《概率论与数理统计(经管类)考试重点

1 一 一 概率论与数理统计 经管类 概率论与数理统计 经管类 考试题型分析 考试题型分析 题型大致包括以下五种题型 各题型及所占分值如下 题号题型题量及分值 第一题单项选择题 共 10 小题 每小题 2 分 共 20 分 第二题填空题 共 15 小题 每小题 2 分 共 30 分 第三题计算题 共 2 小题 每小题 8 分 共 16 分 第四题综合题 共 2 小题 每小题 12 分 共 24 分 第五题应用题 共 1 小题 每小题 10 分 共 10 分 由各题型分值分布我们可以看出 单项选择题 填空题占试卷的单项选择题 填空题占试卷的 50 50 考查的是基本 的知识点 难度不大 考生要把该记忆的概念 性质和公式记到位 计算题和综合题主要计算题和综合题主要 是对前四章基本理论与基本方法的考查是对前四章基本理论与基本方法的考查 要求考生不仅要牢记重要的公式 而且要能够灵 活运用 应用题主要是对第七 八章内容的考查应用题主要是对第七 八章内容的考查 要求考生记住解题程序和公式 结合历 年真题来练习 就会很容易的掌握解题思路 总之 只要抓住考查的重点 记住解题的方法步骤 勤加练习 就能够百分百达到过 关的要求 二 二 概率论与数理统计 经管类 概率论与数理统计 经管类 考试重点考试重点 说明 我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级 即一级重点 二级重点 三 级重点 其中 一级重点为必考点一级重点为必考点 本次考试考查频率高 二级重点为次重点二级重点为次重点 考查频率 较高 三级重点为预测考点三级重点为预测考点 考查频率一般 但有可能考查的知识点 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 1 1 随机事件的关系与计算 随机事件的关系与计算 P3 5 一级重点 选择 填空 事件的包含与相等 和事件 积事件 互不相容 对立事件的概念 AABBAABBABABABA 2 2 古典概型中概率的计算 古典概型中概率的计算 P9 二级重点 选择 填空 计算 记住古典概型事件概率的计算公式 n r AP 3 3 利用概率的性质计算概率利用概率的性质计算概率 P11 12 一级重点 选择 填空 考得多 等 要能 ABPBPAPBAP ABPBPABP 灵活运用 4 4 条件概率的定义条件概率的定义 P14 一级重点 选择 填空 记住条件概率的定义和公式 BP ABP BAP 2 5 5 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 P15 16 二级重点 计算 记住全概率公式和贝叶斯公式 并能够运用它们 一般说来 如果若干因素 也就是事 件 对某个事件的发生产生了影响 求这个事件发生的概率时要用到全概率公式 求的是无 条件概率 BP n i ii ABPAPBP 1 如果这个事件发生了 要去追究原因 即求另一个事件发生的概率时 要用到贝叶斯公 式 求的是条件概率 BAP i BP ABPAP BAP ii i 6 6 事件的独立性 概念与性质 事件的独立性 概念与性质 P18 20 一级重点 选择 填空 定义 若 则称与相互独立 结论 若与相互独立 则 BPAPABP ABAB 与 与 与都相互独立 ABABAB 7 7 n n 重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件 A A 恰好发生恰好发生 k k 次的概率公式次的概率公式 P21 一级重点 选择 填空 在重贝努利试验中 设每次试验中事件的概率为 则事件恰好发nA 10 ppA 生次的概率 knkppCkP knkk nn 2 1 0 1 第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 8 8 离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29 31 一级重点 选择 填空 计算 综合 记住分布律中 所有概率加起来为 1 求概率时 先找到符合条件的随机点 然后把对 应的概率相加 求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值 和每个值对应的概率 9 9 常见几种离散型分布函数及其分布律常见几种离散型分布函数及其分布律 P32 33 一级重点 选择题 填空题 以二项分布和泊松分布为主 记住分布律是关键 本考点基本上每次考试都考本考点基本上每次考试都考 2 1 0 nkCkXPppnBX qp knk k nk 0 2 1 0 k k kXPpPX e k k 10 10 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 P36 37 一级重点 选择 填空 计算题 记住分布函数的定义和性质是关键 要能判别什么样的函数能充当分布函数 xXPxF 3 分布函数的性质 不减 右连续 1 0 xF xF1 0 FF xF 记住利用分布函数计算概率的公式 bFbXP 其中 aFbFbXaP ba 1 bFbXP 11 11 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 P39 一级重点 选择 填空 重点记忆它的性质与相关的计算 如 0 xf 1 dxxf 反之 满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度 badxxfaFbFbXaP b a 设为的连续点 则存在 且 x xf xF xfxF 12 12 均匀分布 指数分布均匀分布 指数分布 P42 二级重点 选择 填空 计算题 记住它们的概率密度 能够根据所给的密度函数识别它们 0 1 其他 bxa ab xfbaUX 0 0 0 x xe xfEX x 13 13 正态分布和一般正态分布的标准化正态分布和一般正态分布的标准化 P44 46 一级重点 选择 填空 记住性质和公式 0 2 1 2 2 2 2 xexfNX x 分布函数 x t dtexF 2 2 2 2 1 2 1 1 0 2 2 xexNX x 4 分布函数 xt dtex 2 2 2 1 标准正态分布函数的性质 x 1 xx 2 1 0 概率的计算 重点重点 设 则 2 NX x xXPxF ab bXaPbXaPbXaPbXaP ab aFbF 1 a aXPaXP 14 14 随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布 P50 54 三级重点 选择 填空 在连续型随机变量函数的概率分布中 要记住用直接变换法 p54 例 2 31 求 非单 调性 随机变量函数的概率密度的方法 第三章第三章 多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布 15 15 二维离散型随机变量联合分布律和边缘分布律二维离散型随机变量联合分布律和边缘分布律 P62 P64 一级重点 选择 填空 计 算题 对于联合分布律 记住所有概率和为 1 求概率时 找到满足条件的随机点 再把对应 的概率相加即可 要记住边缘分布律的求法 通过分布律会判断 X Y 是否相互独立 p74 的分布律 YX 2 1 jipyYxXP ijJi 关于的边缘分布律 关于的边缘分布律 YX X j iji pp YX Y i ijj pp 16 16 二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度 P67 69 一级重点 选择 填空 计算 综合 要记住概率密度的性质 会由分布函数求概率密度 1 0 dxdyyxfyxf 记住公式 已知概率密度会求在平面区域内取值的 2 yxf yx yxF yxf YXD 概率 记住公式 要熟练掌握连续型随机变量的dxdyyxfDYXP D YX 边缘概率密度函数的求法 关于的边缘概率密度 YX X xdyyxfxfX 5 关于的边缘概率密度 YX Y ydxyxfyfY 并能判断 X Y 是否相互独立 考查的重点考查的重点 p75 1717 二维随机变量的独立性 二维随机变量的独立性 P73 一级重点 选择 填空 计算题 考生要记住二维离散型的随机变量和二维连续型的随机变量独立性的判断 其一 离散型 与相互独立的充要条件为 对一切有 XY ji ji yYxXP i xXP j yYP 其二 连续型 设为二维连续型随机变量 其概率密度为 YX yxf 关于与的边缘概率密度分别为和 YXXY xfX yfY 则与相互独立的充要条件为 XY yxf xfX yfY 其三 一个重要结论 设 则与相互独立的充要条件是 2 2 2 121 NYXXY0 18 18 二维均匀分布 二维正态分布二维均匀分布 二维正态分布 P68 P71 三级重点 计算题 综合题 记住这两种分布的概率密度函数 其他 0 1 Dyx S yxfUYX D 2 2 2 2 11 21 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 21 2 2 2 121 12 1 yyxx eyxfNYX 还有以下结论 若二维随机变量服从二维正态分布 则随机 YX 2 2 2 121 NYX 变量与分别服从正态分布 XY 2 22 2 11 NN 19 19 两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布 P80 83 三级重点 填空题 记住结论并能灵活运用 设相互独立 且 YX 2 22 2 11 NYNX 得 YXZ 2 2 2 121 N 推广 个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布 即n 11 22 2211 n i n i iiiinn aaNXaXaXaX 6 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 20 20 随机变量数学期望的概念 性质与计算随机变量数学期望的概念 性质与计算 P86 94 一级重点 选择 填空 计算 首先要十分熟练的掌握数学期望的概念与性质 数学期望的性质在选择填空题中经常数学期望的性质在选择填空题中经常 考到考到 然后要熟悉离散型和连续型随机变量及随机变量函数的数学期望的计算公式 考生 一定要结合历年考试真题认真练习结合历年考试真题认真练习 做到心中有数 离散型随机变量的期望 X i iip xXE 离散型随机变量函数的期望 XgY i ii pxgXgEYE 连续型随机变量的期望 X dxxxfXE 连续型随机变量函数的期望 XgY dxxfxgXgEYE X 二维离散型随机变量的期望 YX i ij j ip xXE i ij j ip yYE 二维连续型随机变量的期望 YX dxdyyxxfXE dxdyyxyfYE 二维离散型随机变量函数的期望 YXg i ijj j i pyxgYXgE 二维连续型随机变量函数的期望 YXg YXgE dxdyyxfyxg 21 21 随机变量的方差的概念 性质及计算随机变量的方差的概念 性质及计算 P96 103 一级重点 选择 填空 计算 熟悉方差的性质和计算公式 一般用 内方减外方 来计算方差 即 22 XEXEXD 在方差的性质中 要注意 常数的方差为零 所以 D X C D X 当 X Y 相互独立时 才有 此时特别的 22 YDbXDabYaXD YDXDYXD 22 22 常见分布的数字特征常见分布的数字特征 P104 一级重点 选择 填空 计算 提醒各位考生 书上书上 104104 页的那张表所包含的内容经常考到页的那张表所包含的内容经常考到 是考试需要重点记忆的 表格之一 不仅要记清各种分布的数学期望与方差各种分布的数学期望与方差 还要记清各自的概率分布与密度函数各自的概率分布与密度函数 表格熟记在心 能够灵活运用期望与方差的性质 基本上就能轻松拿下 10 20 分 23 23 协方差和相关系数协方差和相关系数 P105 109 一级重点 选择 填空 计算 7 YXCov YEXEXYE YDXD YXCov XY 要熟悉协方差的性质与计算公式 性质 其中为任意常 XYCovYXCov YXabCovbYaXCov ba 数 若 是相互独立的随机变量 2121 YXCovYXCovYXXCov XY 则 YXCov0 XDXXCov 计算 YXCov YEXEXYE 2 YXCovYDXDYXD 另外 要掌握相关系数的计算公式 还要知道相关系数的含义 两个随机变量的相关系数是两个随机变量间线性联系密切程度的度量 越接近 XY 1 与之间的线性关系越密切 当时 与存在完全的线性关系 即XY1 XY YX 时 与之间无线性关系 此时称 X Y 不相关 随机变量与baXY 0 XY XYX 不相关的充分必要条件是 Y YXCov0 注意注意 与相互独立 与不相关 XY 0 XY YXCov0 XY 若二维随机变量服从二维正态分布 与的 YX 2 2 2 121 NXY 相关系数 从而与不相关的充要条件是与相互独立 因此 XY XYXY 与不相关和与相互独立都等价于 XYXY0 以上两点在选择题中经常出现以上两点在选择题中经常出现 第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理 24 24 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 P116 二级重点 选择 填空 记住切比雪夫不等式的两种形式 它是用来估算概率的 或 2 XD XEXP 2 1 XD XEXP 25 25 大数定律大数定律 P118 119 二级重点 选择 填空 考生要记住相应的公式和含义 贝努利大数定律1 lim p n m P n 8 切比雪夫大数定律1 1 lim 1 n i i n X n P 26 26 独立同分布序列的中心极限定理独立同分布序列的中心极限定理 P120 121 二级重点 选择 填空 lim 1 xx n nX P n i i n 牢记 是独立同分布随机变量序列 近似服从正态分布 21n XXX n nX n i i 1 当充分大时 独立同分布的随机变量的平均值的分布近似于正态 1 0 Nn n i i X n X 1 1 分布 2 n N 27 27 棣莫弗棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 P122 三级重点 填空题 主要结论 主要结论 在贝努利试验中 若事件发生的概率为 又设为次独立重复试Ap n Zn 验中事件发生的频数 则当充分大时 近似服从正态分布 An n Z npqnpN 第六章第六章 统计量与抽样分布统计量与抽样分布 28 28 样本均值 样本方差样本均值 样本方差 P133 135 一级重点 选择 填空 要清楚样本均值 样本方差 样本标准差的计算公式 样本标准差 n i i x n x 1 1 n i i xx n s 1 22 1 1 2 ss 另外 要牢记结论 设是来自某个总体的样本 为样本均值 n xxx 21 Xx 若总体分布为 则的精确分布为 2 Nx 2 n N 若总体分布未知 或不是正态分布 且 则当样本容量X 2 XDXE 较大时 的渐近分布为 这里的渐近分布是指较大时的近似分n n i i x n x 1 1 2 n N n 布 9 22 2 sE n xDxE 29 29 三大抽样分布三大抽样分布 P137 141 一级重点 选择 填空 记住三大分布的定义记住三大分布的定义 熟悉它们的结构 无需记忆概率密度函数 定义 分布 设 独立同分布于 则 2 1 X 2 X n X 1 0 N 2 22 1 2 nXX n 分布 设与独立 则 F 2 2 2 1 nXmX 1 X 2 X 2 1 nmF nX mX F 分布 设 与独立 则t 1 0 2 21 nXNX 1 X 2 X 2 1 nt nX X t 牢记重要结论 即 1 1 2 2 2 n sn 1 1 2 1 2 2 nxx n i i 注意区分 1 2 1 2 2 nx n i i 等 1 nt s xn t 偏重考查卡方分布的定义式 第七章第七章 参数估计参数估计 30 30 单个正态总体均值和方差的置信区间单个正态总体均值和方差的置信区间 P156 162 一级重点 填空 应用 书上书上 162162 页的表的前页的表的前 3 3 行内容常考行内容常考 记住各种情况下的置信区间 做题时 只要将已 知条件往相应的置信区间中代入求值即可 31 31 参数的矩法估计参数的矩法估计 P145 146 二级重点 填空 计算 用样本均值去估计总体的均值 则从解出的即为 称为的x XE XEx 矩法估计量 用样本二阶中心矩估计总体方差 即 用的少 2 n s XD 2 n sXD 3232 参数的极大似然估计 参数的极大似然估计 P147 148 二级重点 填空 计算 考生要记住极大似然估计的方法与步骤 写出似然函数并化简 n i i xpL 1 10 两边取对数 令 求出的值即为的极大似然估计 0 ln d Ld 33 33 估计量的无偏性估计量的无偏性 P153 一级重点 选择 设是的一个估计 若 则称为的无偏估计 否 21nn xxx E 则称为有偏估计 是的无偏估计 但不是的无偏估计 本知识点经常和数学期 2 s 2 s 望的性质联合来考查 34 34 估计量的有效性和相合性估计量的有效性和相合性 P152 154 一级重点 选择 填空 相合性 若是得一个估计量 若 21nnn xxx lim n n E 0 lim n n D 则称是的相合估计 有效性 设 是的两个无偏估计 21nnn xxx 1 2 若 则称比有效 其中有效性经常考 21 DD 1 2 第八章第八章 假设检验假设检验 35 35 假设检验的两类错误假设检验的两类错误 P169 一级重点 填空 熟记概念 一类错误是 在成立的情况下 样本值落入了拒绝域中 因而被拒绝 称 H H 这种错误为第一类错误 又称为拒真错误 一般记