2011届高考数学难点突破难点26 垂直与平行

1 难点难点 26 垂直与平行垂直与平行 垂直与平行是高考的重点内容之一 考查内容灵活多样 本节主要帮助考生深刻理解线 面平行与垂直 面面平行与垂直的判定与性质 并能利用它们解决一些问题 难点磁场 已知斜三棱柱ABC A1B1C1中 A1C1 B1C1 2 D D1分别是 AB A1B1的 中点 平面 A1ABB1 平面 A1B1C1 异面直线 AB1和 C1B 互相垂直 1 求证 AB1 C1D1 2 求证 AB1 面 A1CD 3 若 AB1 3 求直线 AC 与平面 A1CD 所成的角 案例探究 例 1 两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB M AC N FB 且 AM FN 求证 MN 平面 BCE 命题意图 本题主要考查线面平行的判定 面面平行的判定与性质 以及一些平面几 何的知识 属 级题目 知识依托 解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行 即 线 内 线 外 线 外 面 或转化为证两个平面平行 错解分析 证法二中要证线面平行 通过转化证两个平面平行 正确的找出 MN 所在 平面是一个关键 技巧与方法 证法一利用线面平行的判定来证明 证法二采用转化思想 通过证面面平 行来证线面平行 证法一 作 MP BC NQ BE P Q 为垂足 则 MP AB NQ AB MP NQ 又 AM NF AC BF MC NB MCP NBQ 45 Rt MCP Rt NBQ MP NQ 故四边形 MPQN 为平行四边形 MN PQ PQ平面 BCE MN 在平面 BCE 外 MN 平面 BCE 证法二 如图过 M 作 MH AB 于 H 则 MH BC AB AH AC AM 2 连结 NH 由 BF AC FN AM 得 AB AH BF FN MN 平面 BCE 例 2 在斜三棱柱 A1B1C1 ABC 中 底面是等腰三角形 AB AC 侧面 BB1C1C 底面 ABC 1 若 D 是 BC 的中点 求证 AD CC1 2 过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1的平面交侧棱于 M 若 AM MA1 求证 截面 MBC1 侧面 BB1C1C 3 AM MA1是截面 MBC1 平面 BB1C1C 的充要条件吗 请你 叙述判断理由 命题意图 本题主要考查线面垂直 面面垂直的判定与性质 属 级题目 知识依托 线面垂直 面面垂直的判定与性质 错解分析 3 的结论在证必要性时 辅助线要重新作出 技巧与方法 本题属于知识组合题类 关键在于对题目中条件的思考与分析 掌握做 此类题目的一般技巧与方法 以及如何巧妙作辅助线 1 证明 AB AC D 是 BC 的中点 AD BC 底面 ABC 平面 BB1C1C AD 侧面 BB1C1C AD CC1 2 证明 延长 B1A1与 BM 交于 N 连结 C1N AM MA1 NA1 A1B1 A1B1 A1C1 A1C1 A1N A1B1 C1N C1B1 底面 NB1C1 侧面 BB1C1C C1N 侧面 BB1C1C 截面 C1NB 侧面 BB1C1C 截面 MBC1 侧面 BB1C1C 3 解 结论是肯定的 充分性已由 2 证明 下面证必要性 过 M 作 ME BC1于 E 截面 MBC1 侧面 BB1C1C ME 侧面 BB1C1C 又 AD 侧面 BB1C1C ME AD M E D A 共面 AM 侧面 BB1C1C AM DE CC1 AM DE CC1 D 是 BC 的中点 E 是 BC1的中点 AM DE AA1 AM MA1 2 1 2 1 1 CC 锦囊妙计 垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系 1 平行转化 2 垂直转化 3 每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的 例如 有两个平面垂直时 一般要用性质定理 在一个平面内作交线的垂线 使之转 化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 歼灭难点训练 一 选择题 1 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 底面是边长为 2 的正方形 高为 4 则点 A1到截面 AB1D1的距离是 A B C D 3 8 8 3 3 4 4 3 2 在直二面角 l 中 直线 a 直线 b a b 与 l 斜交 则 A a 不和 b 垂直 但可能 a bB a 可能和 b 垂直 也可能 a b C a 不和 b 垂直 a 也不和 b 平行D a 不和 b 平行 但可能 a b 二 填空题 3 设 X Y Z 是空间不同的直线或平面 对下面四种情形 使 X Z 且 Y ZX Y 为真命题的是 填序号 X Y Z 是直线 X Y 是直线 Z 是平面 Z 是直线 X Y 是平面 X Y Z 是平面 4 设 a b 是异面直线 下列命题正确的是 过不在 a b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 a b 都相交 过不在 a b 上的一点 P 一定可以作一个平面和 a b 都垂直 过 a 一定可以作一个平面与 b 垂直 过 a 一定可以作一个平面与 b 平行 三 解答题 5 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 侧棱 PA 垂直于底面 E F 分别是 AB PC 的中点 1 求证 CD PD 2 求证 EF 平面 PAD 3 当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大角时 直线 EF 平面 PCD 6 如图 在正三棱锥 A BCD 中 BAC 30 AB a 平行于 AD BC 的 截面 EFGH 分别交 AB BD DC CA 于点 E F G H 1 判定四边形 EFGH 的形状 并说明理由 2 设 P 是棱 AD 上的点 当 AP 为何值时 平面 PBC 平面 EFGH 请给出证明 4 7 如图 正三棱柱 ABC A1B1C1的各棱长都相等 D E 分别是 CC1和 AB1 的中点 点 F 在 BC 上且满足 BF FC 1 3 1 若 M 为 AB 中点 求证 BB1 平面 EFM 2 求证 EF BC 3 求二面角 A1 B1D C1的大小 8 如图 已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1的底面是菱形且 C1CB C1CD BCD 60 1 证明 C1C BD 2 假定 CD 2 CC1 记面 C1BD 为 面 CBD 为 求二面角 BD 的平面 2 3 角的余弦值 3 当的值为多少时 可使 A1C 面 C1BD 1 CC CD 参考答案 难点磁场 1 1 证明 A1C1 B1C1 D1是 A1B1的中点 C1D1 A1B1于 D1 又 平面 A1ABB1 平面 A1B1C1 C1D1 平面 A1B1BA 而 AB1平面 A1ABB1 AB1 C1D1 2 证明 连结 D1D D 是 AB 中点 DD1CC1 C1D1 CD 由 1 得 CD AB1 又 C1D1 平面 A1ABB1 C1B AB1 由三垂线定理得 BD1 AB1 又 A1D D1B AB1 A1D 而 CD A1D D AB1 平面 A1CD 3 解 由 2 AB1 平面 A1CD 于 O 连结 CO1得 ACO 为直线 AC 与平面 A1CD 所成 5 的角 AB1 3 AC A1C1 2 AO 1 sinOCA 2 1 AC AO OCA 6 歼灭难点训练 一 1 解析 如图 设 A1C1 B1D1 O1 B1D1 A1O1 B1D1 AA1 B1D1 平面 AA1O1 故平面 AA1O1 AB1D1 交线为 AO1 在面 AA1O1内过 A1作 A1H AO1于 H 则易 知 A1H 长即是点 A1到平面 AB1D1的距离 在 Rt A1O1A 中 A1O1 AO1 3 由22 A1O1 A1A h AO1 可得 A1H 3 4 答案 C 2 解析 如图 在 l 上任取一点 P 过 P 分别在 内作 a a b b 在 a 上任 取一点 A 过 A 作 AC l 垂足为 C 则 AC 过 C 作 CB b 交 b 于 B 连 AB 由 三垂线定理知 AB b APB 为直角三角形 故 APB 为锐角 答案 C 二 3 解析 是假命题 直线 X Y Z 位于正方体的三条共点棱时为反例 是 真命题 是假命题 平面 X Y Z 位于正方体的三个共点侧面时为反例 答案 4 三 5 证明 1 PA 底面 ABCD AD 是 PD 在平面 ABCD 内的射影 CD平面 ABCD 且 CD AD CD PD 2 取 CD 中点 G 连 EG FG E F 分别是 AB PC 的中点 EG AD FG PD 平面 EFG 平面 PAD 故 EF 平面 PAD 3 解 当平面 PCD 与平面 ABCD 成 45 角时 直线 EF 面 PCD 证明 G 为 CD 中点 则 EG CD 由 1 知 FG CD 故 EGF 为平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角 即 EGF 45 从而得 ADP 45 AD AP 由 Rt PAE Rt CBE 得 PE CE 6 又 F 是 PC 的中点 EF PC 由 CD EG CD FG 得 CD 平面 EFG CD EF 即 EF CD 故 EF 平面 PCD 6 1 证明 同理 EF FG EFGH 是平行四边形 A BCD 是正三棱锥 A 在底面上的射影 O 是 BCD 的中心 DO BC AD BC HG EH 四边形 EFGH 是矩形 2 作 CP AD 于 P 点 连结 BP AD BC AD 面 BCP HG AD HG 面 BCP HG面 EFGH 面 BCP 面 EFGH 在 Rt APC 中 CAP 30 AC a AP a 2 3 7 1 证明 连结 EM MF M E 分别是正三棱柱的棱 AB 和 AB1的中点 BB1 ME 又 BB1平面 EFM BB1 平面 EFM 2 证明 取 BC 的中点 N 连结 AN 由正三棱柱得 AN BC 又 BF FC 1 3 F 是 BN 的中点 故 MF AN MF BC 而 BC BB1 BB1 ME ME BC 由于 MF ME M BC 平面 EFM 又 EF 平面 EFM BC EF 3 解 取 B1C1的中点 O 连结 A1O 知 A1O 面 BCC1B1 由点 O 作 B1D 的垂线 OQ 垂足为 Q 连结 A1Q 由三垂线定理 A1Q B1D 故 A1QD 为二面角 A1 B1D C 的平面角 易得 A1QO arctan 15 8 1 证明 连结 A1C1 AC AC 和 BD 交于点 O 连结 C1O 四边形 ABCD 是菱形 AC BD BC CD 又 BCC1 DCC1 C1C 是公共边 C1BC C1DC C1B C1D DO OB C1O BD 但 AC BD AC C1O O BD 平面 AC1 又 C1C平面 AC1 C1C BD 2 解 由 1 知 AC BD C1O BD C1OC 是二面角 BD 的平面角 在 C1BC 中 BC 2 C