高二数学向量学教案

2 42 4 用向量讨论垂直与平行用向量讨论垂直与平行 高二数学 编写人 审核人 高二数学组 课时 2 课时 学习目标 学习目标 1 理解直线的方向向量与平面的法向量 2 能用向量语言表述直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直 平行关系 3 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的立体几何问题 学习重点学习重点 空间向量共线与垂直的充要条件 空间向量的运算及其坐标表示 用向量方法证明有关直 线和平面位置关系的立体几何问题 学习难点学习难点 空间直角坐标系的正确建立 空间向量的运算及其坐标表示 用向量语言证明立体几何中 有关垂直 平行关系的问题 学习过程 学习过程 一 课前准备 1 1 空间中平行关系的向量表示 空间中平行关系的向量表示 1 线线平行 设直线l m的方向向量分别为 且 111 zyxa 222 zyxb 0 222 zyx 则l m 2 1 x x 2 线面平行 设直线l的方向向量为 平面 的法向量为 且 则 111 zyxl 222 zyxn 平面 l l l 3 面面平行 设平面 的法向量分别为 且 1111 zyxn 2222 zyxn 0 222 zyx 则 2 空间中垂直关系的向量表示 1 线线垂直 设直线l的方向向量为 直线m的方向向量为 111 zyxa 222 zyxb 则l m 2 线面垂直 设直线l的方向向量是 平面 的法向量是且 111 zyxa 222 zyxn 0 222 zyx 则l 3 面面垂直 若平面 的法向量 平面 的法向量 1111 zyxn 2222 zyxn 则 二 新课学习 二 新课学习 问题探究一问题探究一 用向量讨论垂直用向量讨论垂直 例 1 线面垂直的判定定理 若一条直线垂直于一个平面内的两条交线 则该直线与此 平面垂直 例 2 三垂线定哩 若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的摄影 则这两条直线垂直 问题探究二 用向量讨论平行问题探究二 用向量讨论平行 例 3 面面平行的判定定理 若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 则这 两个平面平行 三 当堂检测三 当堂检测 1 若是平面 的一个法向量 则下列向量中能作为平面 的法向量的是 3 2 1 a A 0 1 2 B 3 6 9 C 1 2 3 D 3 6 8 2 若直线l的方向向量为 平面 的法向量为u 2 0 4 则 2 0 1 a 4 0 2 n A l B l C l D l与 斜交 3 平面 的一个法向量为 平面 的一个法向量为 则平面 与平面 0 2 1 1 n 0 1 2 1 n 的位置关系是 A 平行 B 相交但不垂直 C 垂直 D 不能确定 4 若平面 的法向量分别为u 2 3 5 v 3 1 4 则 5 3 2 1 n 4 1 3 2 n A B C 相交但不垂直 D 以上均不正确 四 课堂小结四 课堂小结 五 课后反思 2 52 5 夹角的计算夹角的计算 高二数学 编写人 程伟 审核人 高二数学组 课时 2 课时 学习目标 1 掌握空间向量的夹角公式及其简单应用 2 学生学会选择恰当的方法求夹角 学习重点 空间向量夹角公式及其坐标表示 选择恰当方法求夹角 学习难点 两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角之间的区别 构建恰当的空间直角坐标系 并正确求出点的坐标及向量的坐标 学习过程 一 课前准备 1 1 两条异面直线所成的角 两条异面直线所成的角 当直线l1 l2是异面直线时 在直线l1上任取一点A作 AB l2 我们把l1和直线AB的夹角叫做异面直线l1与l2的夹角 已知l1 l2的方向向量分别为 当 0 时 l1与l2的夹角等于 1 s 2 s 1 s 2 s 2 1 s 2 s 当 时 l1与l2的夹角等于 2 1 s 2 s 1 s 2 s 2 直线和平面的夹角是指这条直线与它在这个平面内的 的夹角 其范围是 斜线与平面的夹角是这条直线与平面内的一切直线所成角中 的角 直线和平面所成 的角可以通过直线的 与平面的 求得 若设直线与平面所成的角为 直 线的方向向量与平面的法向量的夹角为 则有 sin 3 如图所示 平面 1与 2相交于直线l 点R为直线l上任意一点 过点R 在平面 1上作直线l1 l 在平面 2上作直线l2 l 则l1 l2 R 我们把直 线l1和l2的夹角叫作平面 1与 2的夹角 已知平面 1和 2的法向量分别为和 1 n 2 n 当 0 时 平面 1与 2的夹角等于 1 n 2 n 2 1 n 2 n 当 时 平面 1与 2的夹角等于 2 1 n 2 n 1 n 2 n 二 新课学习 二 新课学习 问题探究一问题探究一 线线夹角线线夹角 问题 1 两直线夹角的范围是什么 问题 2 怎样求两条异面直线所成的角 问题 3 两条异面直线所成的角和两条异面直线的方向向量的夹角有什么区别 讲解教材 43 页例 1 学后检测学后检测 1 1 如图所示 三棱柱OAB O1A1B1中 平面OBB1O1 平面OAB O1OB 60 AOB 90 且OB OO1 2 OA 3 求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小 问题探究二问题探究二 求直线和平面的夹角求直线和平面的夹角 问题 1 直线和平面的夹角的范围是什么 问题 2 怎样利用向量求直线和平面所成的角 讲解教材 45 页例 3 46 页例 4 学后检测学后检测 2 2 如图所示 在四棱锥P ABCD中 底面为直角梯形 AD BC BAD 90 PA 底面ABCD 且PA AD AB 2BC M N分别为PC PB的中点 1 求证 PB DM 2 求BD与平面ADMN的夹角 问题探究三问题探究三 求平面间的夹角求平面间的夹角 问题 怎样利用向量法求两个平面间的夹角的大小 讲解教材 44 页例 2 学后检测学后检测 3 3 如图 已知四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD 且ABCD为正方 形 PA AB a 点M是PC的中点 1 求BP与DM所成的角的大小 2 求平面MAD与平面的ABCD的夹角的大小 三 当堂检测 三 当堂检测 1 若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是 150 则l1与l2这两条异面直线所成 的角等于 A 30 B 150 C 30 或 150 D 以上均错 2 已知向量 分别是直线l和平面 的方向向量 法向量 若 cos m n m n 1 2 则l与 所成的角为 A 30 B 60 C 120 D 150 3 正方体ABCD A1B1C1D1中 直线BC1与平面A1BD的夹角的正弦值为 A B C D 2 4 2 3 6 3 3 2 4 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E为BB1的中点 则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面 角的余弦值为 四 课堂小结 五 课后反思 2 62 6 距离的计算距离的计算 高二数学 编写人 程伟 审核人 高二数学组 课时 2 课时 学习目标 1 掌握空间两条直线间距离的概念 2 掌握点与平面 直线与平面 平面与平面间距离的概念 并能进行相互转化 通过解三角形知 识求出它们的距离 学习重难点 几种空间距离之间的相互转化 学习过程 一 一 课前预习指导 课前预习指导 1 两点间的距离的求法 设 则 zyxa a 若A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 则dAB 2 点到直线距离的求法 设l是过点P平行于向量的直线 A是直线l外一定点 设s AA l 垂足为A 则点A到直线l的距离d等于线AA 的长度 而向量在上的投影的大小 等于线段PA 的长度 所PAs PA 0 s 以根据勾股定理有点A到直线 l的距离 d 3 点到平面的距离的求法 设 是过点P垂直于向量的平面 A是平面 外一定点 设AA 垂足为A n 则点A到平面 的距离d等于线段AA 的长度 而向量在上的投影的大小PAn 等于线段AA 的长度 所以点A到平面 的距离d PA 0 n PA 0 n 二 二 新课学习 新课学习 问题探究一问题探究一 点到直线的距离点到直线的距离 例 1 如图 在空间直角坐标系中有长方体ABCD A1B1C1D1 AB 1 BC 2 AA1 3 求点A1到B1D的距离 学后检测学后检测 1 1 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a 则点A1与对角线BC1所在直线间的距 离是 A a B a C a D 6 22 a 2 问题探究三问题探究三 点到平面的距离点到平面的距离 讲解教材 49 页例 2 学后检测学后检测 2 2 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC1F所截而得到的 其中AB 4 BC 2 CC1 3 BE 1 求点C到平面AEC1F的距离 三三 当堂检测 当堂检测 1 已知平面 的一个法向量 2 2 1 点A 1 3 0 在 内 则P 2 1 4 n 到 的距离为 A 10 B 3 C D 8 3 10 3 2 如图 在 60 的二面角 AB 内 AC BD AC AB于A BD AB于B 且AC AB BD 1 则CD的长为 A 3 B C 2 D 32 3 已知向量 6 3 4 和直线l垂直 点A 2 0 2 在直线l上 则点P 4 0 2 到直n 线l的距离为 4 在正三棱柱ABC A1B1C1中 AB 1 若二面角C AB C1的大小为 60 则点C到平面 ABC1的距离为 四 课堂小结 五 课后反思 章末小结章末小结 高二数学 编写人 程伟 审核人 高二数学组 课时 2 课时 知识点一知识点一 空间向量的计算空间向量的计算 空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似 是平面向量的拓展 主要考查空间向量 的共线与共面以及数量积运算 是用向量法求解立体几何问题的基础 例 1 沿着正四面体 O ABC 的三条棱 的方向有大小等于 1 2 和 3 的三个力 OA OB OC f1 f2 f3 试求此三个力的合力 f 的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值 知识点二知识点二 证明平行 垂直关系证明平行 垂直关系 空间图形中的平行 垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一 利用空间向量证明平行和垂直问 题 主要是运用直线的方向向量和平面的法向量 借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理 再通过向量运算来解决 例 2 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别为 AB B1C 的中 点 1 用向量法证明平面 A1BD 平面 B1CD1 2 用向量法证明 MN 面 A1BD 例 3 如图 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 P 是侧棱 CC1上的 一点 CP m 试确定 m 使得直线 AP 与平面 BDD1B1所成的角为 60 例 4 正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是 BB1 CD 的中点 求证 平面 AED 平面 A1FD1 知识点三知识点三 空间向量与空间角空间向量与空间角 求异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角 一般有两种方法 即几何法和向量法 几何 法求角时 需要先作出 或证出 所求空间角的平面角 费时费力 难度很大 而利用向量法 只需 求出直线的方向向量与平面的法向量 即可求解 体现了向量法极大的优越性 例 5 如图所示 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 5 AD 8 AA1 4 M 为 B1C1上一点且 B1M 2 点 N 在线段 A1D 上 A1D AN 1 求 cos A1D AM 2 求直线 AD 与平面 ANM 所成角的余弦值 3 求平面 ANM