离散数学复习题

2004 年 复变函数与积分变换 试卷 一 填空题 满分 30 分 1 方程的全部解为 031 iez 2 平面上的直线 为实常数 在映射下的原像为 wCu C 2 zw 3 设在右半平面是解析函数 则常数 x y iyxazfarctan ln 22 0 x a 4 设是从点到原点的有向直线段 则积分 Ci 1O C zdzRe 5 设 其中为的正向 则 则 d z zf C 3 sin C2 2 z 1 f 6 设的泰勒级数为 则其收敛半径为 3 1 1 zz e zf z 0 2 n n n zc 7 函数在处的 Taylor 级数为 2ln z 0 z 8 设 则 Res 1 1 sin 1 2 z zzf 1 zf 9 设为单位阶跃函数 则 tu ttu3cos 10 设 则 ttutttfsin cos tf 二 本题满分 10 分 已知调和函数 试求其共轭调和函数xxyxyxu23 23 使得为解析函数 yxvivuzf 三 本题满分 12 分 将函数分别在下列圆环域 1 2 1 1 zz zf10 z 2 内展开成罗朗级数 21z 四 本题满分 18 分 计算下列积分 1 其中为的正向 C z dz zz e I 2 1 C2 z 2 其中 0 22 sin dx ax xx I0 a 3 其中为的正向 C z dz e zz I 3 1 sin C1 z 五 本题满分 10 分 求将上半平面映射成圆 且满足0 Im z2 w 的分式线性映射 0 2 arg 0 2 iwiw 六 本题满分 10 分 1 计算 t t dt t te 0 2 3sin 2 若 为非零常数 证明 F tfa 1 a F a atf 七 本题满分 10 分 用积分变换求方程满足初始条件的解 tyy 2 0 1 0 yy 2005 年 复变函数与积分变换 试卷 一 填空题 本题共 5 小题 每小题 4 分 满分 20 分 1 的实部是 虚部是 43ln i 2 若 则 Res z zzf 1 cos 3 0 zf 3 映射在处的伸缩率为 转动角为 2 zw iz 4 设 则 ttf 2 sin tf 5 设 则 tetf t cos 4 tf 二 选择题 本题共 6 小题 每小题 3 分 满分 18 分 1 复变函数在点解析与在点 等价 yxivyxuzf 0 z 0 z A 可导 B 某邻域内可展开成幂级数 C 满足条件 D 可微vu RC vu 2 设在单连通域内解析 为内一条正向简单闭曲线 则必有 zfDCD A B 0 Im C dzzf C dzzf0 Re C D 0 dzzf C 0 Re C dzzf 3 是的 0 z 2 sin z z zf A 可去奇点 B 本性奇点 C 二级极点 D 以上全不正确 4 分式线性映射 将映射成 2 2 z z iw2 z A B C D 0Im w1 w1 w0Re w 5 如果函数的幂级数为 则此幂级数的收敛半径 2 1 sin izz zf 0n n nz c 为 A 0 B 1 C 2 D i 6 设 则 0 tttf tf A 1 B C D 2 0 tj e 0 tj e 三 9 分 设 求的值使为调和函数 并求出解析函数 yev px sin pvivuzf 四 计算下列积分 本题共 5 小题 每小题 5 分 满分 25 分 1 沿从原点到的直线段 计算积分 i 1 i dzz 1 0 2 1 2 其中为正向 C dz z21 1 2 zC 3 其中为正向 C dz zz z 1 sin 2 2 2 zC 4 其中 正向圆周 C zz dz 35 1 1 11 rzC 5 求 dx x 22 1 1 五 5 分 求级数的收敛半径 并讨论和 2 时级数的敛散性 1 2 1 n n n z iz 1 六 10 分 将函数分别在下列圆环域内展开成洛朗级数 23 1 2 zz zf 1 2 3 10 z21 z 21z 七 9 分 应用拉氏变换解满足初始条件的微分方程1 0 0 0 yy t eyyy 2 八 4 分 设函数在区域内解析 且满足条件 其中ivuzf Dcbvau 是不全为零的常数 证明在内恒为常数 cba zfD 2006 年 复变函数与积分变换 试卷 一 填空题 本题共 5 小题 每小题 3 分 满分 15 分 1 已知是解析函数 则 cxyibyaxzf 22 abc 2 设的 Taylor 级数为 则该级数的收敛半径为 2 1 sin zz z zf n n n izc 0 3 已知 则 e tf t 0 0 0 t t 0 ttf 4 在处的伸缩率为 转动角为 3 zw iz2 5 设 则 t tf 0 1 t t 0 0 t tf cos 0 2 t t 0 0 21 tftf 二 选择题 本题共 5 小题 每小题 3 分 满分 15 分 1 函数在点处可导是在该点解析的 zf 0 z zf A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 2 将平面上的直线映射成平面上的曲线 2 zw z1 xw A B C D 1 4 2 uv 1 4 2 vu 1 22 vu1 22 vu 3 设曲线为单位圆 取正向 则积分 C1 z C z zdze sin A B C D 0 e1sin1sine 4 级数 0 2 1 1 n n n i n A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 敛散性不定 5 是函数的 0 z 3 2 1 z e zf z A 非孤立奇点 B 可去奇点 C 一级极点 D 本性奇点 三 12 分 已知调和函数 求调和函数 使成为 x y varctan 0 xuivuzf 解析函数 并满足 2 1 f 四 20 分 计算下列积分 1 其中为抛物线上从点 0 到点的一段弧 C dziyx 2 C 2 xy i 1 2 正向 C zz dz 9 1 22 C2 z 3 正向 C z dz zz e 2 1 C2 z 4 dx x xx 2 1 sin 五 12 分 将函数分别在下列圆环域内展开成洛朗级数 2 1 zz zf 1 2 3 20 z z2 22z 六 10 分 求将上半平面映射成单位圆且满足条件0 Im z1 w 的分式线性映射 0 arg0 if if 七 12 分 应用 Laplace 变换解微分方程 1 0 23 0 0 t t t y y eyyy 八 4 分 设函数在区域内解析 且在区域内是一个常数 证ivuzf D zfD 明在内恒为常数 zfD 2007 年 复变函数与积分变换 试卷 一 填空题 本小题共 5 小题 每小题 3 分 满分 15 分 1 已知函数是解析函数 则 2323 lxyxiynxmyzf l m n 2 设的 Taylor 级数为 则该级数 1 2 izzz e zf z 0 23 n n n izc 的收敛半径为 3 已知 则 2 2 2 4 AeAe t 2 2t et 4 计算 i i 1 5 设则 0 0 0 0 0 0 21 te t tf tt t tf t 21 tftf 二 选择题 本小题共 5 小题 每小题 3 分 满分 15 分 1 下列说法正确的是 A 若在区域内可导 则在区域内解析 zfD zfD B 若在点解析 则在区域内可导 zf 0 zDz 0 zfD C 若在点连续 则在点可导 zf 0 z zf 0 z D 若在点可导 则在点解析 zf 0 z zf 0 z 2 将平面上的曲线映射成平面上的图形为 z w 1 z4 22 yxw A B C D 2 1 u2 u4 22 vu 4 1 22 vu 3 设为正向圆周 则积分 C1 z C dz z z A B C D 4 2i 2i 4 4 级数 0 2 cos n n in A 敛散性不定 B 发散 C 条件收敛 D 绝对 收敛 5 是函数的 0 z 2 sin z z zf A 非孤立奇点 B 可去奇点 C 一级极点 D 本 性奇点 三 12 分 验证在右半平面内是调和函数 并求以此为虚部 22 yx y yxv 的解析函数 且使 zf2 1 f 四 计算下列各题 本小题共 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 1 i zdzz 0 sin 2 其中 取正向 C dz zcos 1 2 3 zC 3 其中 取正向 C dz z z 2 2 cos 2 zC 4 其中 取正向 C dz zz z 32 13