2016-2017学年浙江省台州市高二(上)期末数学试卷

第 1 页 共 18 页 2016 2017 学年浙江省台州市高二 上 期末数学试卷学年浙江省台州市高二 上 期末数学试卷 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 30 分 分 1 3 分 过点 A 0 1 与直线 y x 1 平行的直线方程是 A x y 1 0 B x y 1 0C x y 1 0 D x y 1 0 2 3 分 若一个球的半径为 1 则它的表面积是 A 4 B 2 C D 3 3 分 已知圆 C x2 y2 2x 4y 0 则圆 C 的圆心坐标为 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 4 3 分 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 异面直线 A1B 与 CC1所成角的大小为 A 60 B 30 C 90 D 45 5 3 分 设直线 l 的方向向量为 1 1 1 平面 的一个法向量为 1 1 1 则直线 l 与平面 的位置关系是 A l B l C l D 不确定 6 3 分 已知直线 l 在平面 内 则 l 是 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 7 3 分 在平面直角坐标系中 方程 1 所表示的曲线是 A 椭圆B 三角形 C 菱形D 两条平行线 8 3 分 已知抛物线 y2 4x 上一动点 M x y 定点 N 0 1 则 x MN 的最小值是 A B C 1D 1 9 3 分 已知 F1和 F2分别是椭圆 C y2 1 的左焦点和右焦点 点 P x0 y0 是椭圆 C 上一点 切满足 F1PF2 60 则 x0的取值范围是 第 2 页 共 18 页 A 1 1 B C 1 D 10 3 分 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 E F E1 F1分别为棱 AB AC AA1 CC1的中点 点 G H 分别为四边形 ABB1A1 BCC1B1对角线的交 点 点 I 为 A1B1C1的外心 P Q 分别在直线 EF E1F1上运动 则在 G H I 这三个点中 动直线 PQ A 只可能经过点 I B 只可能经过点 G H C 可能经过点 G H I D 不可能经过点 G H I 二 填空题 本大题共有二 填空题 本大题共有 6 小题 多空题每小题小题 多空题每小题 4 分 单空题每小题分 单空题每小题 4 分 共分 共 20 分 分 11 4 分 直线 x y 3 0 的斜率为 倾斜角为 12 4 分 在空间直角坐标系中 点 A 2 1 2 到原点 O 的距离为 点 A 关于原点 O 对称的点的坐标为 13 3 分 如图 某三棱锥的三视图 则该三棱锥的体积为 14 3 分 已知双曲线 1 的一条渐近线方程为 y x 则双曲线的离心 率为 15 3 分 在直线 l1 ax y a 2 0 a R 过原点 O 的直线 l2与 l1垂直 垂足 第 3 页 共 18 页 为 M 则 OM 的最大值为 16 3 分 已知 A 2 2 B a b 对于圆 x2 y2 4 上的任意一点 P 都有 则点 B 的坐标为 三 解答题 本大题共有三 解答题 本大题共有 5 小题 共小题 共 50 分 分 17 8 分 设 p 方程 x2 y2 4 a 表示圆 q 方程 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线 如果 p 和 q 都正确 求实数 a 的取值范围 18 10 分 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 E F 分别为 BB1 B1C1的中 点 求证 直线 EF 面 ACD1 求二面角 D1 AC D 的平面角的余弦值 19 10 分 已知抛物线 C 顶点在原点 关于 x 轴对称 且经过 P 1 2 求抛物线 C 的标准方程及准线方程 已知不过点 P 且斜率为 1 的直线 l 与抛物线 C 交于 A B 两点 若 AB 为 直径的圆经过点 P 试求直线 l 的方程 20 10 分 已知三棱柱 ABC A1B1C1的底面是边长为 4 的正三角形 侧棱 AA1 垂直于底面 ABC AA1 2 D 为 BC 中点 若 E 为棱 CC1的中点 求证 A1C DE 若点 E 在棱 CC1上 直线 CE 与平面 ADE 所成角为 当 sin 时 求 CE 的长 第 4 页 共 18 页 21 12 分 已知椭圆 C 1 a b 0 的右焦点为 1 0 且右焦 点到上顶点的距离为 求椭圆 C 的方程 过点 P 2 2 的动直线交椭圆 C 于 A B 两点 i 若 PA PB 求直线 AB 的斜率 ii 点 Q 在线段 AB 上 且满足 求点 Q 的轨迹方程 第 5 页 共 18 页 2016 2017 学年浙江省台州市高二 上 期末数学试卷学年浙江省台州市高二 上 期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 30 分 分 1 3 分 过点 A 0 1 与直线 y x 1 平行的直线方程是 A x y 1 0 B x y 1 0C x y 1 0 D x y 1 0 分析 设过点 A 0 1 与直线 y x 1 平行的直线方程是 x y c 0 把点 0 1 代入 能得到所求直线方程 解答 解 过点 A 0 1 与直线 y x 1 平行的直线方程是 x y c 0 把点 0 1 代入 得 0 1 c 0 解得 c 1 所求直线方程为 x y 1 0 故选 D 点评 本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系的应用 是基础题 解 题时要认真审题 仔细解答 2 3 分 若一个球的半径为 1 则它的表面积是 A 4 B 2 C D 分析 直接利用球的表面积公式 即可得出结论 解答 解 由题意 半径为 1 的球的表面积是 4 12 4 故选 A 点评 本题考查球的表面积公式 考查学生的计算能力 比较基础 3 3 分 已知圆 C x2 y2 2x 4y 0 则圆 C 的圆心坐标为 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 第 6 页 共 18 页 分析 把圆的一般方程化为标准方程 求出圆心和半径 解答 解 圆 x2 y2 2x 4y 0 即 x 1 2 y 2 2 5 故圆心为 1 2 故选 B 点评 本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法 根据圆的标准方 程求圆心 属于基础题 4 3 分 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 异面直线 A1B 与 CC1所成角的大小为 A 60 B 30 C 90 D 45 分析 将 CC1平移到 B1B 从而 A1BB1为直线 BA1与 CC1所成角 在三角形 A1BB1中求出此角即可 解答 解 CC1 B1B A1BB1为直线 BA1与 CC1所成角 因为是在正方体 ABCD A1B1C1D1中 所以 A1BB1 45 故选 D 点评 本题主要考查了异面直线及其所成的角 考查空间想象能力 运算能 力和推理论证能力 属于基础题 5 3 分 设直线 l 的方向向量为 1 1 1 平面 的一个法向量为 1 1 1 则直线 l 与平面 的位置关系是 A l B l C l D 不确定 分析 观察到的直线 l 的方向向量与平面 的法向量共线 得到位置关系是 垂直 解答 解 因为直线 l 的方向向量为 1 1 1 平面 的一个法向量为 1 1 1 显然它们共线 所以直线 l 与平面 的位置关系是垂直即 l 第 7 页 共 18 页 故选 C 点评 本题考查了利用直线的方向向量和平面的法向量的关系 判定线面关 系 体现了向量的工具性 属于基础题 6 3 分 已知直线 l 在平面 内 则 l 是 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 分析 根据线面垂直和面面垂直的定义和性质 结合充分条件和必要条件的 定义即可的结论 解答 解 根据面面垂直的判定定理可得 若 l l 则 成立 即充分性成立 若 则 l 不一定成立 即必要性不成立 故 l 是 充分不必要条件 故选 A 点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判定 利用线面垂直和面面垂直 的关系是解决本题的关键 7 3 分 在平面直角坐标系中 方程 1 所表示的曲线是 A 椭圆B 三角形 C 菱形D 两条平行线 分析 去掉绝对值 可得方程 1 的曲线围成的封闭图形 解答 解 x 0 y 0 方程为 1 x 0 y 0 方程为 1 x 0 y 0 方程为 1 x 0 y 0 方程为 1 方程 1 的曲线围成的封闭图形是一个 以 0 4 2 0 0 4 2 0 为顶点的菱形 故选 C 点评 本题考查的知识点是曲线与方程 分析出几何体的形状是解答的关键 难度中档 第 8 页 共 18 页 8 3 分 已知抛物线 y2 4x 上一动点 M x y 定点 N 0 1 则 x MN 的最小值是 A B C 1D 1 分析 抛物线的焦点坐标为 1 0 M 到准线的距离为 d 则 x MN d MN 1 MF MN 1 NF 1 1 即可得出结论 解答 解 抛物线的焦点坐标为 1 0 M 到准线的距离为 d 则 x MN d MN 1 MF MN 1 NF 1 1 x MN 的最小值是 1 故选 D 点评 本题考查抛物线的方程与性质 考查抛物线定义的运用 属于中档 题 9 3 分 已知 F1和 F2分别是椭圆 C y2 1 的左焦点和右焦点 点 P x0 y0 是椭圆 C 上一点 切满足 F1PF2 60 则 x0的取值范围是 A 1 1 B C 1 D 分析 设当点 P 在第一象限时 求出 F1PF2 60 时 PF2的大小 由焦半径公 式的 PF2 a ex0解得 x0 根据对称性 则 x0的取值范围 解答 解 a b 1 c 1 设当点 P 在第一象限时 PF1 t1 PF2 t2 则由椭圆的定义可得 t1 t2 2 在 F1PF2中 当 F1PF2 60 所以 t12 t22 2t1t2 cos60 4 由 得 t2 由焦半径公式的 a ex0 解得 x0 当点 P 向 y 轴靠近时 F1PF2增大 根据对称性 则 x0的取值范围是 第 9 页 共 18 页 故选 B 点评 本题考查了椭圆的性质及焦点三角形的特征 属于中档题 10 3 分 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 E F E1 F1分别为棱 AB AC AA1 CC1的中点 点 G H 分别为四边形 ABB1A1 BCC1B1对角线的交 点 点 I 为 A1B1C1的外心 P Q 分别在直线 EF E1F1上运动 则在 G H I 这三个点中 动直线 PQ A 只可能经过点 I B 只可能经过点 G H C 可能经过点 G H I D 不可能经过点 G H I 分析 根据题意 得出 PQ 与 GH 是异面直线 PQ 不过点 G 且不过点 H 当 A1B1 B1C1时 外接圆的圆心 I 为斜边 A1C1的中点 P 与 F 重合 Q 是 E1F1 的中点 PQ 过点 I 解答 解 如图所示 三棱柱 ABC A1B1C1中 连接 GH 则 GH E1F1 G H F1 E1四点共面与平面 GHF1E1 又点 P 平面 GHF1E1 Q E1F1 Q 平面 GHF1E1 且 Q GH PQ 与 GH 是异面直线 即 PQ 不过点 G 且不过点 H 第 10 页 共 18 页 又点 I 为 A1B1C1的外心 当 A1B1 B1C1时 I 为 A1C1的中点 若 P 与 F 重合 Q 是 E1F1的中点 此时 PQ 过点 I 故选 A 点评 本题考查了空间中的两条直线位置关系 也考查了直线过某一点的应 用问题 是综合性题目 二 填空题 本大题共有二 填空题 本大题共有 6 小题 多空题每小题小题 多空题每小题 4 分 单空题每小题分 单空题每小题 4 分 共分 共 20 分 分 11 4 分 直线 x y 3 0 的斜率为 1 倾斜角为 45 分析 直接化直线方程为斜截式得答案 解答 解 由 x y 3 0 得 y x 3 直线 x y 30 的斜率是 1 倾斜角为 45 故答案为 1 45 点评 本题考查直线的斜率 考查直线方程的斜截式 是基础的计算题 12 4 分 在空间直角坐标系中 点 A 2 1 2 到原点 O 的距离为 3 点 A 关于原点 O 对称的点的坐标为 2 1 2 分析 利用两点间矩离公式 对称的性质直接求解 解答 解 点 A 2 1 2 到原点 O 的距离 d 3 点 A 2 1 2 关于原点 O 对称的点的坐标为 2 1 2 故答案为 3 2 1 2 点评 本题考查点的坐标的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意两点 间距离公式 对称性质的合理运用 13 3 分 如图 某三棱锥的三视图 则该三棱锥的体积为 2 第 11 页 共 18 页 分析 由三视图可知该三棱锥的底面为等腰直角三角形 高为 3 从而解 得 解答 解 该三棱锥的底面为等腰直角三角形 高为 3 则其体积 V 2 故答案为 2 点评 本题考查了学生的空间想象力 属于基础题 14 3 分 已知双曲线 1 的一条渐近线方程为 y x 则双曲线的离心 率为 2 分析 利用双曲线的渐近线方程 推出 a b 的关系 然后求解双曲线的离心 率即可 解答 解 双曲线 1 的一条渐近线方程为 y x 可得 即 解得 e 2 故答案为 2 点评 本题考查双曲线的简单性质的应用 考查计算能力 15 3 分 在直线 l1 ax y a 2 0 a R 过原点 O 的直线 l2与 l1垂直 垂足 为 M 则 OM 的最大值为 分析 分 a 0 或 a 0 两种情况讨论 设 y 根据判别式求出 y 的 范围 即可得到 OM 的最大值 第 12 页 共 18 页 解答 解 直线 l1 ax y a 2 0 a R 化为 y ax a 2 则直线 l1的斜率为 a 当 a 0 时 11 y 2 过原点 O 的直线 l2与 l1垂直 直线 l2的方程为 x 0 M 0 2 OM 2 当 a 0 时 则直线 l2的斜率为 则直线 l2的方程为 y x 由 解得 x y M 则 OM 设 y 则 1 y a2 4a 4 y 0 16 4 1 y 4 y 0 解得 0 y 5 OM 的最大值为 综上所述 OM 的最大值为 故答案为 点评 本题考查了直线方程的垂直的关系和直线与直线的交点和函数的最值 得问题 属于中档题 16 3 分 已知 A 2 2 B a b 对于圆 x2 y2 4 上的任意一点 P 都有 第 13 页 共 18 页 则点 B 的坐标为 1 1 分析 设 P x y 则 x 2 2 y 2 2 2 x a 2 2 y b 2 化简可得 2 2a x 2 2b y a2 b2 2 0 由此可求点 B 的坐标 解答 解 设 P x y 则 x 2 2 y 2 2 2 x a 2 2 y b 2 化简可得 2 2a x 2 2b y a2 b2 2 0 a 1 b 1 时 方程恒成立 点 B 的坐标为 1 1 故答案为 1 1 点评 本题考查点与圆的位置关系 考查恒成立问题 正确转化是关键 三 解答题 本大题共有三 解答题 本大题共有 5 小题 共小题 共 50 分 分 17 8 分 设 p 方程 x2 y2 4 a 表示圆 q 方程 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线 如果 p 和 q 都正确 求实数 a 的取值范围 分析 先求出命题 p 真 命题 q 真时 a 的范围 由 p 和 q 都正确 得 实数 a 的取值范围 解答 解 若命题 p 真 方程 x2 y2 4 a 表示圆 4 a 0 即 a 4 若命题 q 真 则 a 1 0 得 a 1 p 和 q 都正确 所以 1 a 4 实数 a 的取值范围 1 4 点评 本题考查了复合命题的判断 考查圆和双曲线的性质 是一道基础题 18 10 分 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 E F 分别为 BB1 B1C1的中 点 求证 直线 EF 面 ACD1 求二面角 D1 AC D 的平面角的余弦值 第 14 页 共 18 页 分析 连结 BC1 则 EF BC1 从而 EF AD1 由此能证明直线 EF 面 ACD1 连结 BD 交 AC 于点 O 连结 OD1 则 OD AC OD AC DOD1是二 面角 D1 AC D 的平面角 由此能求出二面角 D1 AC D 的平面角的余弦值 解答 证明 连结 BC1 则 EF BC1 BC1 AD1 EF AD1 EF 面 ACD1 AD1 面 ACD1 直线 EF 面 ACD1 解 连结 BD 交 AC 于点 O 连结 OD1 则 OD AC OD AC DOD1是二面角 D1 AC D 的平面角 设正方体棱长为 2 在 Rt D1DO 中 OD OD1 cos DOD1 二面角 D1 AC D 的平面角的余弦值为 点评 本题考查线面垂直的判定与性质 考查利用二面角的余弦值的求法 考查逻辑推理与空间想象能力 运算求解能力 考查数形结合 化归转化思 想 第 15 页 共 18 页 19 10 分 已知抛物线 C 顶点在原点 关于 x 轴对称 且经过 P 1 2 求抛物线 C 的标准方程及准线方程 已知不过点 P 且斜率为 1 的直线 l 与抛物线 C 交于 A B 两点 若 AB 为 直径的圆经过点 P 试求直线 l 的方程 分析 I 由题意可设抛物线的标准方程为 y2 2px p 0 把点 P 1 2 代入解得 p 可得抛物线 C 的标准方程及其准线方程 II 时直线 l 的方程为 y x b 代入抛物线方程可得 y2 4y 4b 0 设 A x1 y1 B x2 y2 由题意可得 0 可得 x1 1 x2 1 y1 2 y2 2 x1 x2 x1 x2 1 y1 y2 2 y1 y2 4 0 把根与系数的关系代入即可得 出 解答 解 I 由题意可设抛物线的标准方程为 y2 2px p 0 把点 P 1 2 代入可得 22 2p 1 解得 p 2 抛物线 C 的标准方程为 y2 4x 准线方程为 x 1 II 时直线 l 的方程为 y x b 代入抛物线方程可得 y2 4y 4b 0 16 16b 0 解得 b 1 设 A x1 y1 B x2 y2 y1 y2 4 y1 y2 4b x1 x2 y1 y2 2b x1x2 b2 由题意可得 0 x1 1 x2 1 y1 2 y2 2 x1 x2 x1 x2 1 y1 y2 2 y1 y2 4 0 b2 4 2b 1 4b 8 4 0 即 b2 6b 7 0 解得 b 7 或 b 1 舍去 直线 l 的方程为 x y 7 0 点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质 直线与抛物线相交问题 圆 的性质 一元二次方程的根与系数的关系 数量积运算性质 考查了推理能力 第 16 页 共 18 页 与计算能力 属于难题 20 10 分 已知三棱柱 ABC A1B1C1的底面是边长为 4 的正三角形 侧棱 AA1 垂直于底面 ABC AA1 2 D 为 BC 中点 若 E 为棱 CC1的中点 求证 A1C DE 若点 E 在棱 CC1上 直线 CE 与平面 ADE 所成角为 当 sin 时 求 CE 的长 分析 建立空间直角坐标系 利用向量法能证明 DE A1C 求出平面 ADE 的法向