隐函数的求导方法总结

河北地质大学河北地质大学 课课 程程 设设 计 论文 计 论文 题题 目 目 隐函数求偏导的方法隐函数求偏导的方法 学学 院 院 信息工程学院信息工程学院 专业名称 专业名称 电子信息类电子信息类 小组成员 小组成员 史秀丽史秀丽 角子威角子威 季小琪季小琪 2016 年年 05 月月 27 日日 摘要 3 一 隐函数的概念 3 二 隐函数求偏导 3 1 隐函数存在定理 1 3 2 隐函数存在定理 2 4 3 隐函数存在定理 3 4 三 隐函数求偏导的方法 6 1 公式法 6 2 直接法 6 3 全微分法 6 参考文献 8 摘要摘要 本文讨论了一元隐函数 多元隐函数的存在条件及相关结论 总结出隐函数求偏导的 方法和全微分法等方法和相应实例 目的是更好的计算隐函数的求导 关键字 隐函数 偏导数 方法 一 隐函数的概念一 隐函数的概念 一般地 如果变量满足方程 在一定条件下 当取某区间的任yx和 0 yxFx 一值时 相应地总有满足这方程的唯一的值存在 那么就说方程在该区间内y 0 yxF 确定了一个隐函数 例如 方程表示一个函数 因为当变量在01 3 yxx 内取值时 变量有确定的值与其对应 如 y等时时 3 21 10 yxyx 二 隐函数求偏导二 隐函数求偏导 1 隐函数存在定理隐函数存在定理 1 设函数在 P x y 在某一领域内具有连续偏导数 0 yxF 且 则方程在点 x y 的某一领域内恒能0 yxF0 yxFy0 yxF 唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 它满足条件 并有 xfy xfy yx y F F d d x 例 1 验证方程 0 在点 1 1 的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数 且当 x 1 2 x 2 y 时 y 1 的隐函数 y 并求该函数的导数在 x 1 处的值 x f dx dy 解 令 则 yx F 2 x 2 y 2x 2y 0 2 0 x F y F 1 1 F 1 1 y F 由定理 1 可知 方程 0 在点 1 1 的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函 2 x 2 y 数 当 x 1 时 y 1 的隐函数为 y x 且有 dx dy y x F F y x 2 2 y x 故 1 1 x dx dy 1 y x 2 隐函数存在定理隐函数存在定理 2 设函数在点的某一邻域内具有连续 zyxF zyxP 偏导数 且 0 则方程在点的某一邻 zyxF 0 zyxFz 0 zyxF zyx 域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 它满足条件 yxfz 并有 yxfz z y z x F F y z F F x z 例 2 设函数由方程所确定 求 yxzz zyxzxy 2 y z 解 设 zyxzxyzyxF 2 则 将 x y 当常数 对 z 求偏导 01 2 xyFz 将 x y 当做常数 对 y 求偏导 12 xyzFz 根据定理 2 22 1 12 1 12 xy xyz xy xyz F F y z z y 3 隐函数存在定理隐函数存在定理 3 设 在点的某一邻域 vuyxF vuyxG 0000 vuyxP 内具有对各个变量的连续偏导数 又 且偏导数 0 0 00000000 vuyxGvuyxF 所组成的函数行列式 或称雅可比 Jacobi v F v G u F u G vu GF J 在点不等于零 则方程组在点 0000 vuyxP 0 0 00000000 vuyxGvuyxF 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 0000 vuyx yxvvyxuu 它们满足条件 000 yxuu 000 yxvv 并有 GvGu FvFu GvGx FvFx vx GF J u 1 x GvGu FvFu GxGu FxFu xu GF J v 1 x GvGu FvFu GvGy FvFy vy GF J u 1 y GvGu FvFu GyGu FyFu yu GF J v 1 y 例 3 设 求1 0 xvyuyvxu y v x v y u x u 解 u x v y x u x v x v x x u y y x v x u xu x v xv x u y xyvxu xvyu 0 0 0 1 求导方程两边对 由定理 3 可求 0 22 JyxJ y x x y v F v G u F u G 且 则 22 yx yvxu x u y x x y y x u v 22 yx xvyu x v y x x y u v x y v y v y y u x u y v x y u y y v yv y u x y v x y u yu yvxu xvyu 0 0 y0 1 求导方程两边对 同上可求得 22 yx yuxv y u 22 yx yuxv y v 三三 隐函数求偏导的方法隐函数求偏导的方法 1 公式法公式法 即将方程中所有非零项移到等式一边 并将其设为函数 F 注意应将 x y z 看 作独立变量 对 F x y z 0 分别求导 利用公式 x z Z X F F y z z y F F 类型条件公式 0 yxF 00 xy FF或 x y y x F F dx dy F F dx dy 或 类型条件公式 0 x F x z x y F F z x F F y x 0 y F y z y x F F z y F F x y 0 zyxF 0 z F z y z x F F y z F F x z 0 0 vuyxF vuyxG 0 v F v G u F u G vu GF J vx GF Jx u 1 xu GF Jx v 1 vy GF Jy u 1 yu GF Jy v 1 2 直接法直接法 分别将 F x y z 0 两边同时对 x y 看作独立变量 z 是 x y 的函数 得到含 的两个方程 解方程可求出 y z x z y z x z 3 全微分法全微分法 利用微分形式的不变性 对所给方程两边求微分 整理成 则的系数便是 在求全微分时 应看做自变量 dyzyxvdxzyxudz dydx y z x z z 例 1 已知 求 x y yxarctanln 22 2 2 dx yd 解 方法一 令 22 ln yxyxF ln 2 1 arctan 22 yx x y x y arctan 则 2222 yx xy yxF yx yx yxF yx 所以 dx dy y x F F xy yx 上式再对 x 求导得 3 22 2 2 2 2 22 yx yx yx yxy dx yd 方法二 方程两端分别对 x 求导得 0arctanln 22 x y yx 22 yx yyx 0 22 yx yxy yx yx dx dy 3 22 2 2 2 2 22 yx yx yx yxy dx yd 方法三 方程 两端分别求微分得 x y yxarctanln 22 arctan ln 22 x y dyxd 利用全微分不定性 上式化为 x y d x yyx dydx 2 222 22 1 1 2 1 由全微分运算法则计算并化简得 3 22 2 2 2 2 22 yx yx yx yxy dx yd xy yx dx dy dxyxdyyx 参考文献参考文献 1 同济大学数学系 高等数学第七版下册 M 北