立体几何线面关系的常见规律

立体几何线面关系的常见规律立体几何线面关系的常见规律 规律一 线线平行与线线垂直的判定规律一 线线平行与线线垂直的判定 1 1 直线与直线平行的判定方法 直线与直线平行的判定方法 公理 4 平行与同一条直线的两条直线互相平行 直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线垂直与同一个平面 那么这两条直线平行 直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么所得的两交线平行 2 2 直线与直线垂直的判定方法 直线与直线垂直的判定方法 利用直线与平面垂直的定义来判定 如果一条直线垂直于一个平面 那么它就与平面内的任意一条直 线垂直 例题例题 1 1 如图 在六面体ABCD A1B1C1D1中 AA1 CC1 A1B A1D AB AD 求证 1 AA1 BD 2 BB1 DD1 证明 1 取BD的中点M 连结AM A1M 因为A1D A1B AD AB 所以BD AM BD A1M 又 AM A1M M AM A1M 平面A1AM 所以BD 平面A1AM 因为AA1 平面A1AM 所以AA1 BD 2 因为AA1 CC1 AA1 平面D1DCC1 CC1 平面D1DCC1 所以AA1 平 面D1DCC1 又AA1 平面A1ADD1 平面A1ADD1 平面D1DCC1 DD1 所以AA1 DD1 同理可得AA1 BB1 所以BB1 DD1 例题例题 2 2 在三棱锥 S ABC 中 SA平面 ABC SA AB AC 点 D 是 3 3 BC BC 边的中点 点 E 是线段 AD 上一点 且 AE 4DE 点 M 是线段 SD 上一点 求证 BCAM 方法小结 1 要证明线线垂直有两条思路 第一条 把其中一条直线平移 使得两 条直线在同一个平面 然后用平面几何的知识证明垂直即可 第二条 通过 证明线面垂直证明 即证明其中一条直线垂直另一个直线所在的平面 第二 条思路用的较多 要熟练 第一条用的较少 但也不能忘 2 证明线线垂直也主要有两条思路 第一条 证明其中一条直线平行另一条直线所的平面 在用 线面平行的性质 第二条 先证明两条直线所在的平面平行 再证明这两条直线为第三个平面与两平 行平面所交的交线 即运用面面平行的性质定理 面面平行与线面平行的性质定理在证明过程中容易 被学生忽视 所以教学过程中应引起重视 同步练习同步练习 1 1 在如图所示的多面体中 11 AABB 11 CCACCCBC 1 求证 2 求证 1 CCAB 11 CCAA 同步练习同步练习 2 2 如图 在四棱柱中 已知平面平面且 1111 DCBAABCD CCAA 11 ABCD 求证 3 CABCAB1 CDAD 1 AABD 同步练习同步练习 3 3 如图 已知斜三棱柱ABC A1B1C1中 AB AC D为BC的中点 若平面ABC 平面 BCC1B1 求证 AD DC1 规律二 线面平行的判定 规律二 线面平行的判定 方法一 直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条 直线和这个平面平行 方法二 平面与平面平行的定义 如果两个平面平行 那么其中一个平面内的任一条直线平行于另一 个平面 例题 2 三棱柱中 面面 D 是 BC 的中点 M 为 上 111 ABCABC 11 BBC C ABCABAC 1 AA 一动点 若 求证 平面 1 AMMA AD 1 MBC B A 1 A 1 B 1 C C 第 16 题图 1 A E C D B A 1 D 1 B 1 C 第 16 题图 A B C D A1 B1 C1 第 16 题 例题 3 如图 已知 ABCD 直线BC 平面ABE F为CE的中点 求证 直线AE 平面BDF 例题 4 在直角梯形ABCD中 AB CD AB 2BC 4 CD 3 E为AB中点 过E作EF CD 垂足为 F 如 图 1 将此梯形沿EF折成一个直二面角A EF C 如 图 2 求证 BF 平面ACD 方法小结 方法小结 在证明线面平行有两条思路 第一 通过线面平行的判定 即在平面上找一条直线与已知直线平 行 在平面上找直线与已知直线平行有三种方法 1 构造平行四边形 2 通过中位线寻找平行 3 通过比例关系找平行相似 第二 当在已知平面找不出或很难找出直线与已知直线平行时可以考 虑用面面平行的性质来证明 即过已知直线构造平面与已知平面平行 同步练习同步练习 1 1 在正三棱柱中 点是的中点 求证 平面 111 ABCABC DBC 1 BCBB 1 AC 1 AB D 同步练习同步练习 2 2 如图 直三棱柱ABCA B C BAC 90 点M N分别为A B和B C 的中点 证明 MN 平面A ACC 证明 法一 连接AB AC 如图 由已知 BAC 90 AB AC 三棱柱ABCA B C 为直三棱柱 所以M为AB 中点 又因为N为B C 的中点 所以MN AC 又MN 平面A ACC AC 平面A ACC 因此MN 平面A ACC 法二 取A B 的中点P 连接MP NP AB 如图 而M N分别为 AB 与B C 的中点 所以MP AA PN A C 所以MP 平面A ACC PN 平面A ACC 又MP NP P 因此平面MPN 平面A ACC 而MN 平面MPN 因此MN 平面A ACC 同步练习同步练习 3 3 如图 在四面体ABCD中 F E H分别是棱AB BD AC的 中点 G为DE的中点 证明 直线HG 平面CEF 证明 法一 如图 1 连接BH BH与CF交于K 连接EK F H分别是AB AC的中点 K是 ABC的重心 BK BH 2 3 又据题设条件知 BE BG 2 3 EK GH BK BH BE BG EK 平面CEF GH 平面CEF 直线HG 平面CEF 法二 如图 2 取CD的中点N 连接GN HN G为DE的中点 GN CE CE 平面CEF GN 平面CEF GN 平面CEF 连接FH EN F E H分别是棱AB BD AC的中点 FH綉BC EN綉BC FH綉EN 1 2 1 2 四边形FHNE为平行四边形 HN EF EF 平面CEF HN 平面CEF HN 平面CEF HN GN N 平面GHN 平面CEF GH 平面GHN 直线HG 平面CEF 规律三 线面平行中的探索问题规律三 线面平行中的探索问题 如图所示 四边形ABCD为矩形 AD 平面ABE AE EB BC F为CE上的点 且BF 平面ACE 1 求证 AE BE 2 设M在线段AB上 且满足AM 2MB 试在线段CE上确定一点N 使得MN 平面DAE 1 证明 AD 平面ABE AD BC BC 平面ABE 又AE 平面ABE 则AE BC 又 BF 平面ACE AE BF 又BF BC B AE 平面BCE 又BE 平面BCE AE BE 2 解 在 ABE中过M点作MG AE交BE于G点 在 BEC中过G点作 GN BC交EC于N点 连接MN 则由比例关系易得CN CE 1 3 D C1 B1 A1 C B A MG AE MG 平面ADE AE 平面ADE MG 平面ADE 同理 GN 平面ADE 又 GN MG G 平面MGN 平面ADE 又MN 平面MGN MN 平面ADE N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点 方法小结 方法小结 解决探究性问题一般要采用执果索因的方法 假设求解的结果存在 从这个结果出发 寻找使这 个结论成立的充分条件 如果找到了符合题目结果要求的条件 则存在 如果找不到符合题目结果要 求的条件 出现矛盾 则不存在 同步练习 同步练习 如图 在四棱锥P ABCD中 底面是平行四边形 PA 平面ABCD 点M N分别为BC PA 的中点 在线段PD上是否存在一点E 使NM 平面ACE 若存在 请确定点E的位置 若不存在 请说明理由 解 在PD上存在一点E 使得NM 平面ACE 证明如下 取PD的中点E 连接NE EC AE 因为N E分别为 PA PD的中点 所以NE綉AD 1 2 又在平行四边形ABCD中 CM綉AD 所以NE綉MC 即四边形MCEN是 1 2 平 行四边形 所以NM綉EC 又EC 平面ACE NM 平面ACE 所以MN 平面ACE 即在PD上存在一点 E 使得NM 平面ACE 规律三 平面与平面平行的判定 规律三 平面与平面平行的判定 平面与平面平行的判定定理 平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另 一个平面 那么这两个平面平行 例题 5 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N P分别是C1C B1C1 C1D1的 中点 求证 平面PMN 平面A1BD 证明 法一 如图 连接B1D1 B1C P N分别是D1C1 B1C1的中点 PN B1D1 又B1D1 BD PN BD 又PN 平面A1BD PN 平面A1BD 同理MN 平面A1BD 又PN MN N 平面PMN 平面A1BD 法二 如图 连接AC1 AC 且AC BD O ABCD A1B1C1D1为正方体 AC BD CC1 平面ABCD CC1 BD 又AC CC1 C BD 平面AC1C AC1 BD 同理可证AC1 A1B AC1 平面A1BD 同理可证AC1 平面PMN 平面PMN 平面A1BD 规律四 直线与平面垂直的判定 规律四 直线与平面垂直的判定 直线与平面垂直的判定定理 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直 那么这条直线垂直于 这个平面 平面与平面垂直的性质定理 平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另 一个平面 例题 6 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 证明 1 CD AE 2 PD 平面ABE 证明 1 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD CD 平面ABCD PA CD AC CD PA AC A CD 平面PAC 而AE 平面PAC CD AE 2 由PA AB BC ABC 60 可得AC PA E是PC的中点 AE PC 由 1 知AE CD 且PC CD C AE 平面PCD 而PD 平面PCD AE PD PA 底面ABCD PA AB 又 AB AD且PA AD A AB 平面PAD 而PD 平面PAD AB PD 又 AB AE A PD 平面ABE 例题 7 如图 1 所示 在中 为的平分线 ABCRt 6 AC3 BC 90ABCCDACB 点在线段上 如图 2 所示 将沿折起 使得平面平面 连EAC4 CEBCD CD BCDACD 结 设点是的中点 ABFAB 求证 平面 DEBCD 方法小结 方法小结 在证明线面垂直时通常用到的证明线线垂直的方法有 1 等腰三角形的三线合一 2 菱形与正 方形的对角线垂直 3 根据线段的长度运用勾股定理的逆定理 4 线面垂直的定义 5 面面垂直 的性质定理 在证明过程中可以引导学生去掌握证明推理中的分析法 即逆向推理 同步练习 同步练习 如图 直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AB CD AD AB AB 2 AD AA1 3 E为CD 2 上一点 DE 1 EC 3 求证 BE 平面BB1C1C 证明 过B作CD的垂线交CD于F 则 BF AD EF AB DE 1 FC 2 2 在 Rt BEF中 BE 3 在 Rt CFB中 BC 6 在 BEC中 因为BE2 BC2 9 EC2 故BE BC 由BB1 平面ABCD 得BE BB1 又BB1 BC B 所以BE 平面BB1C1C 规律四 平面与平面垂直的性质与判定 规律四 平面与平面垂直的性质与判定 平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 例题 6 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 平面ABC AB BC AA1 且AC BC 点D是AB的 2 中点 求证 平面ABC1 平面B1CD 证明 ABC A1B1C1是棱柱 且AB BC AA1 BB1 四边形BCC1B1是菱形 B1C BC1 由AA1 平面ABC AA1 BB1 得BB1 平面ABC AB 平面ABC BB1 AB 又 AB BC 且AC BC AB BC 2 而BB1 BC B BB1 BC 平面BCC1B1 AB 平面BCC1B1 而B1C 平面BCC1B1 AB B1C 而AB BC1 B AB BC1 平面ABC1 B1C 平面ABC1 而B1C 平面B1CD 平面ABC1 平面B1CD 方法小结 方法小结 其实证明面面垂直就是证明线面垂直 不同的是需要我们找哪条直线垂直哪个平面 一般方法是 如果是要证明 那么就在内找一条直线 证明 或者在内找一条直线 a