高中数学必修一-三角函数图像性质总结(精华版)

一 正弦 余弦 正切函数图象和性质 函 数 正弦函数Rxxy sin余弦函数Rxxy cos正切函数tan 2 yx xk 有 界 性 有界 有界 无界 定 义 域 2 x xkkZ 值 域 1 1 当时 2 2 Zkkx 1 max y 当时 2 2 Zkkx 1 min y 1 1 当时 2Zkkx 1 max y 当时 2Zkkx 1 min y 周 期 性 是周期函数 最小正周期 2 T是周期函数 最小正周期 2 T T 奇 偶 性 奇函数 图象关于原点对称偶函数 图象关于轴对称y奇函数 图象关于原点对称 单 调 性 在 2 2 2 2 Zkkk 上是单调增函数 在 2 2 3 2 2 Zkkk 上是单调减函数 在上 22 2 Zkkk 是单调增函数 在上是单 2 2 Zkkk 调减函数 在 22 kkkZ 上是单调增函数 对 称 轴 2 Zkkx Zkkx 对 称 中 心 0 Zkk 0 2 Zkk 0 2 k kZ 正弦函数 余弦函数 正切函数的图像 1 1 y sinx 3 2 5 2 7 2 7 2 5 2 3 2 2 2 4 3 2 4 3 2 o y x 1 1 y cosx 3 2 5 2 7 2 7 2 5 2 3 2 2 2 4 3 2 4 3 2 o y x y tanx 3 2 2 3 2 2 o y x y cotx 3 2 2 2 2 o y x 一 一 三角函数的性质三角函数的性质 1 定义域与值域 2 奇偶性 1 基本函数的奇偶性 奇函数 y sinx y tanx 偶函数 y cosx 2 型三角函数的奇偶性 g x x R g x 为偶函数 由此得 同理 为奇函数 为偶函数 为奇函数 3 周期性 1 基本公式 基本三角函数的周期 y sinx y cosx 的周期为 y tanx y cotx 的周期为 型三角函数的周期 的周期为 的周期为 2 认知 型函数的周期 的周期为 的周期为 的周期 的周期为 的周期为 均同它们不加绝对值时的周期相同 即对 y 的解析式施加绝对值后 该函 数的周期不变 注意这一点与 的区别 若函数为 型两位函数之和 则探求周期适于 最小公倍数法 探求其它 杂 三角函数的周期 基本策略是试验 猜想 证明 3 特殊情形研究 y tanx cotx 的最小正周期为 的最小正周期为 y sin4x cos4x 的最小正周期为 由此领悟 最小公倍数法 的适用类型 以防施错对象 4 单调性 1 基本三角函数的单调区间 族 依从三角函数图象识证 三部曲 选周期 在原点附近选取那个包含全部锐角 单调区间完整 并且最好关于原点对称的 一个周期 写特解 在所选周期内写出函数的增区间 或减区间 获通解 在 中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍 即得这一函数 的增区间族 或减区间族 循着上述三部曲 便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 揭示 上述 三部曲 也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域 2 y 型三角函数的单调区间 此类三角函数单调区间的寻求 三部曲 为 换元 分解 令 u 将所给函数分解为内 外两层 y f u u 套用公式 根据对复合函数单调性的认知 确定出 f u 的单调性 而后利用 1 中 公式写出关于 u 的不等式 还原 结论 将 u 代入 中 u 的不等式 解出 x 的取值范围 并用集合或区间 形成结论 正弦 余弦 正切 余切函数的图象的性质 xAysin A 0 定义域RRR 值域 1 1 1 1 RR AA 周期性 2 2 2 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 当非奇非偶 0 当奇函数 0 单调性 2 2 2 2 k k 上为增函 数 2 2 3 2 2 k k 上为减函 数 Zk 2 12 k k 上为增 函数 12 2 k k 上为减函 数 Zk kk 2 2 上为增函数 Zk 上为减函 1 kk 数 Zk 2 1 2 2 2 A k A k 上为增函数 2 3 2 2 2 A k A k 上为减函数 Zk 注意 与的单调性正好相反 与的单调性也同样相反 一般xysin xysin xycos xycos 地 若在上递增 减 则在上递减 增 xfy ba xfy ba 与的周期是 xysin xycos 或 的周期 sin xy cos xy0 2 T 的周期为 2 如图 翻折无效 2 tan x y 2 TT 的对称轴方程是 对称中心 的对称轴方 sin xy 2 kxZk 0 k cos xy 程是 对称中心 的对称中心 kx Zk 0 2 1 k tan xy0 2 k xxyxy2cos 2cos 2cos 原点对称 ZkkxRxx 2 1 且 ZkkxRxx 且 xycot xytan xycos xysin O y x 当 tan 1tan 2 Zkk tan 1tan 2 Zkk 与是同一函数 而是偶函数 则xycos kxy2 2 sin xy cos 2 1 sin xkxxy 函数在上为增函数 只能在某个单调区间单调递增 若在整个定义域 xytan R 为增函数 同样也是错误的 xytan 定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件 奇偶性的两个条件 一是定义 xf 域关于原点对称 奇偶都要 二是满足奇偶性条件 偶函数 奇函数 xfxf xfxf 奇偶性的单调性 奇同偶反 例如 是奇函数 是非奇非偶 定义域不xytan 3 1 tan xy 关于原点对称 奇函数特有性质 若的定义域 则一定有 的定义域 则无此性质 x 0 xf 0 0 fx 0 xysin 不是周期函数 为周期函数 xysin T 是周期函数 如图 为周期函数 xycos xycos T 的周期为 如图 并非所有周期函数都有最小正周期 例如 2 1 2cos xy Rkkxfxfy 5 有 a b babay cos sin sincos 22 yba 22 二 形如 形如的函数 的函数 sin yAx 1 1 几个物理量 几个物理量 A 振幅 频率 周期的倒数 相位 初相 1 f T x 2 2 函数 函数表达式的确定表达式的确定 A 由最值确定 由周期确定 由图象上的特殊点sin yAx 确定 如如 的图象如图所示 则 sin 0 0f xAxA 2 答 f x 15 2sin 23 f xx 3 函数BxAy sin 其中00 A 最大值是 最小值是 周期是 最小正周期BA AB 2 T 2 T 频率是 相位是 初相是 其图象的对称轴是直线 凡 2 f x 2 Zkkx 是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心 By 4 4 研究函数 研究函数性质的方法 类比于研究性质的方法 类比于研究的性质的性质 只需将sin yAx sinyx 2 23 3题题图图 2 2 9 9 Y Y X X 2 2 3 y x y cos x 图象 1 2 y x y cos2x 1 2 图象 中的看成中的 但在求求的单调区间时 要特的单调区间时 要特sin yAx x sinyx xsin yAx 别注意别注意 A A 和和的符号 通过诱导公式先将的符号 通过诱导公式先将化正 如化正 如 1 1 函数的递减区间是 答 2 3 ysin x 5 1212 k k kZ 2 2 的递减区间是 答 1 2 34 x ylog cos 33 66 44 k k kZ 5 函数函数图象的画法图象的画法 1 利用 五点法 作函数 其中sin yAx RxxAy sin 的简图 是将看着一个整体 先令列表求出对应的 的值0 0 A x 2 2 3 2 0 xx 与的值 用平滑曲线连结各点 即可得到其在一个周期内的图象 图象变换法 这是作函y 数简图常用方法 由图象推图象推的图象的图象sinyx sin yAxk 6 函数函数的图象与的图象与图象间的关系图象间的关系 图象变换sin yAxk sinyx 1 振幅变换 Rxxy sin 倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A1 A 01 A Rxxy sinA 2 周期变换 Rxxy sin 倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短 1 1 01 Rxxy sin 3 相位变换 Rxxy sin 个单位长度平移或向右所有点向左 0 0 Rxxy sin 4 4 上下平移上下平移 纵向平移变换纵向平移变换 是由是由k k的变化引起的 的变化引起的 k k 0 0 上移 上移 k k 0 0 下移下移 具体变换方法 三角函数图象的平移和伸缩三角函数图象的平移和伸缩 函数的图象与函数的图象之间可以通过变化 sin yAxk sinyx 来相互转化 影响图象的形状 影响图象与 轴交点的位 Ak A k x 置 由引起的变换称振幅变换 由引起的变换称周期变换 它们都是伸缩变换 由引起A 的变换称相位变换 由 引起的变换称上下平移变换 它们都是平移变换 既可以将三角函数k 的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移 一 先平移后伸缩先平移后伸缩 的图象得 sinyx 向左 0 或向右 0 平移个单位长度 sin yx 的图象得 sin yx 横坐标伸长 0 1 1 到原来的纵坐标不变 sin yx 的图象得 sin yx AA A 纵坐标伸长 1 或缩短 0 1 为原来的倍横坐标不变 sin yAx 的图象得图象 sin yAx 0 0 kk k 向上或向下 平移个单位长度 sin yAxk 二 先伸缩后平移 二 先伸缩后平移 的图象得 sinyx 1 01 AA A 纵坐标伸长或缩短 为原来的倍 横坐标不变 sinyAx 的图象得 sinyAx 01 1 1 横坐标伸长或缩短 到原来的纵坐标不变 sin yAx 的图象得 sin yAx 0 0 向左或向右 平移个单位 sin yAxx 的图象得 sin yAxx 0 0 kk k 向上或向下 平移个单位长度 sin yAxk 图象无论哪种变形 请切记每一个变换总是对字母 x 而言 即图象变换要看 变量 起多大变 化 而不是 角变化 多少 特别注意特别注意 若由得到的图象 则向左 sinyx sinyx 或向右平移应平移个单位 例如 函数的图象经过怎样的变换才能得到 2sin 2 1 4 yx 的图象 答 向上平移 1 个单位得的图象 再向sinyx 2sin 2 1 4 yx 2sin 2 4 yx 左平移个单位得的图象 横坐标扩大到原来的 2 倍得的图象 最后将纵 8 2sin2yx 2sinyx 坐标缩小到原来的即得的图象 1 2 sinyx 三 正切函数三 正切函数的图象和性质的图象和性质 tanyx 1 定义域 2 值域是 R 在上面定义域上无最大值也无最小值 2 x xkkZ 3 周期性 是周期函数且周期是 它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个周期 ya 绝对值或平方对三角函数周期性的影响绝对值或平方对三角函数周期性的影响 一般说来 某一周期函数解析式加绝对值或平方 其周期性是 弦减半 切不变弦减半 切不变 既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值 其周期性不 变 其它不定 如的周期都是 但的周期为 而xyxysin sin2 sinyx cosx 2 的周期不变 1 2sin 3 2sin 3 2 626 yxyx tan yx 4 奇偶性与对称性 是奇函数 对称中心是 特别提醒特别提醒 正 余 切型函数的 0 2 k kZ 对称中心有两类 一类是图象与轴的交点 另一类是渐近线与轴的交点 但无对称轴 这xx 是与正弦 余弦函数的不同之处 5 单调性 正切函数在开区间内 22 kkkZ 都是增函数 但要注意在整个定义域上不具有单调性要注意在整个定义域上不具有单调性 三角函数