锐角三角函数专题训练

锐角三角函数与特殊角专题训练锐角三角函数与特殊角专题训练 基础知识精讲基础知识精讲 一 一 正弦与余弦 正弦与余弦 1 在中 为直角 我们把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦 记ABC C AA 作 Asin 锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦 记作 AA Acos 斜边 的邻边 斜边 的对边A A A A cossin 若把的对边记作 邻边记作 斜边记作 A BCaACbABc 则 c a A sin c b A cos 2 当为锐角时 为锐角 A 1sin0 A1cos0 AA 二 二 特殊角的正弦值与余弦值 特殊角的正弦值与余弦值 2 1 30sin 2 2 45sin 2 3 60sin 2 3 30cos 2 2 45cos 2 1 60cos 三 增减性 增减性 当时 00 900 sin随角度的增大而增大 cos随角度的增大而减小 四四 正切概念 1 在中 的对边与邻边的比叫做的正切 记作 ABCRt A A Atan 即 或 的邻边 的对边 A A A tan b a A tan 五 特殊角的正弦值与余弦值 五 特殊角的正弦值与余弦值 3 3 30tan 145tan 360tan 六 六 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦 值 90sin cos 90cos sinAAAA 七 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 即 AA 90cottan AA 90tancot 八 同角三角函数之间的关系 平方关系 商的关系 1cossin 22 AA A A A cos sin tan 倒数关系 tana cota 1 A A A sin cos cot 典型例题典型例题 1 已知 a 为锐角 若 sina 3 5 求 cosa tana 的值 若 tana 3 4 求 sina cosa 的值 若 tana 2 求 3sina cosa 4cosa 5sina 2 在 ABC 中 角 A 角 B 角 C 的对边分别为 a b c 且 a b c 9 40 41 求 tanA 1 tanA 的值 3 求下列各式的锐角 2sina 1 2tana cosa 根号 3 tan2a 1 根号 3 tana 根号 3 0 4 在 ABC 中 AB 15 BC 14 S ABC 84 求 tanc sina 的值 5 等腰三角形的面积为 2 腰长为根号 5 底角为 a 求 tana 6 锐角 a 满足 cosa 3 4 则 a 较确切的取值范围 A 0 a 45 B 45 a 90 C 45 a 60 D C 30 a 45 7 计算 计算 0202020202 89sin88sin3sin2sin1sin 基础练习基础练习 一 填空题 一 填空题 1 2 30sin30cossin 2 1 cos 3 若 且 则 已知 则锐角 2 1 sin 900 2 3 sin 4 在 cos 60 90 BACABCRt则中 5 在 ABC cos 5 3 90 BABACC则 6 sin 5 3 90 AABBCCABCRt则中 7 在中 则 ABC Rt 90Cba33 A Asin 8 在中 如果各边长度都扩大 2 倍 则锐角的正弦值和余弦值 ABC RtA 9 在中 若 都是锐角 则的度ABC 0cos 2 3 2 2 sin 2 BA A B C 数是 10 1 如果是锐角 且 那么的度数为 154sinsin 22 2 如果是锐角 且 那么的值是 5 4 cos 90cos 11 将 的值 按由小到大的顺序排列是 21cos 37cos 41sin 46cos 12 在中 若 则 ABC 90C 5 1 cos BB 2 sin 13 的值为 30cos30sin 22 18sin72sin 22 14 一个直角三角形的两条边长为 3 4 则较小锐角的正切值是 15 计算 结果正确的是 22 3 1 45tan60sin 16 在 1 2tan baBRtCABCRt则若中 17 等腰梯形腰长为 6 底角的正切为 下底长为 则上底长为 高 4 2 212 为 18 在中 则的值为ABC Rt 90C3cot A 2 tansincot C BA 19 比较大小 用 号连接 其中 90BA AAtan sinBAcos sinA A A tan cos sin 20 在 Rt中 则等于 ABC 90CBA tantan 二 二 计算计算 21 22 45sin30cos45cos30sin 30cos30sin45sin 2 2 60sin 2 1 23 45cos60 sin45sin30 cos45sin230sin2 24 25 2sin60 2 1 1 2 60tan1 能力提升能力提升 1 如图 在于点 D AD 4 ABCDRtACBABCRt 中 5 4 sin ACD 的值 CD求BC 2 比较大小 sin23 sin33 cos67 5 cos76 5 3 若 30 90 化简 cos1 2 3 cos cos cos 2 4 已知 则锐角 1sin40sin 22 5 在那么 n 的值是 5 4 sin 5 1 cos 90 nBACABCRt 中 6 已知 则 m n 的关系是 cossin cossinnm A B C D nm 12 nn12 2 nmnm21 2 7 如图 在等腰 Rt ABC中 C 90o AC 6 D是AC上一点 若 tan DBA 5 1 则AD的 长为 A 2 B 3 C 2 D 1 8 如图 矩形ABCD中 AB AD AB a AN平分 DAB DM AN于点M CN AN于点N 则DM CN的值为 用含a的代数式 表示 A a B a 5 4 C a 2 2 D a 2 3 9 已知AD是等腰 ABC底边上的高 且tan B 4 3 AC上有一点E 满足AE CE 2 3则tan ADE的值是 10 如图 在菱形ABCD中 已知AE BC于E BC 1 cosB 求这个菱形的面积 13 5 11 北京市中考试题 在 斜中ABC Rt 90C 边 两直角边的长是关于的一元二次方程5 cba x A BC D 的两个根 求较小锐角的正弦值 022 2 mmxxABC Rt 12 2010 武侯中考模拟 如图 ABC 中 AD 是 BC 边上的高 tan B cos DAC 1 求证 AC BD 2 若 sin C BC 12 求 AD 的长 13 12 12 在一次数学活动课上 老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度 他们首先在A处安 置测倾器 测得塔顶C的仰角 CFE 21 然后往塔的方向前行 50 米到达B处 此时测 得仰角 CGE 37 已知测倾器高 1 5 米 请你根据以上数据计算出古塔CD的高度 参考数据 3 sin37 5 3 tan37 4 9 sin21 25 3 tan21 8 13 如图 大海中有 A 和 B 两个岛屿 为测量它们之间的距离 在海岸线 PQ 上点 E 处测 得 AEP 74 BEQ 30 在点 F 处测得 AFP 60 BFQ 60 EF 1km 1 判断 ABAE 的数量关系 并说明理由 2 求两个岛屿 A 和 B 之间的距离 结果精确到 0 1km 参考数据 1 73 sin74 cos74 0 28 3 tan74 3 49 sin76 0 97 cos76 0 24 14 已知 如图 在边上一点 且BCDBACBABCRt是中 5 3 sin 90 DC 6 求 45ADC 的正切值BAD 15 如图 小唐同学正在操场上放风筝 风筝从 A 处起飞 几分钟后便飞达 C 处 此时 在 AQ 延长线上 B 处的小宋同学 发现自己的位置与风筝和旗杆 PQ 的顶点 P 在同一直线 上 1 已知旗杆高为 10 米 若在 B 处测得旗杆顶点 P 的仰角为 30 A 处测得点 P 的 仰角为 45 试求 A B 之间的距离 2 此时 在 A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为 75 若绳子在空中视为一条线段 求绳子 AC 约为多少 结果可保留根号 16 小明家准备建造长为 28 米的蔬菜大棚 示意图如图 1 它的横截面为如图 2 所 示的四边形 已知米 米 到ABCD3AB 6BC 45BCD ABBC D 的距离为 1 米 矩形棚顶及矩形由钢架及塑料薄膜制作 造价BCDEADD A DCC D 为每平方米 120 元 其它部分 保温墙体等 造价共 9250 元 则这个大棚的总造价为多少 元 精确到 1 元 下列数据可供参考 21 4131 7352 245 395 83 29 34 思维拓展训练思维拓展训练 1 已知 a 为锐角 且 sin a 10 2 则 a 2 已知锐角 A 满足关系式 2sin2A 7 sinA 3 0 则 sinA 3 已知关于 x 的方程 3x2 4 xsina 2 1 cosa 0 有两个不相等的实数根 a 为锐角 那么 a 的取值范围 4 已知关于 x 的方程 x2 2 m 1 x m2 3 0 有两个不相等的实数根 1 求实数 m 的取值范围 2 已知 a b c 分别是 ABC 的内角 A B C 的对边 C 90 且 tanB 3 4 c b 4 若方程的两个实数根的平方和等于 ABC 的斜边 c 的平方 求 m 的值 5 在 ABC 中 a b c 分别是 A B C 的对边 且 c 5 若关于 x 的方程 5 b x2 2ax 5 b 0 有两个相等的实数根 又方程 2x2 10sinA x 5sinA 0 的 两实数根的平方和为 6 求 ABC 的面积 6 如图 已知 P 为 AOB 的边 OA 上的一点 以 P 为顶点的 MPN 的两边分别交射线 OB 于 M N 两点 且 MPN AOB 为锐角 当 MPN 以点 P 为旋转中心 PM 边与 PO 重合的位置开始 按逆时针方向旋转 MPN 保持不变 时 M N 两点在射线 OB 上同时以不同的速度向右平行移动 设 OM x ON y y x 0 POM 的面积为 S 若 sin 二分之根号三 oP 2 1 当 MPN 旋转 30 即 OPM 30 时 求点 N 移动的距离 2 求证 OPN PMN 3 写出 y 与 x 之间的关系式 4 试写出 S 随 x 变化的函数关系式 并确定 S 的取值范围 2 题图 7 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC C 90 BC 16 DC 12 AD 21 动点 P 从点 D 出发 沿射线 DA 的方向以每秒 2 两个单位长的速度运动 动点 Q 从点 C 出发 在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动 点 P Q 分别从点 D C 同时出发 当点 Q 运动到点 B 时 点 P 随之停止运动 设运动的时间为 t 秒 1 设 BPQ 的面 积为 S 求 S 与 t 之间的函数关系式 2 当 t 为何值时 以 B P Q 三点为顶点的三角 形是等腰三角形 3 当线段 PQ 与线段 AB 相交于点 O 且 2AO OB 时 求 BQP 的 正切值 4 是否存在时刻 t 使得 PQ BD 若存在 求出 t 的值 若不存在 请说明理由 8 如图 直角坐标系中 梯形 ABCD 的底边 AB 在 x 轴上 底边 CD 的端点 D 在 y 轴上 直线 CB 的表达式为 y x 点 A D 的坐标分别为 4 0 0 4 动点 P 自 4 3 16 3 A 点出发 在 AB 上匀速运行 动点 Q 自点 B 出发 在折线 BCD 上匀速运行 速度均为每 秒 1 个单位 当其中一个动点到达终点时 它们同时停止运动 设点 P 运动 t 秒 时 OPQ 的面积为 s 不能构成 OPQ 的动点除外 1 求出点 B C 的坐标 2 求 s 随 t 变化的函数关系式 3 当 t 为何值时 s 有最大值 并求出最大值 9 9 如图 将矩形 OABC 放置在平面直角坐标系中 点 D 在边 0C 上 点 E 在边 OA 上 把矩 形沿直线 DE 翻折 使点 O 落在边 AB 上的点 F 处 且 tan BFD 若线段 OA 的长是一元 3 4 二次方程 x2 7x 一 8 0 的一个根 又 2AB 30A 请解答下列问题 1 求点 B F 的坐标 2 求直线 ED 的解析式 3 在直线 ED FD 上是否存在点 M N 使以点 C D M N 为顶点的四边 形是平行四边形 若存在 请直接写出点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 6 题图 10 已知平行四边形 ABCD 中 对角线 AC 和 BD 相交于点 O AC 10 BD 8 1 若 AC BD 试求四边形 ABCD 的面积 2 若 AC 与 BD 的夹角 AOD 60 求四边形 ABCD 的面积 3 试讨论 若把题目中 平行四边形 ABCD 改为 四边形 ABCD 且 AOD AC a BD b 试求四边形 ABCD 的面积 用含 a b 的代数式表示 11 如图 1 已知 ABC 90 ABE 是等边三角形 点 P 为射线 BC 上任意一点 点 P 与点 B 不重合 连接 AP 将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60 得到线段 AQ 连接 QE 并延 长交射线 BC 于点 F 1 如图 2 当 BP BA 时 EBF 猜想 QFC 2 如图 1 当点 P 为射线 BC 上任意一点时 猜想 QFC