同济第五版配套线性方程组与初等变换1

课课 题题 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3 1 矩阵的初等变换 教学内容矩阵的初等变换 几类特殊形矩阵 矩阵等价 教学目标 掌握初等变换的定义和几类特殊形矩阵 会把任一矩阵化 为行阶梯形及行最简形 理解矩阵等价的含义及其性质 教学重点用消元法解线性方程组 教学难点对矩阵初等变换的理解 双语教学内容 安排 矩阵的初等变换 elementary transformation of matrix and 线性方程组 linear equation 增广矩阵 augmented matrix 3 1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 一 引例 例如 3 622 2 4524 1 132 31 321 321 xx xxx xxx 1 3 1 2 2 6 5 5 24 4 132 32 32 321 xx xx xxx 6 5 6 4 5 9 183 8 5 7 132 3 32 321 x xx xxx 6 1 9 3 2 1 x x x 解线性方程组的初等变换 1 互换两个方程的位置 2 用非零数乘某个方程 3 将某个方程的若干倍加到另一个方程 用矩阵的初等变换表示方程组的求解过程如下 通过对例题 的讲解 使 学生掌握解 方程组的初 等变换的三 种形式 消元法解线 性方程组实 质 把原方 程化为与之 同解的简单 线性方程组 6202 4524 1312 bA 5110 2140 1312 行行 18300 5110 1312 行行 6100 1010 9001 行行 方程组 或者 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 n x x x 2 1 m b b b 2 1 bAx 增广矩阵 bAA 二 初等变换 1 定义 行变换 列变换 对调 ji rr ji cc 数乘 0 k i rk i ck 倍加 ji rkr ji ckc nm A 经过初等变换得到 nm B 记作 nmnm BA 例 1 4131 122122 2832 A 化为行阶梯形矩阵及行最简 形矩阵 解 4131 4460 6690 行行 A 0000 4460 4131 行行 行最简形 0000 323210 4131 行行 A 矩阵的初等 变换是线性 代数的一个 重要工具 问 与行列 式的运算有 什么不同 B 0000 323210 2301 行行 行阶梯形矩阵 若矩阵满足 在元素不全为零的行中 除去第一 个非零元素右边的零元素后 图中虚线右边元素 剩下的零元素 构成阶梯形状 且每阶梯只有一行 则称该矩阵为行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 在行阶梯形矩阵中 若每一行的第一个非零元素 都是 1 且和这些元素同列的其他元素都是 0 则称这样的矩阵 为行最简形矩阵 标准形 HA 0000 0010 0001 行行与与列列 矩阵化为标准形的一般步骤 矩阵化为标准形的一般步骤 1 矩阵通过行初等变换化为行阶梯形矩阵 2 再通过行初等变换化为行最简形矩阵 3 再通过列初等变换化为标准形 2 等价矩阵 若 nmnm BA 有有限限次次 称 nm A 与 nm B 等价 记作 nmnm BA 1 自反性 AA 2 对称性 nmnm BA nmnm AB 3 传递性 nmnm BA nmnm CB nmnm CA 结论 矩阵 A 与 B 等价 A 与 B 有相同的标准形 例 2 301 020 201 B 500 020 201 100 010 001 9113 12334 3221 C 0770 011110 3221 0000 0110 3221