数学史(考试重点及答案)

1 简述数学史的定义及数学史课程的内容 答 数学史研究数学概念 数学方法和数学思想的起源与发展及其与社会政治经济和一般文化的联系 数学史课程的功能可以概括成以下四部分 1 掌握历史知识 通过学习关于数学的专门知识 更好的从整体上把握数学 2 复习已有知识 按学科讲述学过的数学知识 系统的提高对该学科的理解 3 了解新的知识 通过学习数学各学科的发展 了解没有学过的学科的内容 4 受到思想教育 通过了解数学家为数学而奋斗的高尚品质 陶冶数学情操 2 简述数学内涵的历史发展 答 数学的内涵随时代的变化而变化 一般可分为四个阶段 A 数学是量的科学 公元前 4 世纪 B 数学是研究现实世界空间形式与数量关系的科学 19 世纪 C 数学研究各种量之间的关系与联系 20 世纪 50 年代 D 数学是作为模式的科学 20 世纪 80 年代 1 简述河谷文明及其数学 答 历史学家往往把四大文明古国的文明称之为 河谷文明 因为这些国家是在河流的入海口建立的 尼罗河孕育了埃及文明 底格里斯河 幼发拉底河孕育了巴比伦文明 黄河和长江孕育了中国文明 印度 河和恒河孕育了印度文明 埃及 美索不达米亚的数学产生较早 纪元前已经衰微 而印度 中国的数学 崛起较晚 却延续至中世纪 2 简述纸草书与泥板文书中的数学 答 古埃及人在一种纸莎草压制成的叶片上书写 幸存至今 被称为纸草书 莱茵德纸草书 现存于伦 敦大英博物馆 中有 84 个数学题目 莫斯科纸草书 现存于俄国普希金精细艺术博物馆 中有 25 个数学 题目 还有其他纸草书 纸草书中的数学知识包括 1 算术 包括加法运算 单位分数 十进制计数 位置法 2 几何 包 括面积 体积计算和四棱台体积公式 美索不达米亚人用尖芦管在湿泥板上写字 然后将湿泥板晒干或烘干 幸存至今 被称之为泥板文书 出 土 50 万块其中数学文献 300 块 泥板文书中的数学包括 1 记数 包括偰形文 60 制 位值原理 2 程序化算法 包括 1 414213 3 数表 4 x px q 0 x a X X a 5 几何 测量 面积 体积公式 相似形 勾股数值 代数学 1 简述几何三大问题及历史发展 答 用圆规和没有刻度的直尺完成作图 称为尺规作图 1 画圆为方 作一个与给定圆面积相等的正方形 2 倍立方体 求作一个正方体 使其体积等于已知正方体体积的两倍 3 三等分角 分任意角为三等份角 历史发展 从古代希腊开始 人们对三大问题做了不断的探索但没有解决 直到 19 世纪人们才能用代数 学等的知识彻底解决了 彻底解决证明是不可能的 有的人不了解历史有时仍然盲目的研究它 2 简述欧几里得的几何 原本 答 欧几里德集古代希腊论证数学之大成 写成第一部典范的数学著作几何 原本 前六卷相当于几何内容 第 1 卷首先用 23 个定义给出了点 钱 面 圆以及平行线等原始概念 接着提 出了 5 个公社和 5 个公理 第 2 卷主要讨论几何代数 第 3 卷是与圆有关的一些问题 包括圆 弦 割线 切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理 第 4 卷在引入了圆的内接和外切圆形的概念以后 讨论了给 定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题 第 5 卷讨论了有关量的比例理论 第 6 卷主要是将激励 理论应用于平面几何 其中包括相似三角形等 第 7 8 9 卷主要研究初等数论 第 10 卷讨论无理数 后 3 卷是立体几何的内容 1 简述割圆术及中国古代数学家所计算的圆周率 答 1 割圆术的要旨 就是用圆内接正多边形去逼近圆 割之弥细 所之弥少 用圆内接正多边形 的周长与面积近似作为圆的周长与面积 2 刘徽计算到正 192 边形 得到圆周率约为 3 14 以分数 157 50 近似代替圆周率 称之为徽率 祖冲之 计算的圆周率 3 1415926 圆周率 3 1415927 以分数 22 7 近似代替圆周率称之为约率 以分数 355 113 近 似代替圆周率称之为密率 又称之为祖率 2 简述 天元术 与 四元术 答 1 天元术 解一元高次方程的方法 立天元为某某 相当于设 X 为某某 类似为代数中的列方 程法 2 四元术 解多元高次方程组的方法 以 天 地 人 物 来表示四个不同的未知量 并且用固定的格式求出来 1 简述巴克沙拉里手稿与印度记数法 答 公元前 2 世纪至公元 3 世纪的时期印度人在桦树皮上记录了数学知识被自然界变迁埋在地下 1881 年在巴克沙利村 今巴基斯坦西北地区 被挖掘出来从而称为巴克沙利手稿 它的主要内容是 分数 平 方根 收支与利润的计算 比例计算 级数求和 代数方程 一次方程 二次方程 数学符号 现在用的计数法是印度人创造的 1 公元前 2 世纪至公元 3 世纪在巴克沙利手稿中记录了完整的十进 制计数法用 表示零 2 公元 9 世纪 变为椭圆即现在的 记录在瓜廖尔石碑中 3 公元 11 世纪有零号的印度数码和十进制记数法已成熟了 4 公元 8 世纪传入阿拉伯 13 世纪由阿拉伯传入 欧洲 阿拉伯数码的名字由此而来 2 简述阿拉伯的代数学 答 阿拉伯的数学成就首先表现在代数方面 阿拉伯数学家阿尔 花拉子米写了重要的代数著作被称为代 数学之父 他的 还原与对消计算概要 一书论述了移向与合并同类项 将一元二次方程分成六种类型进 行研究并给出了一般的代数解法及解法的几何证明 阿拉伯数学家奥玛 海雅姆对代数学最杰出的贡献是 用圆锥曲线解三次方程 他将求方程转化为与半圆 的支点的横坐标 1 简述欧洲文艺复兴时期的代数学 答 欧洲在数学上的推进从代数学开始 人们集中研究三 四次方程尤其是三次方程 意大利数学家费罗 塔尔塔利亚各自得到了三次方程的求根公式 卡尔丹将该公式发表在他的著作 大法 中后人称为卡尔丹 公式 不久费拉里找到了四次方程的解法 法国数学家韦达首先把数学符号系统化从而导致代数在性质上 产生重大变革 他在 分析术引论 一书中 第一次有意识的使用字母与符号 使代数成为研究一般类型 的式子与方程的学问 2 简述解析几何的产生 答 法国数学家奥雷斯姆在其著作 论形态幅度 中借用 经度 纬度 来描述所谓的图线相当于纵坐 标与横坐标 法国数学家笛卡尔的 方法论 一书的附录共 3 个 其中之一为 几何学 将方程与曲线 对应使几何问题数学化 法国数学家费马在其 论平面与立体的轨迹引论 一书中定义了曲线提出并使用 了坐标的概念 由于数学家特别是上述三位数学家的工作使解析几何诞生了 1 简述微积分先驱数学家的贡献 答 微积分的天才思想在古代数学家那就已产生 古希腊数学家阿基米德 中国数学家刘徽 祖冲之父子 求面积 体积产生积分学的萌芽 古希腊及中国关于求变化率 切线产生微分学的萌芽 笛卡尔 费马创 造的解析几何为微积分的创立搭设舞台 在牛顿 莱布尼茨之前半个多世纪很多数学家都投入到微积分的研究之中 其中主要的有 一 开普勒对 旋转体的体积的研究 二 卡瓦列里对不可分原理的研究 三 简卡尔对求切线的 圆法 的研究 四 费马对极大与极小值的求法的研究 五 巴罗对微分三角形的研究 六 沃利斯对无穷算数的 研究 正是由于众多数学家都研究了微积分的问题才使牛顿和莱布尼兹创立了微积分 2 简述牛顿的微积分与莱布尼茨的微积分 答 牛顿是在笛卡尔的 几何学 和沃利斯的 无穷算数 的基础上创立微积分理论 1665 年 11 月牛顿 建立了 正流数术 1666 年 5 月牛顿创立了 反流数术 1666 年 10 月牛顿写了总结性论文 流数简论 牛顿继续研究流数术相继完成了三篇论文 分析学 流数法 求积术 并且以极限法作为微积分的 基础 牛顿在 自然哲学的数学原理 一书中最早公开表述微积分学说 莱布尼兹从几何问题出发 发现了求曲线的切线与面积的互逆关系 1684 年他发表了 一种求极大与极 小值和求切线的新方法 1686 年他发表了 深奥的几何与不可分量及无限的分析 1 简述微积分的发展 答 大不列颠以泰勒 麦克劳斯 棣莫弗 斯特林继承和发展了牛顿创立的微积分 欧洲大陆以伯努利家 族 欧拉 达朗贝尔 拉格朗日为代表继承和发展了莱布尼茨创立的微积分 微积分的发展分为 5 个方面 1 积分技术与椭圆积分 包括变量替换 部分分式积分 椭圆积分 2 微积分向多元函数的推广 包括偏导数和多重积分 3 无穷级数理论 包括收敛性 调和级数 判别法 4 函数概念的深化 5 微积分严格化的尝试 其中主要著作有达朗贝尔的 科学 艺术和工艺百科全书 拉格朗日的 解 析函数论 代表学科 分析学和分析 2 简述分析学在 18 世纪的新分支 答 分析学在 18 世纪有 3 个分支 一 常微分方程 包括积分因子法 变易系数法 例如 微分方程 常微分方程 二 偏微分方程 又称数学物理方程 这一分支有两位著名的数学家进行了研究 其中达朗贝尔研究弦的振动 得出所满足的微分方程 并求出 某种形式的通解 拉普拉斯研究弦的振动 得出所满足的偏微分方程 位势方程 通常称为拉普拉斯方 程 三 变分法 欧拉对于变分问题给出了一般的处理 得出了变分法的基本方程 常称为 欧拉方程 1 简述伽罗瓦对代数学的贡献 答 法国数学家伽罗瓦的工作原理是在拉格朗日 高斯 柯西 阿贝尔等人的工作启发之下完成的 他在 拉格朗日的基础上提出了 置换群 子群 正规子群 极大正规子群 等全新的数学概念 伽罗瓦研究根的排列 实际上建立了置换群 1829 1831 年 伽罗瓦发现了代数方程可用根式解的基本定 律 伽罗瓦基本定律 判断根式可解的充要条件 问题转化为域 建立了子域与子群的对应关系 给出 了根式可解得充要条件 开辟了代数学的新纪元 2 简述 19 世纪的数论 答 高斯 1801 年著书 算数研究 对代数数论进行了总结并发长了此数论 高斯研究了同余理论 复整 数型的理论 使数论成为现代数学的一个重要分支 复整数理论开辟了代数理论 库默尔对代数数论作出 了重要贡献 例如 费马定理的证明 唯一因子分解定理和理想数理论 1 简述非欧几何的产生 答 研究欧几里德平行公社由来已久 19 世纪进入研究的活跃时期 克里格尔对平行公理能否有其他公 理推出表示怀疑 兰伯特通过替代平行公社而展开无矛盾的几何学著作 平行线理论 高斯建立并相信 一种逻辑上相容并且可以描述物质空间像欧氏几何一样正确的几何学 波约 匈牙利 著 绝对空间 的几何学 给出了非欧几何 罗巴切夫斯基是俄国数学家 他 1826 年发表 简要论述平行线定理的一个 严格证明 1829 年完成 论几何原理 1835 1838 年完成 具有完备的平行线理论的新几何原理 1840 年完成 平行理论的几何研究 他最早发表并捍卫自己的理论 被成为罗巴切夫斯基几何 简称为 罗氏几何 2 克莱茵的爱尔朗根纲领 答 各国数学家克莱茵于 1872 年在爱尔朗根大学发表的数学教授就职演说称之为 爱尔朗根纲领 爱 尔朗根纲领 阐述里几何学统一的思想 所谓几何学 就是研究几何图形对某类变换群保持不变性质的学 科 或者说 任何一种几何学只是研究与特定变换群有关的不变量 从而 变化群本的任意一种分类也就 对应于几何学的一种分类 1 简述柯西与魏尔斯特拉斯对分析学严格化的贡献 答 柯西是十九世纪前半世纪的法国著名数学家 他与 1817 年出版了 纯粹分析证明 一书 又于 1821 年和 1823 年分别出版了 分析教程 和 无穷小计数教程 他特别是对变量 函数 极限 无穷小量 连续函数 导数与微分 积分和级数的研究做出了突出贡献 威尔斯特拉斯创造了一套科学的 语言 重新定义了极限 连续 导数等分析基本概念 引进了一致 收敛性 分析学今天的严格形式被确定 1 简述 20 世纪纯粹数学发展的主要趋势 答 20 世纪纯粹数学发展的主要趋势是更高的抽象性 更强的统一性 更深入的基础探讨 更高的抽象性 集合论观点的渗透和公理化的应用 使 20 世纪纯粹数学具有更高的抽象性 以实变函数 泛函分析 拓扑学 抽样代数具有标志性的四大抽象分支为典型证明与代表 更强的统计性 不同学科的相互渗透 结合的趋势 不同分支领域的数学思想与数学方法的相互融合 更深入的基础探讨 对数学基础的更深入的探讨及由此引起的数理逻辑的发展 2 简述关于数学基础的三大派流 答 数学基础的三大流派是逻辑主义 直觉主义 形式主义 逻辑主义以英国的罗素为代表 认为数学就是逻辑 全部数学可以由逻辑推导出来 直觉主义以荷兰的布劳威尔为代表 认为数学独立于逻辑 坚持数学对象的 构造性 主义 形式主义以德国的希尔伯特为代表 试图将数学彻底形式化为一个系统 数学语句的公式表达 用形式的 程序表示推理 1 简述 20 世纪作为应用数学的新世纪 答 在 20 世纪 数学产生了空前广泛的应用 1 数学的应用突破了传统的范围 而向人类几乎所有的知识领域渗透 产生了诸如数理化学 数理经 济学 数理心理学等交叉学科 2 纯粹数学的几乎所有分支都获得了应用 其中最抽象的一些分支也参与了渗透 例如 数论在密码 技术 卫星信号传递 计算机 量子力学等学科中发挥重要作用 3 现代数学对生产技术的应用越来越直接 例如 数值模拟已成为飞行器设计的有效工具 应用于技 术部分以替代耗资巨大的实验 4 现代数学产生了一些相对独立的应用学科 如数理统计 运筹学 控制论等 2 简述计算机对数学的影响 答 计算机对数学产生了重要影响 1 计算数学的兴旺计算机 促进了各种计算方法的产生 等形计算力学等数学分支 2 纯粹数学研究与计算机 用计算机解决了重大大数学问题 如证明四色定理 计算机依无可比比拟 的计算速度和图像显示动能 帮助数学家猜测新的事实 发现新的定理 如孤立子 混沌等 3 计算机科学中的数学 计算机呼唤新的数学思想 如组合数学 模糊数学 机器证明等 随着计算 机科学的发展而进一步发展 1 简述四色定理的证明过程 答 四色问题也称为四色猜想或四色定理 为了给任意一张地图着色 使有公共边界的任何区域颜色不同 至多需要四种颜色 1852 年 英国大学生古德里首先提出 1878 年法国数学家凯莱的文章 论地图着色 掀起了一场四色问 题热 1879 年英国肯波引入 不可避免集 与 可约性 两个关键概念 1900 年希伍德证明五色定理 1969 年德国希斯找到解决问题的 放电算法 1976 年 6 月 美国哈肯与阿佩尔借助计算机最终给与证明 计算机时间 1200 小时 计算机程序先后修改 了 500 多次 2 简述有限单群分类定理的证明过程 答 如同数论中的素数 物理学中的基本粒子 单群是群论的基本构件 认识有限群转化为认识有限单群 有限单群分类定理 有限单群包括十八个正规无限族 成族出现的群 和 26 个散在单群 单独出现的群 再没有其他的有限单群了 1954 年布饶尔的对合中心化子定理成为单群分类工作的新起点 1962 年费特 和汤普逊证明了 所有非交换单群都是偶数个元素的群 1972 年弋伦斯坦提出解决分类问题的 16 步纲领 发起最后攻坚战 1980 年格里斯找到最后一个散在单群 大魔 宣告分类定理证明结束 1 简述数学对人类三次产业革命的影响 答 数学发展与社会进步互相促进 数学对社会进步产生了深刻影响 包括物质文明和精神文明 英国瓦 特发明蒸汽机以此为代表的第一次产业革命中 利用微积分研制出了计算机 以发动机 电动机和电气通 信为标志的第二次产业革命以数学分析和场论为基础建立了电磁理论 以电子计算机 原子能 空间技术