导数压轴题题型(学生版)

第 1 页 共 29 页 导数压轴题题型导数压轴题题型 引例引例 2016 高考山东理数 本小题满分 13 分 已知 2 21 ln R x f xa xxa x I 讨论 f x的单调性 II 当1a 时 证明 3 2 f xfx 对于任意的 1 2x 成立 第 2 页 共 29 页 1 高考命题回顾高考命题回顾 例 1 已知函数ae2x a 2 ex x f x 1 讨论的单调性 f x 2 若有两个零点 求 a 的取值范围 f x 例 2 21 本小题满分 12 分 已知函数有两个零点 2 21 x f xxea x 第 3 页 共 29 页 I 求 a 的取值范围 II 设 x1 x2是的两个零点 证明 f x 12 2xx 例 3 本小题满分 12 分 已知函数 f x 3 1 ln 4 xaxg xx 第 4 页 共 29 页 当 a 为何值时 x 轴为曲线 的切线 yf x 用 表示 m n 中的最小值 设函数 min m n min 0 h xf x g xx 讨论 h x 零点的个数 例 4 本小题满分 13 分 已知常数0a 函数 2 ln 1 2 x f xax x 讨论 f x在区间 0 上的单调性 若 f x存在两个极值点 12 x x且 12 0 f xf x 求a的取值范围 第 5 页 共 29 页 第 6 页 共 29 页 例例 5 已知函数 f x ex ln x m 1 设 x 0 是 f x 的极值点 求 m 并讨论 f x 的单调性 2 当 m 2 时 证明 f x 0 第 7 页 共 29 页 例例 6 已知函数满足 xf 21 2 1 0 1 xxfefxf x 1 求的解析式及单调区间 xf 2 若 求的最大值 baxxxf 2 2 1 ba 1 第 8 页 共 29 页 例例 7 已知函数 ln 1 axb f x xx 曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程为 230 xy 求a b的值 如果当 0 x 且 1x 时 ln 1 xk f x xx 求k的取值范围 例例 8 已知函数 f x x3 3x2 ax b e x 第 9 页 共 29 页 1 若 a b 3 求 f x 的单调区间 2 若 f x 在 2 单调增加 在 2 单调减少 证明 6 2 在解题中常用的有关结论在解题中常用的有关结论 1 曲线在处的切线的斜率等于 且切线方程为 yf x 0 xx 0 fx 000 yfxxxf x 2 若可导函数在 处取得极值 则 反之 不成立 yf x 0 xx 0 0fx 3 对于可导函数 不等式的解集决定函数的递增 减 区 f x fx 0 0 f x 间 4 函数在区间 I 上递增 减 的充要条件是 恒成立 f xxI fx 0 0 不恒为 0 fx 5 函数 非常量函数 在区间 I 上不单调等价于在区间 I 上有极值 则可 f x f x 等价转化为方程在区间 I 上有实根且为非二重根 若为二次函数 0fx fx 且 I R 则有 0 6 在区间 I 上无极值等价于在区间在上是单调函数 进而得到 f x f x 第 10 页 共 29 页 或在 I 上恒成立 fx 0 fx 0 7 若 恒成立 则 若 恒成立 则xI f x0 min f x0 xI f x0 max f x0 8 若 使得 则 若 使得 0 xI 0 f x0 max f x0 0 xI 0 f x0 则 min f x0 9 设与的定义域的交集为 D 若D 恒成立 则有 f x g xx f xg x min 0f xg x 10 若对 恒成立 则 11 xI 22 xI 12 f xg x minmax f xg x 若对 使得 则 11 xI 22 xI 12 f xg x minmin f xg x 若对 使得 则 11 xI 22 xI 12 f xg x maxmax f xg x 11 已知在区间上的值域为 A 在区间上值域为 B f x 1 I g x 2 I 若对 使得 成立 则 11 xI 22 xI 1 f x 2 g xAB 12 若三次函数 f x 有三个零点 则方程有两个不等实根 且极大值 0fx 12 xx 大于 0 极小值小于 0 13 证题中常用的不等式 ln1 0 xxx ln 1 1 xx x 1 x ex 1 x ex ln1 1 12 xx x x 22 ln11 0 22 x x xx 3 题型归纳题型归纳 导数切线 定义 单调性 极值 最值 的直接应用 构造函数 最值定位 分类讨论 区间划分 极值比较 零点存在性定理应用 构造函数 最值定位 分类讨论 区间划分 极值比较 零点存在性定理应用 二阶导转换 二阶导转换 第 11 页 共 29 页 例例 1 切线 切线 设函数 axxf 2 1 当 1 a 时 求函数 xxfxg 在区间 1 0 上的最小值 2 当 0 a 时 曲线 xfy 在点 111 axxfxP 处的切线为l l与 x轴交 于点 0 2 xA 求证 axx 21 例例2 最值问题 两边分求 最值问题 两边分求 已知函数 1 ln1 a f xxax x a R 当 1 2 a 时 讨论 f x 的单调性 设 2 24 g xxbx 当 1 4 a 时 若对任意 1 0 2 x 存在 2 1 2x 使 第 12 页 共 29 页 12 f xg x 求实数b取值范围 交点与根的分布交点与根的分布 例例 3 切线交点 切线交点 已知函数 32 3 f xaxbxx a bR 在点 1 1f处的切线方程 为20y 求函数 f x的解析式 若对于区间 2 2 上任意两个自变量的值 12 x x都有 12 f xf xc 求实 数c的最小值 第 13 页 共 29 页 若过点 2 2Mmm 可作曲线 yf x 的三条切线 求实数m的取值范 围 例例 4 综合应用 综合应用 已知函数 2 3 32ln 2 xxxf 求 f x 在 0 1 上的极值 若对任意 0 3 ln ln 3 1 6 1 xxfxax不等式 成立 求实数 a 的取 值范围 若关于 x 的方程 bxxf 2 在 0 1 上恰有两个不同的实根 求实数 b 的取 值范围 第 14 页 共 29 页 不等式证明不等式证明 例例 5 变形构造法变形构造法 已知函数 1 x a x a 为正常数 若 ln xxxf 且 a 2 9 求函数 xf 的单调增区间 在 中当 0 a 时 函数 xfy 的图象上任意不同的两点 11 y xA 22 y xB 线段AB的中点为 00 yxC 记直线AB的斜率为k 试证明 0 xfk 若 ln xxxg 且对任意的 2 0 21 xx 21 xx 都有 1 12 12 xx xgxg 求 a 的取值范围 第 15 页 共 29 页 例例 6 高次处理证明不等式 取对数技巧高次处理证明不等式 取对数技巧 已知函数 0 ln 2 aaxxxf 1 若 2 xxf 对任意的 0 x 恒成立 求实数a的取值范围 2 当 1 a 时 设函数 x xf xg 若 1 1 1 2121 xx e xx 求证 4 2121 xxxx 第 16 页 共 29 页 例例 7 绝对值处理 绝对值处理 已知函数的图象经过坐标原点 且在处cbxaxxxf 23 1 x 取得极大值 I 求实数的取值范围 a II 若方程恰好有两个不同的根 求的解析式 9 32 2 a xf xf III 对于 II 中的函数 对任意 求证 xfR 81 sin2 sin2 ff 第 17 页 共 29 页 例例 8 等价变形 等价变形 已知函数 xaxxfln1 a R 讨论函数在定义域内的极值点的个数 xf 若函数在处取得极值 对 恒成立 xf1 xx 0 2 bxxf 求实数的取值范围 b 当且时 试比较的大小 2 0eyx ex x y x y ln1 ln1 与 第 18 页 共 29 页 例例 9 前后问联系法证明不等式 前后问联系法证明不等式 已知 2 17 ln 0 22 f xx g xxmxm 直线 l与函数 f x g x 的图像都相切 且与函数 f x 的图像的切点的横坐标为 1 I 求直线l的方程及 m 的值 II 若 1 h xf xg x 其中g x 是g x 的导函数 求函数 h x 的 最大值 III 当0 ba 时 求证 2 2 ba f abfa a 第 19 页 共 29 页 例例 10 整体把握 贯穿全题整体把握 贯穿全题 已知函数 ln 1 x f x x 1 试判断函数 f x的单调性 2 设0m 求 f x在 2 mm上的最大值 3 试证明 对任意 n N 不等式 11 ln e nn nn 都成立 其中e是自然对数的底数 证明 2 12 111 1 n n aaan 第 20 页 共 29 页 例例 11 数学归纳法 数学归纳法 已知函数 ln 1 f xxmx 当0 x 时 函数 f x取得极大 值 求实数m的值 已知结论 若函数 ln 1 f xxmx 在区间 a b内导数都存在 且 1a 则存在 0 xa b 使得 0 f bf a fx ba 试用这个结论证明 若 12 1xx 函数 12 11 12 f xf x g xxxf x xx 则对任意 12 xx x 都有 f xg x 已知正数 12 n L 满足 12 1 n L 求证 当2n nN 时 对任意大于1 且互不相等的实数 12 n x xxL 都有 1 122 nn fxxx L 1122 nn f xf xf x L 第 21 页 共 29 页 恒成立 存在性问题求恒成立 存在性问题求参数范参数范围围 例例 12 分离变量 分离变量 已知函数 xaxxfln 2 a 为实常数 1 若 2 a 求证 函数 xf 在 1 上是增函数 2 求函数 xf 在 1 e 上的最小值及相应的x值 3 若存在 1 ex 使得 xaxf 2 成立 求实数 a 的取值范围 第 22 页 共 29 页 例例13 先猜后证技巧 先猜后证技巧 已知函数 x xn xf 1 11 求函数f x 的定义域 确定函数f x 在定义域上的单调性 并证明你的结论 若x 0时 1 x k xf 恒成立 求正整数k的最大值 例例 14 创新题型 创新题型 设函数 f x ex sinx g x ax F x f x g x 第 23 页 共 29 页 若 x 0 是 F x 的极值点 求 a 的值 当 a 1 时 设 P x1 f x1 Q x2 g x 2 x1 0 x2 0 且 PQ x 轴 求 P Q 两点间的最短 距离 若 x 0 时 函数 y F x 的图象恒在 y F x 的图象上方 求实数 a 的取值范围 例例 15 图像分析 综合应用图像分析 综合应用 已知函数 1 0 12 2 babaxaxxg 在区间 3 2 上有最大值 4 最小值 1 设 g x f x x 求 ba 的值 不等式 02 2 xx kf 在 1 1 x 上恒成立 求实数k的范围 第 24 页 共 29 页 方程 0 3 12 2 12 x x kf 有三个不同的实数解 求实数k的范 围 导数与数列导数与数列 例例16 创新型问题 创新型问题 设函数 2 x f xxaxb e a bR x a 是 f x 的一个 极大值点 若 0a 求b的取值范围 当a是给定的实常数 设 123 xxx 是 f x 的3个极值点 问是否存在实数b 可找到 4 xR 使得 1234 xxxx 的某种排列 1234 iiii xxxx 其中 1234 iiii 12 3 4 依次成等差数列 若存在 求所有的b及相应的 4 x 若 第 25 页 共 29 页 不存在 说明理由 第 26 页 共 29 页 导数与曲线新题型导数与曲线新题型 例例 17 形数转换 形数转换 已知函数 lnf xx 2 1 2 g xaxbx 0 a 1 若2a 函数 h xf xg x 在其定义域是增函数 求 b 的取值范围 2 在 1 的结论下 设函数 2xx x e be x 0 l n2 求函数 x 的最小值 3 设函数 xf的图象 C1与函数 xg的图象 C2交于点 P Q 过线段 PQ 的中点 R 作 x轴的垂线分别交 C1 C2于点M N 问是否存在点 R 使 C1在M处的切线与 C2 在N处的切线平行 若存在 求出 R 的横坐标 若不存在 请说明理由 第 27 页 共 29 页 例例 18 全综合应用 全综合应用 已知函数 1 ln 02 2 x f xx x 1 是否存在点 M a b 使得函数 yf x 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数 yf x 的图像上 若存在 求出点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 2 定义 21 1 1221 n n i in Sffff nnnn 其中 n N 求 2013 S 3 在 2 的条件下 令12 nn Sa 若不等式2 1 n am n a 对 n N且2n 恒成立 求实数m的取值范围 导数与三角函数综合导数与三角函数综合 例例 19 换元替代 消除三角 换元替代 消除三角 设函数 2 f xx xa x R 其