，选C13.【2015届浙江省宁波市镇海中学高三5月模拟】已知不等式，若对任意及，该不等式恒成立，则实数的范围是 （ ）A B C D【答案】C【解析】因为及，所以由可得：令，结合及可得，于是问题转化为恒成立，显然在上单调递减，所以当时其取得最大值且为，所以，故应选14.【2015届天津市杨村一中高三上学期第一次段测】当时，则实数的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【解析】因为当时， ，所以， ，因为函数为增函数，函数 为减函数，所以由可知 ，故选D15.【2015届浙江省宁波市鄞州区高考5月模拟】设是正实数，且，则的最小值是 【答案】拓展试题以及解析1. 已知正数满足，则的最小值为【答案】【解析】，所以当且仅当时取等号.【入选理由】本题考查基本不等式基础知识，意在考查分析问题和解决问题能力以及运算求解能力本题是基本不等式的一个应用，难度不大，故选此题.2.已知存在实数，使得关于的不等式恒成立，则的最大值为 【答案】【入选理由】本题考查不等式恒成立，函数最值，函数单调性等基础知识，意在考查分析能力及基本运算能力本题是不等式恒成立问题，难度不大，故选此题.3.已知正数满足，则的最大值为【答案】【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最大值为【入选理由】本题考查基本不等式、对数运算等基础知识，意在考查分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力本题是基本不等式的一个灵活应用，难度不大，故选此题.4.已知函数，则不等式的解集是【答案】【解析】因为当时，单调递增，且；因此不等式等价于且，解得且，即所求不等式解集为【入选理由】本题考查函数图像，函数单调性，一元二次不等式解集等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力及推理能力本题是一个分段函数解不等式问题，这是一个难点，但此题构思巧妙，降低了难度，故选此题.5.若函数同时满足以下两个条件或；.则实数的取值范围为【答案】【解析】当时，不满