不确定环境下的期权定价模型

Knight不确定环境下的期权定价模型不确定环境下的期权定价模型 摘要 摘要 传统的金融学主要研究的是投资个体在风险环境中投资组合选择和资产定价问题 而 knight 不确 定性与风险是有区别的 风险 risk 是概率分布唯一存在的 在数量上可确定的 封闭和完备的那种不 确定性 而 Knight 不确定性则是指不具有这些性质的 易受 潜在意外 和新事物影响而经常变化的不 确定性 这种不确定性不能被单一概率所揭示 Ellsberg 悖论指出 Knight 不确定性的存在确实会影响当事 人的选择行为 Knight 不确定环境下的基础资产定价已经取得重大突破 Epstein 1994 本文此基础上提 出 Knight 不确定环境下的期权定价方法 为衍生金融工具的定价提供一条新思路 本文利用 模糊测度 和 Choquet 积分来导出 Knight 不确定环境下欧式无红利期权的价格表示 认为在 knight 环境下期权的价 格是一个区间而不是某个特定得值 该种方法在金融经济学领域有着广泛的使用前景 关键词 关键词 Knight 不确定性 期权定价 模糊测度 Choquet 积分 1 引言引言 主流的资产定价理论 包括被 Cochrane 2001 认为是金融资产定价的两根 支柱 的均衡定价理论和 套利定价理论 总是假定投资者不但清楚地知道未来可能出现哪些不确定性状态 而且能够对其发生的 概率做出估计 这些估计至少在投资者看来是可靠的 他们正是在此基础上进行选择或决策 这种处 理外部不确定环境的手法是从经济学那里承袭来的 新古典学派的理性经济人模型等经济学研究都普遍 使用该方法 事实上 面对充满了不确定因素的金融市场 这个假定是有局限性的 Knight 1921 和 Keynes 1921 在不同场景下对于风险和不确定性都作了相同的辨析 指出了可知的不确定性 风险 和不可知的不确 定性 真正的不确定性 的本质差异 其后的研究者常常将 真正 的不确定性称为 Knight 不确定性 Knightian uncertainty 或 不明确性 ambiguity 并在模型研究中将风险 risk 限定为概率分布唯 一存在的 在数量上可确定的 封闭和完备的那种不确定性 而设定 Knight 不确定性为不具有这些性质 的 易受 潜在意外 和新事物影响而经常变化的不确定性 Knight 不确定性的本质并非 未知 而是 不可知 处理未知可以使用贝叶斯方法 而处理不可知则需要完全不同的方法 Ellsberg 1961 基于实验提出了著名的 Ellsberg 悖论 指出 Knight 不确定性的存在确实会影响当事人 的选择行为 这种行为无法用单一概率测度的观点加以解释 因为这里的概率测度不但违背了著名的 Von Neumann Morgenstern 公理系统 甚至违背 Savage 1954 提出的主观概率存在的公理体系 而这些体 系是主流经济学和金融学讨论风险决策时所必须遵循的基本原则 由 Ellsberg 悖论引发了大量实证研究 其中既有基于实验的也有基于市场的 这些内容在 Camerer and Weber 1992 中有很好的综述 由于利息 过程和红利过程都面临 Knight 不确定性 Papamarcou and Fine 1991 Barsky and Delong 1992 因此资 产定价研究也需要考虑 Knight 不确定性 通过研究 Knight 不确定性 金融市场一些现存的 谜 例如 价格突变 资产收益率的超额波动性 经纪商的买卖差价 期权平价公式的背离以及投资组合惯性等 都能得到较好地解释 Basili 2001 Miao and Wang 2004 甚至发现 Knight 不确定性会影响美式期权执 行时间的决定 Epstein and Wang 1994 将 Lucas 无限期经济人代表模型扩展到 Knight 不确定环境下 讨论了证券的 均衡定价问题 其中经济人代表的信念被描述成一个概率测度集合 并在此基础上导出连续均衡价格过 程 发现均衡价格有不唯一的可能性 证明了同时存在的多个均衡价格必然分布在同一个连通闭集内的 结论 并在此基础上很好地解释了超额波动现象 Epstein and Wang 1995 进一步放宽了上述条件 允 许不连续均衡价格在一定范围内存在 解释了外界条件没有发生显著变化时证券价格也可能发生突变的 奇异现象 Epstein and Chen 2002 还将上述模型扩展到连续时间场合 同样得到了类似的结论 文献调研表明 资产定价研究中的 Knight 不确定性已经为越来越多的研究者所重视 在基础资产定 价领域已经取得突破 衍生资产定价研究的大门也正在开启 尽管已经出现了一些触及 Knight 环境下衍 生产品定价问题的研究 例如 Mceneaney 1997 用稳健性控制方法给完全市场中只考虑风险的环境下的 期权进行定价 得出了与传统的 B S 公式相一致的结果 郑承利 2003 采用基于非可加测度的模糊期权 定价方法对市政债券发债规模控制进行了实证研究 Miao and Wang 2004 关于 Knight 不确定性对美式期 权执行时间决定的影响的理论研究等 但是都尚未深入 然而在一个完整的资产定价体系中 衍生产品 定价是不可或缺的基本组成部分 所以有必要系统地研究 Knight 不确定性环境下期权定价的理论和方法 本文旨在提出一种基于 Knight 不确定环境下的期权定价方法 2 用用 模糊测度表征模糊测度表征 Knight 不确定性环境下投资者个体的信念不确定性环境下投资者个体的信念 用来描述 Knight 不确定性下的个体信念迄今为止有两种方法 其一是以 Epstein and Wang 1994 1995 为代表的多先验概率模型 个体的期望效用表示为 未来的不明确性用一族概率测度来表述 P 就是这样的一个概 min PmfdmfdP 率测度族 它表示如果现在的状态是 则 P 包含了将来出现各个状态的概率的所有可能值 m 值得 注意的是 P 中的元素 m 是一个定义在 上的概率测度 而不是某个特殊状态的概率值 它实际上是 选取得所有概率测度下的最小的期望值 另一种表达信念的方法是以 Chateauneuf 1991 等为代表的用一 个非可加测度 容度 和基于非可加测度的 Choquet 积分来表征个体的效用评价 并且指出了在满足某些 条件的前提下 两种方式是等价的 本文遵循着后一种方法 即用一个非可加测度来表征个体效用 在 这里我们使用一种特殊的非可加测度 即 模糊测度来表示 Knight 不确定环境下的投资人信念 令 为 自然状态空间 为 的子集所构成的 代数 定义定义 1 一个定义在 上的实值集函数 是一个容度 如果它满足 a 0 1 b 单调性 即 A B 若 A B 则 A B 进一步地 若 还满足 A B 有 A B A B A B 则称 是凸容度 若 A B A B A B 则称 是凹容度 显然容度不满足可加性 定义定义 2 对于任意非负随机变量 f R f 关于 的 Choquet 积分定义为 0 daaxfxfdc 定义定义 3 Wang and Kilr 1992 0 是一个 上的 模糊测度当且仅当 a 它满足 规则 即存在使得 0 sup 1 其中对于 中的不交序列 En 有 0 0 1 1 1 1 1 1 n n n n n n E E E supsupE E b 至少存在一个集合 E 有 E 0 时 是一个凹函数 因此 是一个凹容度 它满足超可加 性 当 0 时 个体表现出对 Knight 不确定性的厌恶态度 并且随着 值的增大 采用一种超可加测度的信息处理方式 经济行为人表现出越来越悲观的心态 而当 0 时 个体表现出对 Knight 不确定性的喜好态度 并且随着 值的减小 个体采用一种次可加测度的信息处理 方式 经济行为人表现出越来越乐观的心态 关于不确定性厌恶和不确定性喜好的概念 请参阅 Chateauneuf 1991 同时 投资人个体 的值并不是一成不变的 会受到整个市场的影响 当市场繁荣 时 个体的态度会趋于乐观 值会逐渐减小 当市场萧条时 个体的态度会趋于悲观 值会逐渐变大 于是 事实上可以成为反映市场的心理指数 3 欧式无红利股票期权价格的导出欧式无红利股票期权价格的导出 本节我们导出 Knight 不确定环境下的欧式无红利股票期权的定价公式 假设在一个两期经济中 市 场上只存在一个经济代表人 欧式无红利股票看涨期权的期末支付为 CT max ST K 0 其中 ST是期权到 期时标的资产的价格 K 是期权的执行价格 假设 T 是到期时间 rf是 0 T 时间内的无风险利率 EQ 是等价鞅测度 Q 下的期望 则看涨期权的价格为 Cochrance 2001 2 0 max 1 1 KSE r c TQ f 为了解决 Knight 不确定环境下期权的定价方法 本文用 模糊测度和 Choquet 期望分别去替代概率 测度和风险中性概率下的期望 于是 2 式被改写为 3 0 max 1 1 KSCE r c T f 其中 这里 Q 是风险中性概率 它是某个客观概率的等价鞅概率 若 0 0 1 1 1 Q Q Q 经济代表人的信息是清晰明确的 则 0 如果考虑 Knight 不明确性 则这个客观概率被扭曲 用一个 相应的非可加测度来描述 CE 表示关于容度 的 Choquet 期望 我们利用对偶测度构建模糊价格区间 即 其中 A AC A 1 C AA 显然 若 是 上的 模糊测度 则是 上的 模糊测度 被称为 的对偶参数 1 当 0 时 表示经济代理人能够准确的用一个概率来描述未来状态的发生 偏离 0 越远 信息越不明 确 因而代理经济人越不能确定期权的具体价格 对于一个给定的 模糊测度和它的对偶测度 Knight 不明确性下的期权价格区间为 1 1 1 1 T f T f C r CEC r CEcc 其中 0 1 1 1 1 1 1 dxxKS r dKSc r c KST f KST f TT 以及 1 1 1 dKSc r c KST f T 1 若在 1 期 股票价格有两个状态 即 uS dS 为避免退化的情况 u 1 rf0 时 个体表现出对 Knight 不确定性的厌恶态度 并且随着 值的增大 经济行为人表现出越来越悲观的心态 而当 0 时 个体表现出对 Knight 不确定性的喜好态度 并且随着 值的减小 经济行为人表现出越来越乐观的心态 基于 模糊测度和 Choquet 积分 我们证明了 Knight 不确定环境下 无红利欧式期权的均衡价格是一个 区间而不是一个确定的值 这将为 Knight 不确定环境下衍生资产定价的进一步研究提供一些思路 参考文献参考文献 1 Barsky R B and J B Delong 1992 Why Does the Stock Market Fluctuate NBER Working Paper 3995 2 Basili M 2001 Knightian Uncertainty in Financial Markets An Assessment Economic Notes 30 1 26 3 Camerer C and M Weber 1992 Recent Developments in Modeling Preferences Uncertainty and Ambiguity Journal of Risk and Uncertainty 5 325 370 4 Chateauneuf A 1991 On the use of Capacities in modeling uncertainty aversion and risk aversion Journal of Mathematical Economics 20 343 369 5 Cochrane J H 2001 Asset Pricing Princeton University Press Princeton and Oxford 6 Ellsberg D 1961 Risk Ambiguity and the Savage Axioms Quarterly Journal of Economics 75 643 669 7 Epstein L G and T Wang 1994 Intertermporal Asset Pricing under Knightian Uncertainty Econometrica 62 283 322 8 Epstein L G and T Wang 1995 Uncertainty Risk Neutral Measures and Security Price Booms and Crashes Journal of Economic Theory 67 40 82 9 Epstein L G and Z Chen 2002 Ambiguity Risk and Asset Returns in Continuous Time Econometrica 70 1403 1443 10 Keynes J M 1921 A Treatise on Probability London Macmillan 11 Knight F H 1921 Risk Uncertainty and