清华实验高三文科数学综合卷

2012 年高考模拟 数学 文科 2012 1 命题 清华实验学校 付义强 甘承平 汪东 一 选择题 1 设全集 则 15 UxZx 1 2 5 A 41 xNxB U BC A A B C D 3 0 3 0 4 0 3 4 2 复数 z 满足z 1 2i 4 3i 则 z 等于 A 1 2i B 2 i C 1 2i D 2 i 3 已知 a 1 b 6 a b a 2 则向量 a 与向量 b 的夹角是 A 6 B 4 C 3 D 2 4 以下给出的函数中 以 为周期的偶函数是 A xxy 22 sincos B xytan C xxycossin D 2 cos x y 5 如图是某一几何体的三视图 则这个几何体的侧面积和体积分别是 82 25 6 8 22 85 6 8 42 85 12 16 82 45 12 16 6 给出下列关于互不相同的直线l m n和平面 的三个命 题 若l与m为异面直线 l m 则 若 l m 则l m 若 l m n l 则m n 其中真命题的个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 7 已知 a b 都是实数 那么 ab 是 22 ab 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 8 按如图所求示的程序框图运算 若输入的 x 值为 2 则输出 的 k 值是 A 3B 4 C 5D 6 9 在约束条件下 当3 s 5时 目标函数z 3x 2y的最大值的变化范围是 42 0 0 xy syx y x A 6 15 B 7 15 C 6 8 D 7 8 10 设函数的定义域为 若存在常数使对一切实数均成立 xfR0 MxMxf x 则称函数为函数 现给出下列函数 xfF 2 xxf 1 2 2 xx x xf 是定义在实数集上的奇函数 且对一切 均有 21 x xxf xfR 21 x x 其中是函数的序号为 2121 2 xxxfxf F A B C D 二 填空题二 填空题 11 已知点 O 为ABC 的外心 且2 4 ABAC 则 BCAO 6 12 设为奇函数 若 且 则 g x 3 2f xxg x 1 log 2 0 a fa a 1 a 的值为 1 f6 13 若数列 是等差数列 则有数列也为等 n a Nn 21 Nn n aaa b n n 差数列 类比上述性质 相应地 若数列是等比数列 且 则有 n C 0 NnCn 也是等比数列 n d n n CCC 21 Nn 14 极坐标与参数方程选做题 点 M N 分别是曲线sin22cos 和上的动点 则 MN 的最小值是 15 几何证明选讲选做题 如图所示 圆 O 的直径 AB 10 C 为圆周上一点 BC 5 过 C 作圆的切线 则点 A 到直线 的距离 AD 为 15 2 ll 三 解答题 本大题共解答题 本大题共6小题 满分小题 满分80分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分本小题满分12分分 已知坐标平面上三点 0 2 A 2 0 B sin cos C 1 若 O为坐标原点 求向量与夹角的大小 2 7OAOC OBOC 2 若 求的值 BCAC 2sin A B CD E F 图 5 17 本小题满分本小题满分12分分 如图 5 已知AB 平面ACD DE 平面ACD ACD为等边 三角形 2ADDEAB F为CD的中点 1 求证 AF平面BCE 2 求证 平面BCE 平面CDE 3 若 求四棱锥的体积 1AB CABED 18 本小题满分本小题满分 14 分分 己知 函数 直线l的方程为 a bR 32 11 5 32 f xxaxbx 63190 xy 1 如果 f x在实数集R上是单调函数 求满足的条件 a b 2 设点 是的两个极值点 问 的图象上 1 1 Mf 2 2 Nf f x yf x 是否存在与直线 平行的切线 如果存在 求出直线l平行的切线的方程 如果不l 存在 请说明理由 19 本小题满分本小题满分14分分 过点作曲线的切线 切点为 过作轴的垂线交 0 1 0 P 3 0 C yxx 1 Q 1 Qx 轴于点 又过作曲线 C 的 切点为 过作轴的垂线交轴于点 x 1 P 1 P 2 Q 2 Qxx 2 P 依次下去得到一系列点 设点的横坐标为 123 Q Q Q n Q n a 1 求数列的通项公式 n a 2 求和 1 n i i i a 3 利用不等式 证明 1 1ln1 0 xxx x 1 2 2 n n annN 20 本小题满分本小题满分14分分 某生产旅游纪念品的工厂 拟在年度将进行系列促销活动 经市场调查和测算 2010 该纪念品的年销售量万件与年促销费用 万元之间满足与成反比例 若不搞促xt3x 1t 销活动 纪念品的年销售量只有 万件 已知工厂年生产纪念品的固定投资为万元 120103 每生产 万件纪念品另外需要投资万元 当工厂把每件纪念品的售价定为 年平均每132 件生产成本的 与 年平均每件所占促销费一半 之和时 则当年的产量和销量相150 等 利润 收入 生产成本 促销费用 1 求出与 所满足的关系式 xt 2 请把该工厂年的年利润万元表示成促销费 万元的函数 2010yt 3 试问 当年的促销费投入多少万元时 该工厂的年利润最大 2010 21 本小题满分本小题满分14分分 已知圆 及定点 点是圆上的动点 点在M 222 xmynr 1 0 NPMQ 上 点在上 且满足NP 2NQ GQ NP NPGMP0 1 若 求点的轨迹的方程 1 0 4mnr GC 2 若动圆和 中所求轨迹相交于不同两点 是否存在一组正实数MC A B 使得直线垂直平分线段 若存在 求出这组正实数 若不存在 说明理 m n rMNAB 由 解答题答案 16 本小题满分本小题满分 12 分 分 解 1 sin cos2 OCOA 2 7OAOC 27sin cos2 22 分 4 分 2 1 cos 又 设与的夹角为 则 2 0 B sin cos COBOC 2 3 sin 2 sin2 cos OCOB OCOB 与的夹角为或 7 分OB OC 6 6 5 2 9 分 cos2 sin AC 2sin cos BC 由 可得 11 分ACBC 0AC BC 2 1 sincos 12 4 1 sin cos 2 4 3 cossin2 4 3 2sin 分 17 本小题满分本小题满分 12 分分 解 1 证 取CE的中点G 连FGBG F为CD的中点 GFDE且 1 2 GFDE AB 平面ACD DE 平面ACD ABDE GFAB 又 1 2 ABDE GFAB 四边形GFAB为平行四边形 则 AFBG AF 平面BCE BG 平面BCE AF平面BCE 4 分 2 证明 ACD 为等边三角形 F为CD的中点 AFCD DE 平面ACD AF 平面ACD DEAF 又CDDED 故AF 平面CDE BGAF BG 平面CDE BG 平面BCE 平面BCE 平面CDE 8 分 3 解 过点作于点 9 分CCHAD H 面面 面面 面 10 分ACD BADAD ACD BADCH BAD ACD为等边三角形 11 分1AB 2ADDE 3CH 四棱锥的体积 12CABED 1112 2 33 332 ABED VSCH 分 18 本小题满分本小题满分 14 分分 解 1 1 分 2 fxxaxb 在实数集上具有单调性 在实数集上恒成立 3 分 f x R 0 0fxfx 或R 又的二次项系数等于 考虑到实数集上恒成立 2 fxxaxb 11 0 0fx R 满足的条件为 5 分 2 40 ab a b 2 40 ab 2 都是的极值 和是的 1 f 2 f f x 1x 2x 2 0fxxaxb 两个实数根 8 分 123 1 22 aa bb 2 32fxxx 由直线 的方程为得直线 的斜率等于 与直线 平行的切线的l63190 xy l2 l 斜率等于 2 由没有实数根 22 322340fxxxxx 得 没有实数根 2 2 34 1 470340 xx 的图象上不存在与直线 平行的切线 14 分 yf x l 19 本小题满分本小题满分14分 分 解 1 3 yx 2 3yx 若切点是 则切线方程为 1 分 3 nnn Q a a 32 3 nnn yaaxa 当时 切线过点 即1n 0 1 0 P 依题意 所以 2 分 32 111 03 1 aaa 1 0a 1 3 2 a 当时 切线过点 即 1n 11 0 nn Pa 32 1 03 nnnn aaaa 依题意 所以 3 分0 n a 1 3 1 2 nn aan 所以数列是首项为 公比为的等比数列 所以 4 分 n a 3 2 3 2 3 2 n n a 2 记 因为 121 121 n nn nn S aaaa 1 121 3 nn aa 所以 5 分 231 2121 3 n nn nn S aaaa 两式相减 得 121 1111 3 n nn n S aaaa 21 2222 3333 nn n 8 分 11 22 1 33 222 2 1 2 333 1 3 n nnn nn 9 分 1 1 22 6 13 33 nn n n i i i Sn a 3 证明 令 则 3 1 2 22 x x f xx 11 分 331321 ln10 222232 x fx 故在上为增函数 所以 当时 f x 2 2x 13 分 2 31 2 20 24 f xf 所以当时 2n 0f n 即 故 14 分 3 10 22 n n 1 2 2 n n annN 20 本小题满分本小题满分14分分 解 1 设比例系数为 k 0 k 由题知 有 1 3 t k x 2 分 又 时 10 xt 2 10 13 k k 3 分 0 1 2 3 t t xtx的关系是与 4 分 2 依据题意 可知工厂生产 x 万件纪念品的生产成本为 323 x 万元 促销费用 为 t 万元 则每件纪念品的定价为 x t x x 2 150 323 元 件 6 分 于是 tx x t x x xy 323 2 150 323 进一步化简 得 0 21 32 2 99 t t t y 10 分 因此 工厂 2010 年的年利润 0 21 32 2 99 t t t y万元 3 由 2 知 0 21 32 2 99 t t t y 7 1 32 2 1 42 2 1 1 32 250 2 1 1 32 50 时 等号成立 即当 t t tt t t t 13 分 所以 当 2010 年的促销费用投入 7 万元时 工厂的年利润最大 最大利润为 42 万 元 14 分 21 本小题满分本小题满分14分分 解 1 2 NPNQ 点Q为PN的中点 又0GQ NP GQPN 或 G点与Q点重合 GNPG 2 分 又因为 4 GMGNGMGPPM 点G的轨迹是以 M N为焦点的椭圆 且2 1ac 22 3 bacG 的轨迹方程是 22 1 43 xy 6 分 2 解 不存在这样一组正实数 下面证明 7 分 由题意 若存在这样的一组正实数 当直线MN的斜率存在时 设之为k 故直线MN的方程为 1 yk x 设 1122 A x yB xy AB中点 00 D xy 则 22 11 22 22 1 43 1 43 xy xy 两式相减得 1212121