高等数学(大一)题库

1 一 函数 极限 连续 一 函数 极限 连续 一 选择题 一 选择题 1 在区间 1 0 内 由 所给出的函数是单调上升的 A B C D 1 xy 2xxy 34 xy 25 xy 2 当时 函数 f x x sin x 是 x A 无穷大量 B 无穷小量 C 无界函数 D 有界函数 3 当 x 1 时 都是无穷小 则 f x 是的 3 1 1 1 xx x x xf x A 高阶无穷小 B 低阶无穷小 C 同阶无穷小 D 等阶无 穷小 4 x 0 是函数的 1 arctanf x x A 可去间断点 B 跳跃间断点 C 振荡间断点 D 无穷 间断点 5 下列的正确结论是 A 若存在 则 f x 有界 limxf xx B 若在的某邻域内 有且都存在 0 x g xf xh x lim 0 xg xx lim 0 xh xx 则也 存在 lim 0 xf xx C 若 f x 在闭区间 a b 上连续 且 f a f b N 时 总有 n xn 10 1 4 101 1 成立的最小 N 应是 4 n x 3 b 为有限数 则 a b 32 1 4 lim 1 x xaxx b x 4 设则 x a 是 f x 的第 类 间断点 ax ax xf 5 且 f g x 在 R 上连续 则 n 0 0 sin xnx xnx xgxxf 三 三 计算题计算题 2 1 计算下列各式极限 1 2 xx x x sin 2cos1 lim 0 x x x x 1 1 ln 1 lim 0 3 4 11 lim 22 0 xx x x x x x cos1 1 sin lim 3 0 5 6 xx x 2cos3sinlim 0 xx x x sin cosln lim 0 2 确定常数 a b 使函数 在 x 1 处连续 1 1 1 11 arccos 2 xx xb xxa xf 四 证明 四 证明 设 f x 在闭区间 a b 上连续 且 a f x b 证明在 a b 内至少有一点 使 f 二 导数与微分 二 导数与微分 一 填空题一 填空题 1 设存在 则 0 fx t txftxf t lim 00 0 2 则 1 3 2 1 3 2 xx xx xf 1 f 3 设 则 dy x ey 2sin 4 设则 0 sin xxxy x dx dy 5 y f x 为方程 xsin y ye确定的隐函数 则 0 x 0 f 二 选择题二 选择题 1 则的值为 0 1ln 2 aaxf x 0 f A lna B lna C D aln 2 1 2 1 2 设曲线与直线相交于点 曲线过点处的切线方程为 2 1 x ey 1x PP A 2x y 2 0 B 2x y 1 0 C 2x y 3 0 D 2x y 3 0 3 设 处处可导 则 0 1 0 2 xxb xe xf ax A a b 1 B a 2 b 1 C a 0 b 1 D a 2 b 1 3 4 若 f x 在点 x 可微 则的值为 x dyy x 0 lim A 1 B 0 C 1 D 不确定 5 设 y f sin x f x 为可导函数 则 dy 的表达式为 A B sin fx dx cos fx dx C D sin cosfxx sin cosfxxdx 三 计算题 三 计算题 1 设对一切实数 x 有 f 1 x 2f x 且 求 0 0 f 1 f 2 若 g x 又 f x 在 x 0 处可导 求 0 0 0 1 cos 2 x x x x 0 x xgf dx d 3 求曲线在 t 0 处的切线方程 01 0 1 yte ttx y 4 f x 在 x a 处连续 求 sin xfaxx a 5 设 求 3 22 2 xyy uxx du dy 6 设 求 lnf xxx n fx 7 计算的近似值 3 9 02 三 中值定理与导数的应用 三 中值定理与导数的应用 一 填空题 一 填空题 1 函数 f x arctanx 在 0 1 上使拉格朗日中值定理结论成立的 2 若则 a b 0 1 lim sin22 ax x eb x 3 设 f x 有连续导数 且则 0 0 1f f ln 0 sin lim 0 xf fxf x 4 的极大值为 极小值为 xey x sin 5 的最大值为 最小值为 10 1 1 x x x arctgy 二 选择题 二 选择题 1 如果 a b 是方程 f x 0 的两个根 函数 f x 在 a b 上满足罗尔定理条件 那么方程 f x 0 在 a b 内 A 仅有一个根 B 至少有一个根 C 没有根 D 以上结论都 不对 2 函数在区间 上 xxfsin 2 2 A 满足罗尔定理的条件 且 0 B 满足罗尔定理的条件 但无法求 4 C 不满足罗尔定理的条件 但有能满足该定理的结论 D 不满足罗尔定理的条件 3 如果一个连续函数在闭区间上既有极大值 又有极小值 则 A 极大值一定是最大值 B 极小值一定是最小值 C 极大值一定比极小值大 D 极在值不一定是最大值 极小值不一定是 最小值 4 设 f x 在 a b 内可导 则是 f x 在 a b 内为减函数的 0fx A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既非充分又非必 要条件 5 若 f x 在 a b 上两次可导 且 则 f x 在 a b 内单调增加且是上凹的 A B 0 0 xfxf 0 0 xfxf C D 0 0 xfxf0 0 xfxf 三 计算题 三 计算题 1 求 22 0 11 1 lim sin x xx tan 0 2 lim x x x 2 求过曲线 y xe上的极大值点和拐点的连线的中点 并垂直于直线 x 0 的直线方程 x 四 应用题 四 应用题 1 通过研究一组学生的学习行为 心理学家发现接受能力 即学生掌握一个概念的 能力 依赖于在概念引人之前老师提出和描述问题所用的时间 讲座开始时 学生的 兴趣激增 分析结果表明 学生掌握概念的能力由下式给出 其中 G x 是接受能力的一种度量 x 是提出概念所 2 0 12 643G xxx 用的时间 单位 min a x 是何值时 学生接受能力增强或降低 b 第 10 分钟时 学生的兴趣是增长还是注意力下降 c 最难的概念应该在何时讲授 d 一个概念需要 55 的接受能力 它适于对这组学生讲授吗 五 证明题 证明题 证明不等式 2 2 arctanln 1 xxx 四 不定积分 四 不定积分 一 选择题 一 选择题 1 设可微 则 xf f x A B C D xdf dxxfd dxxf dxxf 2 若 F x 是的一个原函数 则 cF x 的原函数 xf xf A 是 B 不是 C 不一定是 3 若则 cxFdxxf dxbaxf A B cbaxaF cbaxF a 1 5 C D cxF a 1 cxaF 4 设在 a b 上连续 则在 a b 内必有 xf xf A 导函数 B 原函数 C 极值 D 最大 值或最大值 5 下列函数对中是同一函数的原函数的有 22 11 sincos 24 与与Axx 2 ln lnln 与与Bxx 2 2 与与 xx Cee 1 tancot 2sin 与与 x Dx x 6 在积分曲线族中 过点的曲线方程是 xdxy3sin 1 6 cxDxCcxBxA 3cos 3cos 3 1 3cos 3 1 13cos 3 1 7 7 下列积分能用初等函数表出的是 A B C D 2 x edx 3 1 dx x ln dx x ln xdx x 8 8 已知一个函数的导数为 且 x 1 时 y 2 这个函数是 2yx A B C D 2 yxC 2 1 yx 2 2 x yC 1 yx 9 9 2 ln x dx x A B C D 11 ln xC xx 11 ln xC xx 11 ln xC xx 11 ln xC xx 1010 10 41 dx x A B C 9 11 9 41 C x 9 11 36 41 C x 9 11 36 41 C x D 11 11 36 41 C x 二 计算题二 计算题 1 2 3 dxxx 1ln 2 1tan 1tan x dx x dxxxf 3 3 5 6 7 7 3 2 1 xxx dx x dx 1 xx dx 2 arccosxxdx 6 三 三 求其中 dxxf xx xx x xf 12 101 0 1 五 定积分及其应用 五 定积分及其应用 一 填空题 一 填空题 1 设是连续函数 则 F x xfdttxfxF x 0 2 设是连续函数 则 xf dxxfxfxfxf 3 111 lim 12 n nnnn 4 设是连续函数 f 0 1 则 xf 3 sin 0 lim x dttf x x x 5 函数 在区间 a b 上的平均值为 xf x e ba 二 单项选择题 二 单项选择题 1 设存在 则在 a b 上 b a badxxf xf A 可导 B 连续 C 具有最大值和最小值 D 有界 2 设是以 T 为周期的连续函数 则 xf nta an dxxf n 1 lim A B C D Taf dxxf T 0 a dxxf 0 f a 3 设存在 则 I dxxfdxxf dx d dxxf dx d I 4 3 A B C D 0 f x2 f x2 f xC 4 在 ba ax dx p b a A P1 时收敛 P 1 时发散 D P 1 时收敛 P0 时 有 当 x 0 时 0 0 0 fxf0 xf0 0 0 fxf 有0 xf 故 1ln 2 0 2 xxarctgxxfx 即 四 不定积分 四 不定积分 答案答案 一 1 C 2 B 3 C 4 B 5 A 6 A 7 D 8 B 9 D 10 C 二 1 原式 222 2 ln 1 ln 1 1 1 x xxxdxxxxxC x 2 原式 cossin ln cossin cossin dxx xxC xx 3 原式 xdfxxfxfx dxxfxf xC 4 原式 1 3 111 ln 2 1 22 3 2 xx dxC xxxx 5 原式 2 2 0 2 2 0 2 x cx x x C x cx 6 原式 111 111 xx dxdx xxxxxx 111 11 dx xxxx 1 2 1 2ln 1 1 dxxxxC xx 7 原式 3 322 2 111 arccos 1 1 393 xxxxC 三 原式 2 2 0 01 2 1 1 2 xCx x xCx xCx 五 定积分及其应用 五 定积分及其应用 答案答案 一 1 2 0 3 ln2 4 5 dttfxxf x 0 6 1 ba ee ba 二 1 D 2 B 3 C 4 A 5 C 13 三 解 1 原式 15 544 1 41 22 2 0 dtttxu 2 原式 dx e x dx e x xx 1 sin 1 sin 2 4 0 0 4 2 8 2 sinsin 1 1 1 1 1 sin 1 sin 2 4 0 2 4 0 2 4 0 2 0 4 xdxxdx ee dx e x dt e t tx xxxt 3 原式 12 21ln 1 1ln 2 0 1 0 2 dx x x xx 4 原式 4cossin cos sin 2 0 tt tdx tax 四 解 1 原式 1 sec sin cos sin lim 2 0 xtgx xxtg x 2 222 00 2 sinsinsin nnn xdxxdxxdx 而 nn xdxsin 2 sin0 2 0 n sin 2 又 由夹挤定理知 0sinlim 1sin0 n b 0sinlim 2 0 xdx n n 此外 由的任意性知 sin0 2 2 xdx n 0sinlim 2 0 xdx n n 五 两边求导得即令 y 0 得 x 0 sin 2 xxey y sin 2y exxy 且由于 x 0 时 y 0 知 x 0 是 y y x 的极小点 0 0 yx时 代入方程得 注意 即 y y x 的极小值为 0 0 0 2 0 y t dte 0 0 0 2 ye t 六 解 对两边关于 x 求导得 由题设切点处有 22 4 aypx 4 2 p x y 1 4 2 p x 得 代入抛物线方程可得 另一方面 旋 2 4 p x切点 2 2 p y切点 4 2 2 p pa 转体体积为 2 5 0 22 4 15 16 4 0 2 p a dx p x V a 3 2 3 4 52 4 4 2 2 4 4 5 15 16 4 4 2 4 5 15 16 4 p p pppa p pa dp da p dp dv A 令 得从而这时 时 0 dp dv 3 10 p 3 5 a 3 10 p0 dp dv 14 而时 故 V 取极大值 也是最大值 3 10 p0 dp dv 3 10 p 六 空间解析几何 六 空间解析几何 答案答案 一 1 2 1 3 3 4 3 6 33 6 3 3 1 114 2z 3y 1x 222 4 5 2xyz x5yz 22 二 1 B 2 A 3 A 4 C 5 C 6 D 7 B 三 1 解 令 得到直线 上一点 设0 x l 0 0 0 O 12 1 0 1 2 1 0 nn 的方向向量为 l 12 1012 210 ijk nnijk 故 的对称式方程为 l 121 xyz 2 解 在上取一点 则两平行平面间的距离为021z8y4x19 8 21 0 0 1 8 4 19 42 8 21 804019 d 222 3 解 所求直线方向向量同时垂直于及S 12 A A 13 A A 1213 4 1 43 3 416 12 13SA AA A 直线的对称式方程为 13 3z 12 3y 16 4x 4 解 设所求平面方程为 分别将 A B 的坐标代入此方程 0AxByCzD 000ABCDBD 000ABCDCD 故平面方程为 0AxDyDzD 22 0 0 1 1 2 2 2 A DD AD AD 所以平面方程为 20DxDyDzD 210 xyz 四 解 cos60cos60cos45 10050 50 50 2FiJk 克厘米 1 3 3 2SPM 500WF S 七 多元函数微分学 七 多元函数微分学 答案答案 一 1 2 3 2 4xxy 2ln1 2dzdxdy 4 5 210 xyz 22222 0 x y zxyzxy 二 1 D 2 A 3 C 4 A 5 D 三 解 1 2 1 coscossinsin zxyyxy xyyxxyx 2 1 coscossinsin zxxyxy yyxxyxy 15 2 2 222 2 2 zxy xxy 222 22 2 zxy x yxy 2 222 2 2 zx