2013年高考数学 易错点点睛与高考突破 专题01 集合与简易逻辑

1 20132013 年高考数学年高考数学 易错点点睛与高考突破易错点点睛与高考突破 专题专题 0101 集合与简易集合与简易 逻辑逻辑 难点难点 1 1 集合的运算集合的运算 1 设 I 是全集 非空集合 P Q 满足 P Q I 若含 P Q 的一个运算表达式 使运算 结果为空集 则这个运算表达式可以是 如果推广到三个 即 P Q R I 使运 算结果为空集 则这个运算表达式可以是 只要求写出一个表达式 2 设 A x y y2 x 1 0 B x y 4x2 2x 2y 5 0 C x y y kx b 是否存在 k b N 使得 A B C 证明此结论 bkxy xy1 2 2 难点难点 2 2 逻辑在集合中的运用逻辑在集合中的运用 1 已知不等式 x 3 2x 1 23 2 2 xx x 2x2 mx 1 0 若同时满足 的 x 也满足 求 m 的取值范围 若满足 的 x 至少满足 中的一个 求 m 的取值范围 3 难点难点 3 3 集合的工具性集合的工具性 1 已知 an 是等差数列 d 为公差且不为零 a1和 d 均为实数 它的前 n 项和为 Sn 设集合 A an n Sn n N B x y 4 1 x2 y2 1 x y R 试问下列结论是否正确 如果正确 请给予证明 如果不正确 请举例说明 1 若以集合 A 中的元素作为点的坐标 则这些点都在同一条直线上 2 A B 中至多有一个元素 3 当 a1 0 时 一定有 A B 4 2 设 M 是满足下列两个条件的函数 f x 的集合 f x 的定义域是 1 1 若 x1 x2 1 1 则 f x1 f x2 4 x1 x2 试问 1 定义在 1 1 上的函数 g x x2 3x 2005 是否属于集合 M 并说明理由 2 定义在 1 1 上的函数 h x 4sinx 2006 是否属于集合 M 并说明理由 3 向 50 名学生调查对 A B 两事件的态度 有如下结果 赞成 A 的人数是全体的五分之三 其余的不赞成 赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人 其余的不赞成 另外 对 A B 都不赞成的学 生数比对 A B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人 问对 A B 都赞成的学生和都不赞成的 学生各有多少人 解析 画出韦恩图 形象地表示出各数量关系间的联系 答案 赞成 A 的人数为 50 5 3 30 赞成 B 的人数为 30 3 33 如上图 记 50 名学 生组成的集合为 U 赞成事件 A 的学生全体为集合 A 赞成事件 B 的学生全体为集合 B 设对事件 A B 都赞成的学生人数为 x 则对 A B 都不赞成的学生人数为 3 x 1 赞成 A 而不赞成 B 的人数为 30 x 赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33 x 5 依题意 30 x 33 x x 3 x 1 50 解得 x 21 所以对 A B 都赞成的同学有 21 人 都不赞成的有 8 人 难点难点 4 4 真假命题的判断真假命题的判断 1 已知 p q 为命题 命题 p 或 q 为假命题 则 A p 真且 q 真 B p 假且 q 假 C p q 中至少有一真 D p q 中至少有一假 2 已知 p 1 3 1 x 2 q x2 2x 1 m2 0 m 0 若 p 是 q 的必要而不充分条件 求 实数 m 的取值范围 9 1 101 21 m m m m m 9 实数 m 的取值范围是 9 难点难点 5 5 充要条件的应用充要条件的应用 1 设符合命题 p 的所有元素组成集合 A 符合命题 q 的所有元素组成集合 B 已知 q 的充分不必要条件是 p 则集合 A B 的关系是 6 A A B B A B C B A D A B 2 00 若綈p是綈q的必要 1 x 1 3 不充分条件 求实数m的取值范围 7 题后反思 解此类题的关键是利用等价命题进行命题的等价转化 例如 如果p是q的 充分不必要条件 那么綈p是綈q的必要不充分条件 同理 如果p是q的必要不充分条 件 那么綈p是綈q的充分不必要条件 如果p是q的充要条件 那么綈p是綈q的充要 条件 变式 已知集合M Error Error N y y 4x 2x 1 U R R 如图所示 则图中阴影 部分表示的集合是 A B 3 4 1 3 4 1 C D 0 3 4 解析 由 1 0 即 0 解得x 0 或x 1 故函数y 的定义域为 1 x x 1 x 1 1 x 0 1 易错点点睛易错点点睛 8 易错点易错点 1 1 集合的概念与性质集合的概念与性质 1 2013 模拟题精选 设全集 U R 集合 M x x 1 P x x2 1 则下列关系 中正确的是 A M P B P M C M P D CU MP 错误答案 D 错解分析 忽视集合 P 中 x 1 部分 正确解答 C x2 1 x 1 或 x 1 故 M P 2 2013 模拟题精选 设 P Q 为两个非空实数集合 定义集合 P Q a b a P b Q 若 P 0 2 5 Q 1 2 6 则 P Q 中元素的个数是 A 9 B 8 C 7 D 6 3 2013 模拟题精选 设 f n 2n 1 n N P l 2 3 4 5 Q 3 4 5 6 7 记 P n N f n P Q n N f n 则 P CNQ Q CNP 等于 A 0 3 B 1 7 C 3 4 5 D 1 2 6 7 错误答案 D P CNQ 6 7 Q CNP 1 2 故选 D 错解分析 未理解集合P 的意义 正确解答 B P 1 3 5 Q 3 5 7 P CNQ 1 P CNQ 7 故选 B 4 设 A B I 均为非空集合 且满足 A B I 则下列各式中错误的是 A CIA B I B CIA CIB I 9 C A CIB D CIA CIB CIB 特别提醒 1 解答集合问题 首先要正确理解集合有关概念 特别是集合中元素的三要素 对 于用描述法给出的集合 x x P 要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P 要重视发挥图示法的作用 充分运用数形结合 数轴 坐标系 文氏图 或特例法解集合 与集合的包含关系以及集合的运算问题 直观地解决问题 2 注意空集 的特殊性 在解题中 若未能指明集合非空时 要考虑到空集的可能性 如 A B 则有 A 或 A 两种可能 此时应分类讨论 变式探究变式探究 1 全集 U R 集合 M 1 2 3 4 集合 N 12 1 xx 则 M CUN 等于 A 4 B 3 4 C 2 3 4 D 1 2 3 4 答案 B 解析 由 N 12 12 1 xxNxx得CUN 4 3 12 NCMxx U 2 设 M x x4a a R N y y 3x x R 则 A M N B M N C M N D M N 答案 B 解析 M BNyyxxMRaxx a 选 0 0 4 3 已知集合 A 0 2 3 B x x ab a b A 且 a b 则 B 的子集的个数是 A 4 B 8 C 16 D 15 答案 解析 6 0 B 它的子集的个数为 22 4 4 设集合 M x y x y 3 y 1 y 3 2 5 y 3 若 a b M 且对 M 中 10 的其他元素 c d 总有 c a 则 a 解析 依题可知 本题等价于求函数不胜数 x f y y 3 y 1 y 3 在 3 2 5 时的最小值 y 当 4 9 2 5 4 25 2 1 6 3 1 3 1 2 5 min 22 xyyyyyyyxy时所以时 1 y 3 时 x y 3 y 1 y 3 y2 3y y 2 3 2 4 9 4 9 2 5 4 9 4 4 1 4 9 min axyxy即有最小值时因此当而时所以当 易错点易错点 2 2 集合与不等式集合与不等式 1 2013 模拟题精选 集合 A 0 1 1 x x x B x x b a 若 a 1 是 A B 的充分条件 则 b 的取值范围是 A 2 b 2 B 2 b 2 C 3 b 1 D 2 b 2 错误答案 A 当 a l 时 A x 1 x 1 且 B x b 1 x b 1 A B b 1 1 且 b 1 1 故 2 b 2 只有 A 符合 3 2013 模拟题精选 已知 f x 2 2 2 x ax x R 在区间 1 1 上为增函数 1 求实数 a 的值所组成的集合 A 2 设关于 x 的方程 f x x 1 的两根为 x1 x2 试问 是否存在实数 m 使得不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 若存在 求出 m 的取值范围 若不存在 11 请说明理由 12 特别提醒 讨论参数 a 的范围时 对各种情况得出的参数 a 的范围 要分清是 或 还是 且 的关系 是 或 只能求并集 是 且 则求交集 变式探究变式探究 1 设 x 表示不超过 x 的最大整数 则不等式 x 2 5 x 6 0 的解集为 A 2 3 B 2 3 C 2 4 D 2 4 答案 C 解析 由 x 2 5 x 6 0 解得 2 x 3 由 x 的定义知 2 x 4 所选 C 2 已知不等式 x m 1 时 则超过 2 个元素 注 意区间端点 正确解答 由 S a a 1 的元素不超过两个 周期 2 2 1 1 又 有 a 使 S a a 1 含两个元素 2 周期 1 2 故 2 2 2013 模拟题精选 设函数 f x 1x x x R 区间 M a b a b 集合 N y y f x x M 则使 M N 成立的实数对 a b 有 14 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 无数多个 错误答案 1 由 2 1 3 x x 0 得 x 1 或 x 1 A x x0 得 x a 1 x 2a 0 a2a B 2a a 1 15 特别提醒 集合与不等式 集合与函数 集合与方程等 都有紧密联系 因为集合是一种数学工具 在 运用时注意知识的融会贯通 有时要用到分类讨论 数形结合的思想 变式探究变式探究 1 已知集合 A x a2 a x 1 0 x R B x ax2 x 1 0 x R 若 A B 则 a 的 值为 A 0 B 1 C 0 或 1 D 0 或 4 易错点易错点 4 4 简易逻辑简易逻辑 1 2013 模拟题精选 对任意实数 a b c 给出下列命题 16 a b 是 ac bc 的充要条件 a 5 是无理数 是 a 是无理数 的充要条件 a b 是 a2 b2 的充分条件 a 5 是 a0 设 P 函数 y cx在 R 上单调递减 Q 不等式 x x 17 2c 1 的解集为 R 如果 P 和 Q 有且仅有一个正确 求 c 的取值范围 特别提醒 1 在判断一个结论是否正确时 若正面不好判断 可以先假设它不成立 再推出矛盾 这就是正难则反 2 求解范围的题目 要正确使用逻辑连结词 且 对应的是集合的交集 或 对应 的是集合的并集 变式探究变式探究 1 已知条件 P x 1 2 条件 q 5x 6 x2 则 p 是 q 的 A 充要条件 B 充分但不必要条件 C 必要但不充分条件 D 既非充分也非必要条件 答案 解析 p x1 q 2 x 3 则 q 是 p 的充分但不必要条件 故 p 是 q 的 充分但不必要条件 2 已知命题 p 函数 log0 5 x2 2x a 的值域为 R 命题 q 函数 y 5 2a x是减函 数 若 p 或 q 为真命题 p 且 q 为假命题 则实数 a 的取值范围是 A a 1 B a 2 C 1 a 2 D a 1 或 a 2 18 3 已知在 x 的不等式 0 x2 4 6x 13a 的解集中 有且只有两个整数 求实数 a 的取值范 围 易错点易错点 5 5 充要条件充要条件 1 2013 模拟题精选 m 2 1 是 直线 m 2 x 3my 1 0 与直线 m 2 x m 2 y 3 0 相互垂直 的 A 充分必要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 错误答案 A 错解分析 当两直线垂直时 A1A2 B1B2 0 m2 4 3m m 2 0 即 m 2 1 或 m 2 故 不是充分必要条件 正确解答 B 当 m 2 1 时两直线垂直 两直线垂直时 m 2 1 或 m 2 故选 B 2 2013 模拟题精选 设定义域为 R 的函数 f x 1 0 1 1 lg x xx 则关于 x 的方程 f2 x bf x c 0 有 7 个不同实数解的充要条件是 A b0 B b 0 且 c 0 19 C b0 的解集 相同 命题 q 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 则命题 p 是命题 g 的 A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 20 特别提醒 1 要理解 充分条件 必要条件 的概念 当 若 p 则 q 形式的命题为真时 就 记作 p q 称 p 是 q 的充分条件 同时称 q 是 p 的必要条件 因此判断充分条件或必要条件 就归结为判断命题的真假 2 要理解 充要条件 的概念 对于符号 要熟悉它的各种同义词语 等价 于 当且仅当 必须并且只需 反之也真 等 3 数学概念的定义具有相称性 即数学概念的定义都可以看成是充要条件 既是概 念的判断依据 又是概念所具有的性质 4 从集合观点看 若 A B 则 A 是 B 的充分条件 B 是 A 的必要条件 若 A B 则 A B 互为充要条依 5 证明命题条件的充要性时 既要证明原命题成立 即条件的充分性 又要证明它 的逆命题成立 即条件的必要性 变式探究变式探究 1 设 ab 是非零向量 则使 a b a b 成立的一个必要非充分条件是 A a b B a b C a b D a b 0 答案 解析 由 a b a b 可得 a b 但 a b a b a b 故使 a b a b 成立的一个必要充分条件是 a b 故选 21 2 若条件甲 平面 内任一直线平行于平面 条件乙 平面 平面 则条件 甲是条件乙的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 答案 C 解析 甲乙可以互推 选 3 已知函数 f x ax b 0 x0 是 f