指数函数及其性质导学案

2 1 22 1 2 指数函数及其性质 学案 指数函数及其性质 学案 第 1 课时 知识要点 1 指数函数 2 指数函数的图象 3 指数函数的单调性与特殊点 学习要求 1 理解指数函数的概念与意义 2 能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象 并理解指数函数的单调性与特殊 点 预习提纲 根据以下提纲 预习教材第 54 页 第 57 页 1 指数函数的概念 1 函数与的特点是 x y073 1 x y 2 1 2 一般地 函数 叫做指数函数 其中 是自变量 函数的定义域是 x ay 2 指数函数的图象与性质 1 列表 描点 作图象 图象x x y2 x y 2 1 x y2 x y 2 1 2 5 1 1 5 0 0 5 0 1 5 1 2 2 两个图象的关系 函数与的图象 都经过定点 它们的图象关于 对称 通 x y2 x y 2 1 过图象的上升和下降可以看出 是定义域上的增函数 是定义域上的减 函数 3 类比以上函数的图像 总结函数性质 填写下列表格 10 a1 a 图象 定义域 值域 性质 基础练习 1 指出下列哪些是指数函数 1 2 3 4 5 x y4 4 xy x y4 x y 4 x y 6 7 8 2 4xy x xy 1 2 1 12 aaay x 且 2 作出的图象 x y3 3 求下列函数的定义域及值域 1 3 x ay 2 xx y 2 2 3 3 1 1 2 1 x y 4 下列关系中正确的是 A B 3 1 3 2 3 2 2 1 5 1 2 1 3 2 3 2 3 1 5 1 2 1 2 1 C D 3 2 3 1 3 2 2 1 2 1 5 1 3 1 3 2 3 2 2 1 2 1 5 1 典型例题 例 1 已知指数函数的图象经过点 求 1 0 aaaxf x 且 3 0 f 1 f 的值 3 f 例 2 比较下列各题中两个值的大小 1 5 2 7 1 3 7 1 2 1 0 8 0 2 0 8 0 3 3 0 7 1 1 3 9 0 1 函数是指数函数 则有 bx aaay 33 2 A 或 B 1 aR 2 ba0 1 ba C D 0 2 ba0 10 baa且 2 若函数与得图象关于轴对称 则满足的的取值范围是 xf x xg 2 1 y1 xfx A B C D R 0 0 1 3 函数的定义域是 12 22 x xy A B C D 22 xx 21 xx 1 xxR 4 若集合 则 R 2 xyyA x R 2 xxyyB A B C D BA BA BA BA 5 函数 是上的减函数 则的取值范围是 x axf 1 Ra A B C D 0 a01 a10 a1 a 6 函数的定义域和值域分别为 13 x y 7 函数的图象必经过点 10 2 aaay x 且 8 某厂从今年起每年计划增产 则经过年 产量能达到现在的 倍 精确 85 到 01 0 9 1 比较与的大小并说明理由 2 1 5 4 3 1 10 9 2 已知且 比较与的大小 2 ba 1 b a a b b 2 10 已知函数的图象过点和 baxf x 2 3 2 1 2 0 1 求的解析式 xf 2 画函数的图象 xfy 1 用清水漂洗衣服 若每次能洗去污垢的 写出存留污垢与漂洗次数的函数关系 4 3 yx 式 若要使存留污垢不超过原来的 则至少要漂洗几次 1 2 1 2 指数函数及其性质 教案 第 1 课时 教学目标 1 使学生了解指数函数模型的实际背景 认识数学与现实生活及其他学科的联系 2 理解指数函数的概念和意义 能画出具体指数函数的图象 探索并理解指数函数的单 调性和特殊点 3 在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法 如具体到一般过程 数形 结合的方法等 重点 指数函数的概念和性质 难点 用数形结合的方法从具体到一般地探索 概括指数函数的性质 预习提纲 根据以下提纲 预习教材第 54 页 第 57 页 1 指数函数的概念 1 函数与的特点是 解析式都可以表示为 的形式 x y073 1 x y 2 1 x ay 2 一般地 函数 叫做指数函数 其中 是自变量 函数 x ay 1 0 aa且x 的定义域是 R 2 指数函数的图象与性质 1 列表 描点 作图象 图象x x y2 x y 2 1 x y2 x y 2 1 2 25 0 4 1 5 02 5 0 70711 0 414 1 011 5 0414 1 70711 0 125 0 2425 0 2 两个图象的关系 函数与的图象 都经过定点 它们的图象关于 轴 对称 通 x y2 x y 2 1 1 0 y 过图象的上升和下降可以看出 是定义域上的增函数 是定义域上的减函 x y2 x y 2 1 数 3 类比以上函数的图像 总结函数性质 填写下列表格 10 a1 a 图象 定义域RR 值域 0 0 过定点 即时 1 0 0 x1 y 性质 在上时减函数R在上时增函数R 基础练习 1 指出下列哪些是指数函数 1 2 3 4 5 x y4 4 xy x y4 x y 4 x y 6 7 8 2 4xy x xy 1 2 1 12 aaay x 且 解 是指数函数的有 1 4 5 8 2 作出的图象 x y3 解 如图 0 3 0 3 3 x x y x x x 3 求下列函数的定义域 1 2 3 3 x ay xx y 2 2 3 1 1 2 1 x y 解 1 要使式子有意义 则需要 即 定义域为 03 x3 x 3 2 要使式子有意义 则需要为实数 因此 定义域为 xx2 2 R 3 要使式子有意义 则需要有意义 定义域为 1 1 x 1 xx 4 下列关系中正确的是 D A B 3 1 3 2 3 2 2 1 5 1 2 1 3 2 3 2 3 1 5 1 2 1 2 1 C D 3 2 3 1 3 2 2 1 2 1 5 1 3 1 3 2 3 2 2 1 2 1 5 1 典型例题 例 1 已知指数函数的图象经过点 求 1 0 aaaxf x 且 3 0 f 1 f 的值 3 f 审题要津 结合以前学过的求函数解析式的方法 本题中只要求出参数就可以了 a 解 因为得图象经过点 所以 x axf 3 即 3 f 3 a 解得 于是 3 1 a 3 x xf 所以 1 0 0 f 3 3 1 1 f 1 3 1 f 方法总结 从方程思想来看 求指数函数就是确定底数 即只需要列一个方程即可 向 学生渗透方程的思想 例 2 比较下列各题中两个值的大小 1 5 2 7 1 3 7 1 2 1 0 8 0 2 0 8 0 3 3 0 7 1 1 3 9 0 审题要津 1 2 利用指数函数单调性 3 要构造中间数 解 1 可看作函数的两个函数值 由于底数 所以指数 5 2 7 1 3 7 1 x y7 1 17 1 函数在上是增函数 x y7 1 R 因为 所以 35 2 35 2 7 17 1 2 可看作函数的两个函数值 由于底数 所以指数 2 01 0 8 0 8 0 x y8 0 18 00 函数在上是减函数 x y8 0 R 因为 所以 2 01 0 2 01 0 8 08 0 1 由指数函数的性质知 17 17 1 03 0 19 09 0 01 3 所以 1 33 0 9 07 1 方法总结 比较幂值的大小常常华化为同底数的幂 利用指数函数的单调性比较大小 或者借助幂值的范围利用中间数值过渡 常用的数值可能是或 根据具体情况也可能是01 其他数值 1 函数是指数函数 则有 C bx aaay 33 2 A 或 B 1 aR 2 ba0 1 ba C D 0 2 ba0 10 baa且 2 若函数与得图象关于轴对称 则满足的的取值范围是 xf x xg 2 1 y1 xfx C A B C D R 0 0 1 3 函数的定义域是 B 12 22 x xy A B C D 22 xx 21 xx 1 xxR 4 若集合 则 A R 2 xyyA x R 2 xxyyB A B C D BA BA BA BA 5 函数 是上的减函数 则的取值范围是 B x axf 1 Ra A B C D 0 a01 a10 a1 a 6 当时 函数的值域是 1 1 x x xf3 3 3 1 7 函数的图象必经过点 10 2 aaay x 且 1 2 8 某厂从今年起每年计划增产 则经过年 产量能达到现在的 倍 精确 8547 1 到 01 0 9 1 比较与的大小并说明理由 2 1 5 4 3 1 10 9 2 已知且 比较与的大小 2 ba 1 b a a b b 2 解 1 与底数不同 指数也不同 2 1 5 4 3 1 10 9 应插入一个中间量进行比较 根据两个数的特征应插入或 3 1 5 4 2 1 10 9 在 上是增函数xy 0 又 是减函数 2 1 2 1 10 9 5 4 3 1 2 1 1 10 9 0 x y 10 9 3 1 2 1 10 9 10 9 3 1 3 1 10 9 5 4 2 2 ba 只需比较与的大小 2 2b b b b 2 即bbb 2 1 bb22 2 又是增函数 即 x by bb bb 22 2 ba ba 2 10 已知函数的图象过点和 baxf x 2 3 2 1 2 0 1 求的解析式 xf 2 画函数的图象 xfy 解 1 由题意知 21 0 3 2 1 bfbaf 解得 1 2 b a 1412 2 xx xf 2 1 用清水漂洗衣服 若每次能洗去污垢的 写出存留污垢与漂洗次数的函数关系 4 3 yx 式 若要使存留污垢不超过原来