5-4-4-完全平方数及应用(一).教师版

5 4 4 完全平方数及应用 一 题库 教师版 page 1 of 10 5 4 4 5 4 4 完全平方数及应用 一 完全平方数及应用 一 教学目标教学目标 1 学习完全平方数的性质 2 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3 掌握完全平方数的综合运用 知识点拨知识点拨 一 完全平方数常用性质 1 主要性质 1 完全平方数的尾数只能是 0 1 4 5 6 9 不可能是 2 3 7 8 2 在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数 3 完全平方数的约数个数是奇数 约数的个数为奇数的自然数是完全平方数 4 若质数 p 整除完全平方数 则 p 能被整除 2 aa 2 性质 性质1 完全平方数的末位数字只可能是0 1 4 5 6 9 性质2 完全平方数被3 4 5 8 16除的余数一定是完全平方数 性质3 自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数 因为完全平方数的质因数分解中每个质 因数出现的次数都是偶数次 所以 如果p是质数 n是自然数 N是完全平方数 且 21 n pN 则 2 n pN 性质4 完全平方数的个位是6它的十位是奇数 性质5 如果一个完全平方数的个位是0 则它后面连续的0的个数一定是偶数 如果一个完全平方数的 个位是5 则其十位一定是2 且其百位一定是0 2 6中的一个 性质6 如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间 则它不是完全平方数 3 一些重要的推论 1 任何偶数的平方一定能被 4 整除 任何奇数的平方被 4 或 8 除余 1 即被 4 除余 2 或 3 的数一定 不是完全平方数 2 一个完全平方数被 3 除的余数是 0 或 1 即被 3 除余 2 的数一定不是完全平方数 3 自然数的平方末两位只有 00 01 21 41 61 81 04 24 44 64 84 25 09 29 49 69 89 16 36 56 76 96 4 完全平方数个位数字是奇数 1 5 9 时 其十位上的数字必为偶数 5 完全平方数个位数字是偶数 0 4 时 其十位上的数字必为偶数 6 完全平方数的个位数字为 6 时 其十位数字必为奇数 5 4 4 完全平方数及应用 一 题库 教师版 page 2 of 10 7 凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数 末尾只有奇数个 0 的自然数不 是完全平方数 个位数字为 1 4 9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数 3 重点公式回顾 平方差公式 22 abab ab 例题精讲例题精讲 模块一 完全平方数计算及判断 例例 1 已知 已知 1234567654321 49 是一个完全平方数 求它是谁的平方是一个完全平方数 求它是谁的平方 考点 完全平方数计算及判断 难度 2 星 题型 解答 解析解析解析 我们不易直接求解 但是其数字有明显的规律 于是我们采用递推 找规律 的方法来求解 121 12321 1234321 于是 我们归纳为 1234 n 4321 所以 2 11 2 111 2 1111 2 1111 n个1 1234567654321 11111112 则 1234567654321 49 11111112 72 77777772 所以 题中原式乘 积为 7777777 的平方 答案 7777777 例例 2 是是 的平方 的平方 1234567654321 1234567654321 考点 完全平方数计算及判断 难度 2 星 题型 填空 关键词 祖冲之杯 解析解析解析 2 12345676543211111111 2 12345676543217 原式 22 1111111 7 7777777 答案 7777777 例例 3 已知自然数已知自然数满足 满足 除以除以得到一个完全平方数 则得到一个完全平方数 则的最小值是的最小值是 n12 nn 考点 完全平方数计算及判断 难度 3 星 题型 填空 关键词 学而思杯 6 年级 第 9 题 解析 法 1 先将 分解质因数 由于除以得到一个完全平方数 那12 1052 12 2357 11 12 n 么这个完全平方数是的约数 那么最大可以为 所以最小为12 1042 235 n 1042 12 2353 7 11 231 法 2 除以得到一个完全平方数 的质因数分解式中 的幂次是奇数 所以的12 n12 3711n 最小值是 3 7 11231 答案 231 例例 4 有一个正整数的平方 它的最后三位数字相同但不为有一个正整数的平方 它的最后三位数字相同但不为 0 试求满足上述条件的最小的正整数 试求满足上述条件的最小的正整数 考点 完全平方数计算及判断 难度 3 星 题型 解答 解析解析解析 平方数的末尾只能是 0 1 4 5 6 9 因为 111 444 555 666 999 都不是完全平方数 所 以所求的数最小是 4 位数 考察 1111 1444 可以知道 所以满足条件的最小正144438 38 整数是 1444 答案 1444 例例 5 A 是由是由 2002 个个 4 组成的多位数 即组成的多位数 即 A 是不是某个自然数是不是某个自然数 B 的平方 如果是 写出的平方 如果是 写出 B 20024 4444 个 5 4 4 完全平方数及应用 一 题库 教师版 page 3 of 10 如果不是 请说明理由 如果不是 请说明理由 考点 完全平方数计算及判断 难度 3 星 题型 解答 解析解析解析 略 答案 如果 A 是某个自然数的平方 则也应是某个自然数的平方 2 200242002 444421111A 个个12002 1111 个1 并且是某个奇数的平方 由奇数的平方除以 4 的余数是 1 知 奇数的平方减 1 应是 4 的倍数 而不是的倍数 矛盾 所以 A 不是某个自然数的平方 20022001 1111 111110 个1个1 4 巩固巩固巩固 是由是由 2008 个个 4 组成的多位数 即组成的多位数 即 是不是某个自然数是不是某个自然数的平方 如果是 写出的平方 如果是 写出 A444 2008个4 ABB 如果不是 请说明理由 如果不是 请说明理由 考点 完全平方数计算及判断 难度 3 星 题型 解答 解析解析解析 略 答案 不是 假设是某个自然数的平方 则也应是某个自然数的平方 并且 2 4442111A 2008个1 2008个4 A 111 2008个1 是某个奇数的平方 由奇数的平方除以 4 的余数是 1 知 奇数的平方减 1 应是 4 的倍数 而 不是 4 的倍数 与假设矛盾 所以不是某个自然数的平方 111 11110 2008个12007个1 A 例例 6 计算计算 A A 求 求 A 1111 2004个1 2222 1002个2 考点 完全平方数计算及判断 难度 4 星 题型 解答 解析解析解析 此题的显著特征是式子都含有 从而找出突破口 1111 n个1 1111 2004个1 2222 1002个2 1111 1002个1 0000 1002个0 1111 1002个1 1 1111 1002个1 10000 1002个0 1111 1002个1 9999 1002个9 3 3 1111 1002个1 1111 1002个1 2 A 所以 A 3333 1002个3 答案 3333 1002个3 例例 7 求 求 A 为多少为多少 2 2004420038 444488889A 个个 求是否存在一个完全平方数 它的数字和为求是否存在一个完全平方数 它的数字和为 2005 考点 完全平方数计算及判断 难度 4 星 题型 解答 解析解析解析 本题直接求解有点难度 但是其数字有明显的规律 于是我们采用递推 找规律 的方法来求解 注意到有可以看成 其中 n 2004 2004420038 444488889 个个48 444488889 n个n 1个 寻找规律 当 n 1 时 有 2 497 当 n 2 时 有 2 448967 当 n 3 时 有 2 444889667 5 4 4 完全平方数及应用 一 题库 教师版 page 4 of 10 于是 类推有 2004420038 444488889 个个 2 20036 66667 个 方法二 下面给出严格计算 1 2004420038 444488889 个个4 44440000 2004个2004个02004 8888 个8 则 1 4 8 1 4 44440000 2004个2004个02004 8888 个8 1111 2004个10 10000 2004个 4 1 8 11111 2004个19 9999 2004个 4 12 11111 2004个19 9999 2004个 36 12 1 2 1111 2004个1 1111 2004个1 36 2 6 1 2 1111 2004个1 1111 2004个1 22 666661 66667 2004个62003个6 由 知 于是数字和为 4n 8n 8 9 12n 1 令 12n 1 2005 4 444488889 n个n 1个8 2 66667 n 1个6 解得 n 167 所以 所以存在这样的数 是 4 444488889 167个166个8 2 66667 166个64 444488889 167个166个8 答案 1 2 2 20036 66667 个4 444488889 167个166个8 2 66667 166个6 模块二 平方数特征 1 平方数的尾数特征 例例 8 下面是一个算式 下面是一个算式 这个算式的得这个算式的得1 1 21 231 2341 23451 23456 数能否是某个数的平方 数能否是某个数的平方 考点 平方数特征之平方数的尾数特征 难度 3 星 题型 解答 关键词 华杯赛 解析解析解析 判断一个数是否是某个数的平方 首先要观察它的个位数是多少 平方数的个位数只能是 0 1 4 5 6 9 而 2 3 7 8 不可能是平方数的个位数 这个算式的前二项之和为 3 中 间二项之和的个位数为 0 后面二项中每项都有因子 2 和 5 个位数一定是 0 因此 这个 0 算式 得数的个位数是 3 不可能是某个数的平方 答案 不是 例例 9 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方 各位数字互不相同且各位数字的平方和等于一个数与它自身的乘积称为这个数的平方 各位数字互不相同且各位数字的平方和等于 49 的四位的四位 数共有数共有 个 个 考点 平方数特征之平方数的尾数特征 难度 4 星 题型 填空 关键词 学而思杯 5 年级 第 10 题 解析 全排列共有个 4914925 1 2 3 524 答案 24 例例 10 用用 1 9 这这 9 个数字各一次 组成一个两位完全平方数 一个三位完全平方数 一个四位完全平方个数字各一次 组成一个两位完全平方数 一个三位完全平方数 一个四位完全平方 数 那么 其中的四位完全平方数最小是数 那么 其中的四位完全平方数最小是 考点 平方数特征之平方数的尾数特征 难度 5 星 题型 填空 5 4 4 完全平方数及应用 一 题库 教师版 page 5 of 10 关键词 迎春杯 高年级 复试 11 题 解析解析解析 四位完全平方数 1234 352 1225 所以至少是 362 1296 当四位完全平方数是 1296 时 另两个 平方数的个位只能分别为 4 5 个位为 5 的平方数的十位只能是 2 但数字 2 在 1296 中已经使 用 当四位完全平方数是 372 1369 时 另两个平方数的个位只能分别为 4 5 个位为 5 的平方数 的十位一样只能是 2 还剩下 7 8 而 784 恰好为 282 所以 其中的四位完全平方数最小是 1369 答案 1369 例例 11 称能表示成称能表示成 1 2 3 K 的形式的自然数为三角数 有一个四位数的形式的自然数为三角数 有一个四位数 N 它既是三角数 又是完全 它既是三角数 又是完全 平方数 平方数 N 考点 平方数特征之平方数的尾数特征 难度 5 星 题型 填空 关键词 走美杯 初赛 六年级 第 14 题 解析解析解析 N k 1 k 2 m 2 4 位数的话 2000 k k 1 20000 45 k 140 k 2n n 2n 1 N n 与 2n 1 互质 所以要均为平方数 平方数末尾 149650 满足要求的是 4950 23 n 70 发现没有 k 2n 1 n 2n 1 N 同上 满足要求是 1650 找到 25 所以 k 49 N 1225 m 35 答案 1225 2 奇数个约数 指数是偶数 例例 12 在在 等这些算是中 等这些算是中 224 3 39 4416 5 525 6636 4 9 16 25 36 叫做完全平方数 那么 不超过叫做完全平方数 那么 不超过 2007 的最大的完全平方数是的最大的完全平方数是 考点 平方数特征之奇数个约数 难度 2 星 题型 填空 关键词 希望杯 四年级 复赛 第 4 题 5 分 解析 45 45 2025 44 44 1936 所以最大的是 1936 答案 1936 例例 13 写出从写出从 360 到到 630 的自然数中有奇数个约数的数 的自然数中有奇数个约数的数 考点 平方数特征之奇数个约数 难度 2 星 题型 解答 解析解析解析 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后 将每个质因数的指数 次数 加 1 后所得的乘积 如 1400 严格分解质因数后为 23 52 7 所以它的约数有 3 1 2 1 1 1 4 3 2 24 个 包括 1 和它自 身 如果某个自然数有奇数个约数 那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个 这样它们加 1 后均是奇 数 所得的乘积才能是奇数 而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数 即完全平方数 除 0 外 有 奇数个约数 反过来 有奇数个约数的数一定是完全平方数 由以上分析知 我们所求的为 360 630 之间有多少个完全平方数 18 18 324 19 19 361 25 25 625 26 26 676 所以在 360 630 之间的完全平方数为 192 202 212 222 232 242 252 即 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数为 361 400 441 484 529 576 625 答案 361 400 441 484 529 576 625 例例 14 1016 与正整数与正整数 a 的乘积是一个完全平方数 则的乘积是一个完全平方数 则 a 的最小值是的最小值是 考点 平方数特征之奇数个约数 难度 2 星 题型 填空 5 4 4 完全平方数及应用 一 题库 教师版 page 6 of 10 解析解析解析 先将 1016 分解质因数 由于是一个完全平方数 所以至少为 3 10162127 1016a 42 2127 故 a 最小为 2 127254 答案 254 巩固巩固巩固 已知已知恰是自然数恰是自然数 b 的平方数 的平方数 a 的最小值是的最小值是 3528a 考点 平方数特征之奇数个约数 难度 2 星 题型 填空 解析解析解析 要使是某个自然数的平方 必须使各个不同质因数的个数为偶数 322 3528237 3528a3528a 由于其中质因子 3 和 7 各有 2 个 质因子 2 有 3 个 所以为 2 可以使是完全平方数 故a3528a 至少为 2 a 答案 2 例例 15 从从 1 到到 2008 的所有自然数中 乘以的所有自然数中 乘以 72 后是完全平方数的数共有多少个 后是完全平方数的数共有多少个 考点 平方数特征之奇数个约数 难度 3 星 题型 解答 解析解析解析 完全平方数 其所有质因数必定成对出现 而 所以满足条件的数必为某个完全平方数的 2 倍 32 7223266 由于 所以 都满足题意 即231 3119222008232322048 2 2 1 2 22 2 231 所求的满足条件的数共有 31 个 答案 31 例例 16 已知自然数已知自然数满足 满足 除以除以得到一个完全平方数 则得到一个完全平方数 则的最小值是的最小值是 n12 nn 考点 平方数特征之奇数个约数 难度 3 星 题型 填空 关键词 学而思杯 6 年级 解析解析解析 法 1 先将 分解质因数 由于除以得到一个完全平方数 那12 1052 12 2357 11 12 n 么这个完全平方数是的约数 那么最大可以为 所以最小为12 1042 235 n 1042 12 2353 7 11 231 法 2 除以得到一个完全平方数 的质因数分解式中 的幂次是奇数 所以的12 n12 3711n 最小值是 3 7 11231 答案 231 例例 17 有有 5 个连续自然数 它们的和为一个平方数 中间三数的和为立方数 则这五个数中最小数的最个连续自然数 它们的和为一个平方数 中间三数的和为立方数 则这五个数中最小数的最 小值为小值为 考点 平方数特征之奇数个约数 难度 4 星 题型 填空 解析解析解析 考查平方数和立方数的知识点 同时涉及到数量较少的连续自然数问题 设未知数的时候有技巧 一般是设中间的数 这样前后的数关于中间的数是对称的 设中间数是 x 则它们的和为 中间三数的和为 是平方数 设 则 5x3x5x 22 55xa 2 5xa 是立方数 所以至少含有 3 和 5 的质因数各 2 个 即至少是 225 中间的数 22 3153 5xaa 2 a 2 a 至少是 1125 那么这五个数中最小数的最小值为 1123 答案 1123 例例 18 求一个最小的自然数 它乘以求一个最小的自然数 它乘以 2 后是完全平方数 乘以后是完全平方数 乘以 3 后是完全立方数 乘以后是完全立方数 乘以 5 后是后是 5 次方次方 数 数 考点 平方数特征之奇数个约数 难度 4 星 题型 解答 解析解析解析 为使所求的数最小 这个数不能有除 2 3 5 之外的质因子 设这个数分解质因数之后为 5 4 4 完全平方数及应用 一 题库 教师版 page 7 of 10 由于它乘以 2 以后是完全平方数 即是完全平方数 则 都235 abc 1 235 abc 1 a bc 是 2 的倍数 同理可知 是 3 的倍数 是 5 的倍数 a 1 b cab 1 c 所以 是 3 和 5 的倍数 且除以 2 余 1 是 2 和 5 的倍数 且除以 3 余 2 是 2 和 3 的倍数 abc 且除以 5 余 4 可以求得 的最小值分别为 15 20 24 所以这样的自然数最小为abc 152024 235 答案 152024 235 例例 19 三个连续正整数 中间一个是完全平方数 将这样的三个连续正整数的积称为三个连续正整数 中间一个是完全平方数 将这样的三个连续正整数的积称为 美妙数美妙数 问 所 问 所 有小于有小于 2008 的美妙数的最大公约数是多少 的美妙数的最大公约数是多少 考点 平方数特征之奇数个约数 难度 4 星 题型 解答 关键词 华杯赛 解析解析解析 是一个美妙数 因此美妙数的最大公约数不会大于 60 任何三个连续正整数 必有一60345 个能为 3 整除 所以 任何美妙数必有因子 3 若中间的数是偶数 它又是完全平方数 必定能为 4 整除 若中间的数是奇数 则第一和第三个数是偶数 所以任何美妙数必有因子 4 另外 由于 完全平方数的个位数字只能是 0 1 4 5 6 9 若其个位是 0 和 5 则中间的数能被 5 整除 若 其个位是 1 和 6 则第一个数能被 5 整除 若其个位是 4 和 9 则第三个数能被 5 整除 所以 任 何美妙数必有因子 5 由于 3 4 5 的最小公倍数是 60 所以任何美妙数必有因子 60 故所有美 妙数的最大公约数至少是 60 综合上面分析 所有美妙数的最大公约数既不能大于 60 又至少是 60 所以 只能是 60 答案 60 例例 20 考虑下列考虑下列 32 个数 个数 请你去掉其中的一个数 使得其余各数的乘积为一 请你去掉其中的一个数 使得其余各数的乘积为一1 2 3 32 个完全平方数 划去的那个数是个完全平方数 划去的那个数是 考点 平方数特征之奇数个约数 难度 4 星 题型 填空 解析解析解析 设这 32 个数的乘积为 A 222 1 2 3 32 1 2 3 4 31 32A 2216 1 3 31 2432 1 3 31 216 所以 只要划去这个数 即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数 16 另外 由于 而 16 也是完全平方数 所以划去也满足题意 16 16 15 15 答案 或 答案不唯一16 15 例例 21 一个数的完全平方有一个数的完全平方有 39 个约数 求该数的约数个数是多少 个约数 求该数的约数个数是多少 考点 平方数特征之奇数个约数 难度 4 星 题型 解答 解析解析解析 设该数为 那么它的平方就是 12 12 n aaa n ppp 12 222 12 n aaa n ppp 因此 12 21212139 n aaa 由于 391 393 13 所以 可得 1 213a 2 2113a 1 1a 2 6a 故该数的约数个数为个 1 16114 或者 可得 那么该数的约数个数为个 1 2139a 1 19a 19120 所以这个数的约数个数为 14 个或者 20 个 答案 14 个或者 20 个 5 4 4 完全平方数及应用 一 题库 教师版 page 8 of 10 例例 22 有一个不等于有一个不等于 0 的自然数 它的的自然数 它的是一个立方数 它的是一个立方数 它的是一个平方数 则这个数最小是是一个平方数 则这个数最小是 1 2 1 3 考点 平方数特征之奇数个约数 难度 4 星 题型 填空 关键词 希望杯 六年级 二试 第 9 题 5 分 解析解析解析 设为 为不含质因子 2 3 的整数 则它的是是立方数 所以是 3 的倍数 2 3 abc c 1 2 1 23 a c 1a 是 3 的倍数 另外它的即是一个平方数 所以是偶数 是奇数 符合以上两个条件b 1 3 1 2 3 ab c ab 的的最小值为 4 的最小值为 这个数最小为 432 ab3 答案 432 3 平方数的整除特性 例例 23 三个连续正整数 中间一个是完全平方数 将这样的三个连续正整数的积称为三个连续正整数 中间一个是完全平方数 将这样的三个连续正整数的积称为 美妙数美妙数 问所有 问所有 的小于的小于 2008 的的 美妙数美妙数 的最大公约数是多少 的最大公约数是多少 考点 平方数特征之平方数的整除特性 难度 2 星 题型 填空 关键词 华杯赛 决赛 第 11 题 10 分 解析 任何三个连续正整数 必有一个能为 3 整除 所以 任何 美妙数 必有因子 3 若三个连续正整数中间的数是偶数 它又是完全平方数 必定能为 4 整除 若中间的数是奇数 则第一和第三个数是偶数 所以任何 美妙数 必有因子 4 完全平方数的个位只能是 1 4 5 6 9 和 0 若其个位是 5 和 0 则中间的数必能被 5 整除 若其个位是 1 和 6 则第一个数必能被 5 整除 若其个位是 4 和 9 则第三个数必能被 5 整除 所 以 任何 美妙数 必有因子 5 上述说明 美妙数 都有因子 3 4 和 5 也就有因子 60 即所有的美妙数的最大公约数至少是 60 60 3 4 5 是一个 美妙数 美妙数的最大公约至多是 60 所有的美妙数的最大公约数既不能 大于 60 又至少是 60 只能是 60 答案 60 例例 24 证明 形如证明 形如 11 111 1111 11111 的数中没有完全平方数 的数中没有完全平方数 考点 平方数特征之平方数的整除特性 难度 2 星 题型 解答 解析解析解析 略 答案 由于奇数的平方是奇数 偶数的平方为偶数 而奇数的平方除以 4 余 1 偶数的平方能被 4 整 除 现在这些数都是奇数 它们除以 4 的余数都是 3 所以不可能为完全平方数 例例 25 记记 这里 这里 当 当 k 在在 1 至至 100 之间取正整数值时 有之间取正整数值时 有 个不个不 1 23 43 Snk 3n 同的同的 k 使得 使得 S 是一个正整数的平方 是一个正整数的平方 考点 平方数特征之平方数的整除特性 难度 3 星 题型 填空 关键词 少年数学智力冬令营 解析解析解析 一个平方数除以 4 的余数是 0 或 1 当时 S 除以 4 余 3 所以 S 不是平方数 当时 4n 3n 当 k 在 1 至 100 之间时 S 在 13 至 409 之间 其中只有 8 个平方数是奇数 49Sk 2 5 2 7 其中每 1 个平方数对应 1 个 k 所以答案为 8 2 9 2 11 2 13 2 15 2 17 2 19 答案 8 例例 26 能够找到这样的四个正整数 使得它们中任意两个数的积与能够找到这样的四个正整数 使得它们中任意两个数的积与的和都是完全平方数吗 若能够 的和都是完全平方数吗 若能够 2002 5 4 4 完全平方数及应用 一 题库 教师版 page 9 of 10 请举出一例 若不能够 请说明理由 请举出一例 若不能够 请说明理由 考点 平方数特征之平方数的整除特性 难度 4 星 题型 解答 解析解析解析 略 答案 因为偶数的平方能被 4 整除 奇数的平方被 4 除余 1 因此任一正整数的平方被 4 除余 0 或 1 2 n 假设存在四个正整数 使得 又被 4 除余 1234 nnnn 2 2002 12 3 4 ij n nm ijij 2002 2 故被 4 除余 2 或 3 ij n n 若中有两个偶数 如是偶数 那么是 4 的倍数 被 4 除余 2 1234 nnnn 12 nn 12 n n2002 ij n n 所以不可能是完全平方数 因此中至多只有一个偶数 至少有三个奇数 设为奇数 为偶数 那么 1234 nnnn 123 nnn 4 n 被 4 除余 1 或 3 所以中至少有两个数余数相同 如被 4 除余数相同 123 nnn 123 nnn 12 nn 同为 1 或 3 那么 被 4 除余 1 所以被 4 除余 3 不是完全平方数 12 n n 12 2002n n 综上 不可能全是完全平方数 2002 ij n n 例例 27 的末三位数是多少 的末三位数是多少 1 3 51991 考点 平方数特征之平方数的整除特性 难度 5 星 题型 解答 解析解析解析 首先 仅考虑后三位数字 所求的数目相当于的平方再乘以的1 3 5991 993 995 997999 末三位 而993 995 997999993 999995 997 993000993995000995 39930009939950002985 其末三位为 然后来看前者 它是一