2011高三数学一轮热身AB组 12.4《直线与圆、圆与圆的位置关系》

用心 爱心 专心 1 第四节第四节 直线与圆 圆与圆的位置关系直线与圆 圆与圆的位置关系 A A 组组 1 2009 年高考天津卷 若圆 x2 y2 4 与圆 x2 y2 2ay 6 0 a 0 的公共弦的长为 2 则 3 a 解析 两圆方程作差易知弦所在直线方程为 y 1 a 如图 由已知 AC OA 2 有 OC 1 a 1 3 1 a 答案 1 2 2009 年高考全国卷 已知圆 O x2 y2 5 和点 A 1 2 则过 A 且与圆 O 相切的直线与 两坐标轴围成的三角形的面积等于 解析 依题意 过 A 1 2 作圆 x2 y2 5 的切线方程为 x 2y 5 在 x 轴上的截距为 5 在 y 轴上的截距为 切线与坐标轴围成的三角形面积 S 5 答案 5 2 1 2 5 2 25 4 25 4 3 2009 年高考湖北卷 过原点 O 作圆 x2 y2 6x 8y 20 0 的两条切线 设切点分别为 P Q 则线段 PQ 的长为 解析 圆的标准方程为 x 3 2 y 4 2 5 可知圆心为 3 4 半径为 如图可知 5 CO 5 OP 2 tan POC 在 25 55 PC OP 1 2 Rt POC 中 OC PM OP PC PM 2 PQ 2PM 4 答案 4 2 5 5 5 4 若直线 3x 4y m 0 与圆 x2 y2 2x 4y 4 0 没有公共点 则实数 m 的取值范围是 解析 将圆 x2 y2 2x 4y 4 0 化为标准方程 得 x 1 2 y 2 2 1 圆心为 1 2 半径为 1 若直线与圆无公共点 即圆心到直线的距离大于半径 即 d 1 m10 3 1 4 2 m 32 42 m 5 5 答案 0 10 5 原创题 已知直线x y 2m 0 与圆 x2 y2 n2相切 其中 m n N 且 n m 5 则 3 满足条件的有序实数对 m n 共有 个 解析 由题意可得 圆心到直线的距离等于圆的半径 即 2m 1 n 所以 用心 爱心 专心 2 2m 1 m 5 因为 m n N 所以Error Error Error Error 故有序实数对 m n 共 有 4 个 答案 4 个 6 2010 年南京调研 已知 以点 C t t R t 0 为圆心的圆与 x 轴交于点 O A 与 y 2 t 轴交于点 O B 其中 O 为原点 1 求证 OAB 的面积为定值 2 设直线 y 2x 4 与圆 C 交于点 M N 若 OM ON 求圆 C 的方程 解 1 证明 圆 C 过原点 O OC2 t2 设圆 C 的方程是 x t 2 y 4 t2 2 t 2 t2 令 x 0 得 y1 0 y2 令 y 0 得 x1 0 x2 2t 4 t2 4 t S OAB OA OB 2t 4 即 OAB 的面积为定值 1 2 1 2 4 t 2 OM ON CM CN OC 垂直平分线段 MN kMN 2 kO C 1 2 直线 OC 的方程是 y x t 解得 t 2 或 t 2 1 2 2 t 1 2 当 t 2 时 圆心 C 的坐标为 2 1 OC 此时圆心 C 到直线 y 2x 4 的距离 d 5 圆 C 与直线 y 2x 4 不相交 1 55 t 2 不符合题意舍去 圆 C 的方程为 x 2 2 y 1 2 5 B 组组 1 直线 ax by b a 0 与圆 x2 y2 x 3 0 的位置关系是 解析 直线方程化为 a x 1 b y 1 0 过定点 1 1 代入圆的方程 左侧小于 0 则定点在圆内 所以直线与圆总相交 答案 相交 2 2010 年秦州质检 已知直线 y x 与圆 x2 y2 2 相交于 A B 两点 P 是优弧 AB 上 3 任意一点 则 APB 解析 弦心距长为 半径为 所以弦 AB 所对的圆心角为 又因为同弦所对的圆周 6 22 3 角是圆心角的一半 所以 APB 答案 6 6 3 已知向量 a cos sin b cos sin a 与 b 的夹角为 60 直线 xcos ysin 0 与圆 x cos 2 y sin 2 的位置关系是 1 2 解析 cos60 cos cos sin sin cos d cos r 答案 相离 cos cos sin sin cos2 sin2 3 2 2 2 用心 爱心 专心 3 4 过点 A 11 2 作圆 x2 y2 2x 4y 164 0 的弦 其中弦长为整数的共有 条 解析 方程化为 x 1 2 y 2 2 132 圆心为 1 2 到点 A 11 2 的距离为 12 最短 弦长为 10 最长弦长为 26 所以所求直线条数为 2 2 25 10 32 条 答案 32 5 若集合 A x y y 1 B x y y k x 2 4 当集合 A B 有 4 个子集 4 x2 时 实数 k 的取值范围是 解析 A B 有 4 个子集 即 A B 有 2 个元素 半圆 x2 y 1 2 4 y 1 与过 P 2 4 点 斜率为 k 的直线有两个交点 如图 A 2 1 kPA 过 P 与半圆相切时 3 4 k 5 12 k 5 12 3 4 答案 k 5 12 3 4 6 2009 年高考全国卷 已知 AC BD 为圆 O x2 y2 4 的两条相互垂直的弦 垂足为 M 1 则四边形 ABCD 的面积的最大值为 2 解析 设圆心 O 到 AC BD 的距离分别为 d1 d2 则 d12 d22 OM2 3 四边形 ABCD 的面积 S AB CD 2 8 d12 d22 5 1 2 4 d12 4 d22 7 2010 年宁波调研 已知圆 C x2 y2 bx ay 3 0 a b 为正实数 上任意一点关于直线 l x y 2 0 的对称点都在圆 C 上 则 的最小值为 1 a 3 b 解析 由题意 知圆心在直线上 所以 2 0 b 2 a 2 1 则 1 1 2 1 a 4 b 4 1 a 3 b a 4 b 4 b 4a 3a 4b b 4a 3a 4b 3 2 8 设圆 O x2 y2 直线 l x 3y 8 0 点 16 9 A l 使得 圆 O 上存在点 B 且 OAB 30 O 为坐标原点 则点 A 的横 坐标的取值范围是 解析 依题意点 A l 设 A x0 过点 8 x0 3 A 作圆 O 的 切线 切点为 M 则 OAM OAB 30 从而 sin OAM sin30 即 sin30 就是 OA 2 4 OM 2 x02 1 2 OM OA 1 2 64 9 8 x0 3 2 5x02 8x0 0 解得 x0 0 64 9 8 5 答案 0 8 5 9 2009 年高考江西卷 设直线系 M xcos y 2 sin 1 0 2 对于下列四个命题 A 存在一个圆与所有直线相交 用心 爱心 专心 4 B 存在一个圆与所有直线不相交 C 存在一个圆与所有直线相切 D M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 写出所有真命题的代号 解析 xcos ysin 2sin 1 0 则点 0 2 到其直线的距离 为 d 1 0 cos 2sin 2sin 1 cos2 sin2 说明此直线是圆心为 0 2 半径为 1 的圆的切线 圆心为 0 2 半径大于等于 1 的圆与所有 直线相交 A 对 圆心为 0 2 半径小于 1 的圆与所有直线不相交 B 对 圆心为 0 2 半径等于 1 的圆与所有直线都相切 C 对 因为 M 中的直线与以 0 2 为圆心 半径为 1 的圆相切 所以 M 中的直线所能围成的正 三角形面积不都相等 如图 ABC 与 ADE 均为等边三角形而面积不等 答案 A B C 10 已知圆 C1 x2 y2 2x 2y 8 0 与圆 C2 x2 y2 2x 10y 24 0 相交于 A B 两点 1 求公共弦 AB 所在的直线方程 2 求圆心在直线 y x 上 且经过 A B 两点的圆的方程 解 1 Error x 2y 4 0 2 由 1 得 x 2y 4 代入 x2 y2 2x 2y 8 0 中得 y2 2y 0 Error 或Error 即 A 4 0 B 0 2 又圆心在直线 y x 上 设圆心为 M x x 则 MA MB 解得 M 3 3 M x 3 2 y 3 2 10 11 2010 年江苏徐州调研 已知圆 C 的方程为 x2 y2 1 直线 l1过定点 A 3 0 且与圆 C 相 切 1 求直线 l1的方程 2 设圆 C 与 x 轴交于 P Q 两点 M 是圆 C 上异于 P Q 的任意一点 过点 A 且与 x 轴 垂直的直线为 l2 直线 PM 交直线 l2于点 P 直线 QM 交直线 l2于点 Q 求证 以 P Q 为直径的圆 C 总过定点 并求出定点坐标 解 1 直线 l1过点 A 3 0 且与圆 C x2 y2 1 相切 设直线 l1的方程为 y k x 3 即 kx y 3k 0 则圆心 O 0 0 到直线 l1的距离为 d 1 解得 k 3k k2 1 2 4 直线 l1的方程为 y x 3 2 4 用心 爱心 专心 5 2 对于圆 C x2 y2 1 令 y 0 则 x 1 即 P 1 0 Q 1 0 又直线 l2过点 A 且 与 x 轴垂直 直线 l2方程为 x 3 设 M s t 则直线 PM 的方程为 y x 1 t s 1 解方程组Error 得 P 3 同理可得 Q 3 4t s 1 2t s 1 以 P Q 为直径的圆 C 的方程为 x 3 x 3 y y 0 又 s2 t2 1 4t s 1 2t s 1 整理得 x2 y2 6x 1 y 0 6s 2 t 若圆 C 经过定点 只需令 y 0 从而有 x2 6x 1 0 解得 x 3 2 2 圆 C 总经过定点 定点坐标为 3 2 0 2 12 2009 年高考江苏卷 如图在平面直角坐标系 xOy 中 已知圆 C1 x 3 2 y 1 2 4 和圆 C2 x 4 2 y 5 2 4 1 若直线 l 过点 A 4 0 且被圆 C1截得的弦长为 2 求直线 l 的方程 3 2 设 P 为平面上的点 满足 存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1和 l2 它们分别 与圆 C1和 C2相交 且直线 l1被圆 C1截得的弦长与直线 l2被圆 C2截得的弦长相等 试求所 有满足条件的点 P 的坐标 解 1 由于直线 x 4 与圆 C1不相交 所以直线 l 的 斜率存 在 设直线 l 的方程为 y k x 4 圆 C1的圆心 到直线 l 的距离为 d 因为直线 l 被圆 C1截得的弦长为 2 所以 d 1 由点到直线的距离 322 r 3 2 公式得 d 从而 k 24k 7 0 即 k 0 或 k 所以直线 l 的方程为 y 0 或 1 k 3 4 1 k2 7 24 7x 24y 28 0 2 设点 P a b 满足条件 不妨设直线 l1的方程为 y b k x a k 0 则直线 l2的方 程为 y b x a 因为圆 C1和圆 C2的半径相等 且直线 l1被圆 C1截得的弦长与直线 1 k l2被圆 C2截得的弦长相等 所以圆 C1的圆心到直线 l1的距离和圆 C2的圆心到直线 l2的距离 用心