福州市高中毕业班质量检查(2)

2012 年福州市高中毕业班质量检查 数学数学 理科理科 试卷试卷 完卷时间 120 分钟 满分 150 分 第 卷 选择题共 50 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题所给的四个答案中 有且只 有一个答案是正确的 把正确选项涂在答题卡的相应位置上 1 抛物线 y2 4x 的准线方程为 A x 1 B x 1 C y 1 D y 1 2 命题 x ex 0 的否定是 R A x ex 0 B x ex 0 R R C x ex 0 D x ex 0 0 0 b 0 的左焦点 F 引圆 x2 y2 a2的切线 切点为 T 延长 22 22 xy ab FT 交双曲线右支于点 P 若 T 为线段 FP 的中点 则该双曲线的渐近线方程为 A x y 0 B 2x y 0 C 4x y 0 D x 2y 0 10 若将有理数集 Q 分成两个非空的子集 M 与 N 且满足 M N Q M N M 中 的每一个元素都小于 N 中的每一个元素 则称 M N 为有理数集的一个分割 试判断 对 于有理数集的任一分割 M N 下列选项中 不可能成立的是 A M 没有最大元素 N 有一个最小元素 B M 没有最大元素 N 也没有最小元素 C M 有一个最大元素 N 有一个最小元素 D M 有一个最大元素 N 没有最小元素 第 卷 非选择题 共 100 分 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 4 分 共 20 分 把答案填在答题卡的相应位置 上 11 sin47 cosl3 sinl3 sin43 的值等于 l2 函数 f x x3 ax x 在 x l 处有极值 则曲线 y f x 在原点处的切线方程是R 13 在约束条件下 目标函数 z ax by a 0 b 0 的最大值为 1 则 ab 1 2 10 x y xy 的最大值等于 14 设函数 f x x Z 给出以下三个判断 1 1 2 x f x 为偶函数 f x 为周期函数 f x 1 f x 1 其中正确判断的序号是 填写所有正确判断的序号 15 一个平面图由若干顶点与边组成 各顶点用一串从 1 开始的 连续自然数进行编号 记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对 值 若各条边的编号正好也是一串从 1 开始的连续自然数 则称这样 的图形为 优美图 已知图 15 是 优美图 则点 A B 与边 a 所对 应的三个数分别为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 16 本小题满分 13 分 在数列 a n 中 a1 2 点 a n a n 1 n N 在直线 y 2x 上 求数列 a n 的通项公式 若 bn log2 an 求数列的前 n 项和 Tn 1 1 nn bb l 7 本小题满分 13 分 假设某班级教室共有 4 扇窗户 在每天上午第三节课上课预备铃声响起时 每扇窗户 或被敞开或被关闭 且概率均为 0 5 记此时教室里敞开的窗户个数为 X 求 X 的分布列 若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭 班长就会将关闭的窗户全部敞开 否则维持原状不变 记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为 y 求 y 的数 学期望 18 本小题满分 13 分 如图 椭圆 a b 0 的上 下顶点分别 22 22 1 xy ab 为 A B 已知点 B 在直线 l y 1 上 且椭圆的离心率 e 3 2 求椭圆的标准方程 设 P 是椭圆上异于 A B 的任意一点 PQ y 轴 Q 为垂足 M 为线段 PQ 中点 直线 AM 交直线 l 于点 C N 为线段 BC 的中点 求证 OM MN 19 本小题满分 l 4 分 如图 在边长为 4 的菱形 ABCD 中 DAB 60 点 E F 分别在边 CD CB 上 点 E 与点 C D 不重合 EF AC EF AC O 沿 EF 将 CEF 翻折到 PEF 的位置 使平面 PEF 平面 ABFED 求证 BD 平面 POA 当 PB 取得最小值时 请解答以下问题 i 求四棱锥 P BDEF 的体积 ii 若点 Q 满足 0 试探究 直线 OQ 与平面 PBD 所成角的大小是否一AQ QP 定大于 并说明理由 4 p 第 19 题图 20 本小题满分 1 3 分 如图 一条宽为 l km 的两平行河岸有村庄 A 和供电站 C 村庄 B 与 A C 的直线距 离都是 2km BC 与河岸垂直 垂足为 D 现要修建电缆 从供电站 C 向村庄 A B 供 电 修建地下电缆 水下电缆的费用分别是 2 万元 km 4 万元 km 已知村庄 A 与 B 原来铺设有旧电缆仰 需要改造 旧电缆的改造费用是 0 5 万元 km 现 决定利用旧电缆修建供电线路 并要求水下电缆长度最短 试求该方案总施工费用的最小 值 如图 点 E 在线段 AD 上 且铺设电缆的线路为 CE EA EB 若 DCE 0 试用 表示出总施工费用 y 万元 的解析式 并求 y 的最小值 3 p 第 20 题图 21 本题有 1 2 3 三个选做题 每题 7 分 请考生任选 2 题作答 满分 l4 分 如果多做 则按所做的前两题计分 作答时 先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应 的题号涂黑 并将所选题号填人括号中 1 本小题满分 7 分 选修 4 2 矩阵与变换 利用矩阵解二元一次方程组 32 423 xy xy 2 本小题满分 7 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中 以 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 直线 l 的 极坐标方程为 cos sin 1 圆的参数方程为 为参数 r 0 若直线 1cos 1sin xr yr q q l 与圆 C 相切 求 r 的值 3 本小题满分 7 分 选修 4 5 不等式选讲 已知 a2 b2 c2 1 a b c 求 a b c 的最大值 R 2012 年福州市高中毕业班质量检查年福州市高中毕业班质量检查 数学 理科 试卷参考答案及评分标准数学 理科 试卷参考答案及评分标准 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 分 1 A 2 B 3 D 4 D 5 C 6 A 7 C 8 D 9 B 10 C 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2020 分 分 11 12 13 14 15 3 6 3 3 2 30 xy 1 8 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 分 16 本小题满分 13 分 解 由已知得 所以 又 1 2 nn aa 1 2 n n a a 1 2a 所以数列是首项为 2 公比为 2 的等比数列 3 分 n a 所以 5 分 1 1 22 nn n aan N 由 知 所以 7 分2n n a 2 log nn ban 所以 10 分 1 1111 1 1 nn bbnnnn 所以 11111111 1223341 n T nn 13 分 1 1 11 n nn 17 本小题满分 13 分 解 的所有可能取值为 0 1 2 3 4 1 分X 4 0 5 XB 4 0 4 11 0 216 P XC 4 1 4 11 1 24 P XC 4 2 4 13 2 28 P XC 4 3 4 11 3 24 P XC 6 分 4 4 4 11 4 216 P XC 的分布列为X X01234 p 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 7 分 的所有可能取值为 3 4 则 8 分Y 9 分 1 3 3 4 P YP X 11 分 3 4 1 3 4 P YP Y 的期望值 Y 1315 34 444 E Y 答 的期望值等于 13 分Y E Y 15 4 18 本小题满分 13 分 解 依题意 得 1 分1b 3 分 3 2 c e a 222 1acb 2 4a 椭圆的标准方程为 4 分 2 2 1 4 x y 法一 证明 设 00 P xy 0 0 x 则 且 0 0 Qy 2 20 0 1 4 x y 为线段中点 5 分MPQ 0 0 2 x My 又 直线的方程为 0 1AAM 0 0 2 1 1 y yx x 00 0 1 xy 令 得 8 分1y 0 0 1 1 x C y 又 为线段的中点 9 分 0 1B NBC 0 0 1 2 1 x N y 10 分 00 0 0 1 22 1 xx NMy y 22 200000 0000 00 1 222 1 44 1 xxxxx OM NMyyyy yy 12 分 22 200 0000 0 1 1 0 44 1 xx yyyy y 13 分OMMN 法二 同 法一 得 9 分 0 0 2 x My 0 0 1 2 1 x N y 当时 0 0y 0 2x 此时 2 0 1 0 1 1PMN 不存在 0 OM k MN kOMMN 10 分 当时 0 0y 00 0 0 2 2 OM yy k x x 2 0 000 0000 000 00 2 1 11 2 2 122 1 MN y yyx k xxx y x yy yy 12 分1 OMMN kk OMMN 综上得 13 分OMMN 19 本小题满分 14 分 证明 菱形的对角线互相垂直 ABCD 1 分BDAC BDAO EFAC POEF 平面 平面 平面平面 PEFABFEDPEF ABFEDEF 且平面 PO PEF 平面 2 分PO ABFED 平面 BD ABFED 3 分 POBD AOPOO 平面 4 分BD POA 如图 以为原点 建立空间直角坐标系 5 分OOxyz 设 AOBDH 因为 所以为等边三角形 60DAB BDC 故 4BD 2 2 3HBHC 又设 则 POx 2 3OHx 4 3OAx 所以 0 0 0 O 0 0 Px 2 3 2 0 Bx 故 6 分 2 3 2 PBOBOPxx 所以 2222 2 3 22 3 10PBxxx 当时 此时 7 分3x min 10PB 3PO 3 OH 由 知 平面PO BFED 所以 8 分 22 1133 42 33 3344 P BFEDBFED VSPO 四棱锥梯形 设点的坐标为 Q 0 ac 由 i 知 则 3OP 3 3 0 0 A 3 2 0 B 3 2 0 D 0 0 3 P 所以 9 分 3 3 0 AQac 0 3QPac AQ QP 3 3 3 aa cc 3 3 1 3 1 a c 3 33 0 11 Q 10 分 3 33 0 11 OQ 设平面的法向量为 则 PBD nx y z 0 0n PBn BD 3 2 3PB 0 4 0BD 3230 40 xyz y 取 解得 所以 11 分1x 0 y 1z 1 0 1 n 设直线与平面所成的角 OQPBD 2 22 3 33 113 sincos 293 33 2 11 OQ n OQ n OQn 12 分 2 22 19616 1 9922 又 13 分0 2 sin 2 0 2 4 因此直线与平面所成的角大于 即结论成立 14 分OQPBD 4 20 本小题满分 13 分 解 由已知可得为等边三角形 ABC 因为 所以水下电缆的最短线路为 CDAD CD 过作于E 可知地下电缆的最短线路为 3 分DDEAB DEAB 又 3 1 2 2 CDDEAB 故该方案的总费用为 3 1 422 0 5 2 万元 6 分53 因为0 3 DCE 所以 7 分 1 tan 3tan cos CEEBEDAE 则 9 分 113sin 423tan222 3 coscoscos y 令则 10 分 3sin cos g 2 22 cos3sinsin3sin1 coscos g 因为 所以 0 3 3 0sin 2 记 00 1 sin 0 33 当 即 时 1 0sin 3 0 0 0g 当 即 时 13 sin 32 0 3 0g 所以 从而 12 分 0 min 1 3 3 2 2 2 2 3 gg 4 22 3y 此时 0 2 tan 4 ED 因此施工总费用的最小值为 万元 其中 13 分4 22 3 2 4 ED 21 本小题满分 7 分 选修 4 2 矩阵与变换 解 方程组可写为 2 分 312 423 x y 系数行列式为 方程组有唯一解 3 24 12 利用矩阵求逆公式得 5 分 1 1 1 31 2 423 2 2 因此原方程组的解为 即 11 1 2 22 331 2 22 x y 1 2 1 2 x y 7 分 2 本小题满分 7 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 解 直线 的极坐标方程为 l cossin 1 直线 的直角坐标方程为 2 分l10 xy 又圆的普通方程为 C 222 1 1 xyr 所以圆心为 半径为 4 分 1 1 r 因为圆心到直