导数在实际生活中的应用

第 1 页 共 5 页 导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用 导数是近代数学的重要基础 是联系初 高等数学的纽带 它的引入为解决中学数 学问题提供了新的视野 是研究函数性质 证明不等式 探求函数的极值最值 求曲线 的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具 导数知识是学习高等数学的基础 它是从生产技术和自然科学的需要中产生的 同 时 又促进了生产技术和自然科学的发展 它不仅在天文 物理 工程领域有着广泛的 应用 而且在工农业生产及实际生活中 也经常会遇到如何才能使 选址最佳 用料 最省 流量最大 效率最高 等优化问题 这类问题在数学上就是最大值 最小值问 题 一般都可以应用导数知识得到解决 接下来就导数在实际生活中的应用略微讨论 1 1 导数与函数的极值 最值解读 导数与函数的极值 最值解读 函数的极值是在局部范围内讨论的问题 是一个局部概念 函数的极值可能不止一 个 也可能没有极值 函数在点处可导 则是是极值点的必要不充分条件 但导 yf x 0 x 0 0F x 0 x 数不存在的点也有可能是极值点 最大值 最小值是函数对整个定义域而言的 是整体范围内讨论的问题 是一个整 体性的概念 函数的最大值 最小值最多各有一个 函数最值在极值点处或区间的断点 处取得 2 2 导数在实际生活中的应用解读 导数在实际生活中的应用解读 生活中的优化问题 根据实际意义建立好目标函数 体会导数在解决实际问题中的 作用 例例 1 1 在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 做成一个无盖的方底箱子 箱底边长为多少时 箱子容积最大 最大容积是多少 思路 设箱底边长为cm 则箱高cm 得箱子容积是箱底边长的函数 x 60 2 x h Vx 从求得的结果发现 箱子的高恰好是原正方形边长的 23 2 60 060 2 xx r xx hx 第 2 页 共 5 页 这个结论是否具有一般性 1 6 变式 从一块边长为的正方形铁皮的各角截去相等的方块 把各边折起来 做一个无a 盖的箱子 箱子的高是这个正方形边长的几分之几时 箱子容积最大 提示 2 2 0 2 a V xx axx 答案 6 a x 评注 这是一道实际生活中的优化问题 建立的目标函数是三次函数 用过去的知识求 其最值往往没有一般方法 即使能求出 也要涉及到较高的技能技巧 而运用导数知识 求三次目标函数的最值就变得非常简单 对于实际生活中的优化问题 如果其目标函数 为高次多项式函数 简单的分式函数 简单的无理函数 简单的指数 对数函数 或它 们的复合函数 均可用导数法求其最值 可见 导数的引入 大大拓展了中学数学知识 在实际优化问题中的应用空间 例例 2 2 已知某商品生产成本与常量 q 的函数关系式为 价格 p 与产量 qC1004Cq 的函数关系式 求产量 q 为何值时 利润 L 最大 1 25 8 pq 分析 利润 L 等于收入 R 减去成本 C 而收入 R 等于产量乘价格 由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式 再用导数求最大利润 第 3 页 共 5 页 解 收入 2 11 2525 88 Rq pqqqq 利润 2 1 251004 8 LRCqqq 2 1 21100 0200 8 qqq 1 21 4 Lq 令 即 求得唯一的极值点 0L 1 210 4 q 84q 因为 L 只有一个极值点 所以它是最大值 答 产量为 84 时 利润 L 最大 点评 上题主要也是考查利用导数研究函数的最值的基础知识 运用数学知识解决利润 问题 在实际生活中应用也很广泛 例例 3 3 烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境 已知落在底面某处的烟尘浓度与该处至 烟囱距离的平方成反比 而与该烟囱喷出的烟尘量成正比 现有两座烟囱相距 20km 其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的 8 倍 试求出两座烟囱连线上的一点 使该点的 烟尘浓度最小 解 不失一般性 设烟囱 A 的烟尘量为 1 则烟囱 B 的烟尘量为 8 并设 AC CB x 020 x 20 x 于是点 C 的烟尘浓度为 22 8 20 kk y xx 020 x 其中为比例系数 k 则 32 3333 2162 96012008000 20 20 kkxxx yk xxxx 第 4 页 共 5 页 令 有 0y 32 960120080000 xxx 即 2 320 3400 0 xx 解得在 0 20 内惟一驻点 20 3 x 由于烟尘浓度的最小值客观上存在 并在 0 20 内取得 在惟一驻点处 浓度最小 即在 AB 间距 A 处km 处的烟尘浓度最小 20 3 x y 20 3 例例 4 4 统计表明 某种型号的汽车的匀速行驶中每小时的耗油量为 升 关于行驶速度y 千米 小时 的函数解析式可以表示为 x 已知甲 乙两地相距 100 千米 3 13 8 12800080 yxx 0120 x 1 当汽车以 40 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 2 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 解 1 当 40 时 汽车从甲地到乙地行驶了小时 x 100 2 5 40 要耗油 升 3 13 40408 2 517 5 12800080 答 当汽车以 40 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油 17 5 升 2 当速度为千米 小时时 汽车从甲地到乙地行驶了小时 设耗油为 x 100 x h x 依题意 328 1280008012804 h xxxx xx 0120 x 33 22 80080 640640 xx h x xx 0120 x 令 得 0h x 80 x 第 5 页 共 5 页 当时 是减函数 0 80 x 0h x h x 当时 是增函数 80 120 x 0h x h x 当时 取到极小值 80 x h x 80 11 25h 因为在上只有一个极值 所以它是最小值 h x 0 120 答 当汽车以 80 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为 11 25 升 点评 以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性的研究 导数座位强有力的工具 提供了简单 程序化的方法 具有普遍的可操作方法 总之 导数座位一种工具 在解决显示生活中的很