培优十——速度关联类问题求解

培优十培优十 速度关联类问题求解速度关联类问题求解 1 如图所示 在一光滑水平面上放一个物体 人通过细 绳跨过高处的定滑轮拉物体 使物体在水平面上运动 人以大小不变的速度 v 运动 当绳子与水平方向成 角 时 物体前进的瞬时速度是多大 2 多选 如图所示 一块橡皮用细线悬挂于 O 点 用钉 子靠着线的左侧 沿与水平方向成 30 角的斜面向右以 速度 v 匀速运动 运动中始终保持悬线竖直 下列说法 正确的是 A 橡皮的速度大小为v 2 B 橡皮的速度大小为v 3 C 橡皮的速度与水平方向成 60 角 D 橡皮的速度与水平方向成 45 角 3 如图所示 物体 A 置于水平面上 A 前固定一滑轮 B 高台上有一定滑轮 D 一根轻绳一端固定在 C 点 再绕过 B D BC 段水平 当以速度 v0拉绳子自由端时 A 沿水平面前进 求 当跨过 B 的两段绳子夹角为 时 A 的运动速度 v 4 一根长为 L 的杆 OA O 端用铰链固定 另一端固定 着一个小球 A 靠在一个质量为 M 高为 h 的物块上 如图所示 若物块与地面摩擦不计 试求当物块以速度 v 向右运动时 小球 A 的线速度 vA 此时杆与水平方向夹 角为 5 如图所示 A B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧 并分别置于光滑水平面上 若 A 车以速度 v0向右匀速运 动 当绳与水平面的夹角分别为 和 时 B 车的速度 是多少 6 如图所示 质量为 m 的物体置于光滑的平台上 系 在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮 由地面上的人以恒 定的速度 v0向右匀速拉动 设人从地面上的平台开始向 右行至绳与水平方向夹角为 45 处 在此过程中人对物 体所做的功为多少 7 如图所示 均匀直杆上连着两个小球 A B 不计一 切摩擦 当杆滑到如图位置时 B 球水平速度为 vB 加速 度为 aB 杆与竖直夹角为 求此时 A 球速度和加速度 大小 8 一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为 30 的光滑斜面 上的物体 m1连接 另一端和套在竖直光滑杆上的物体 m2连接 已知定滑轮到杆的距离为m 物体 m2由静3 止从 AB 连线为水平位置开始下滑 1 m 时 m1 m2恰受 力平衡如图所示 已知重力加速度为 g 试求 1 m2在下滑过程中的最大速度 2 m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离 9 如图所示 S 为一点光源 M 为一平面镜 光屏与 平面镜平行放置 SO 是垂直照射在 M 上的光线 已知 SO L 若 M 以角速度 绕 O 点逆时针匀速转动 则转 过 30 角时 光点 S 在屏上移动的瞬时速度 v 为多大 10 一辆车通过一根跨过定滑轮的绳 PQ 提升井中质量 为 m 的物体 如图所示 绳的 P 端拴在车后的挂钩上 Q 端拴在物体上 设绳的总长不变 绳子质量 定滑轮的 质量和尺寸 滑轮上的摩擦都忽略不计 开始时 车在 A 点 左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的 左侧绳绳长为 H 提升时 车加速向左运动 沿水平方向从 A 经 B 驶向 C 设 A 到 B 的距离也为 H 车过 B 点时的速度为 vB 求 在车由 A 移到 B 的过程中 绳 Q 端的拉力对物体做的 功 11 一带正电的小球 系于长为 L 的不可伸长的轻线一 端 线的另一端固定在 O 点 它们处在方向水平向右电 场强度大小为 E 的匀强电场中 已知电场对小球的作用 力大小等于小球的重力 现把小球拉到图中的 P1处 使 线绷直 并与电场方向平行 然后由静止释放小球 已 知小球在经过最低点的瞬间 因受线的拉力作用 速度 的竖直分量突变为零 水平分量没有变化 则小与球到 达 P1等高的 P2点时的速度的大小为多少 12 某人游水过河 他在静水中的速度是河水流速的 1 2 为使他到达对岸的地点与正对岸距离最短 他的游 泳方向是 13 质点绕半径为 R 1m 的圆轨道运动 其速率 v 和时 间 t 满足 v t 的关系 求质点绕圆周运动一周回到出发 点时 它的加速度的大小和方向 14 如图所示 B是质量为mB 半径为R的光滑半球形碗 放在光滑的水平桌面上 A是质为mA的细长直杆 被固 定的光滑套管C约束在竖直方向 A可自由上下运动 碗 和杆的质量关系为 mB 2mA 初始时 A杆被握住 使 其下端正好与碗的半球面的上边缘接触 如图 然后从 静止开始释放A A B便开始运动 设A杆的位置用 表 示 为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方 向和竖直方向之间的夹角 求 A与B速度的大小 表示成 的 函数 难点难点 5 速度关联类问题求解速度关联类问题求解 速度的合成与分解速度的合成与分解 一 分运动与合运动的关系 1 一物体同时参与几个分运动时 各分运动独立进行 各自产生效果 v分 s分 互不干扰 即 独立性 2 合运动与分运动同时开始 进行 同时结束 即 同时性 3 合运动是由各分运动共同产生的总运动效果 合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代 即 等效性 二 处理速度分解的思路 1 选取合适的连结点 该点必须能明显地体现出参与了某个分运动 2 确定该点合速度方向 通常以物体的实际速度为合速度 且速度方向始终不变 3 确定该点合速度 实际速度 的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向 4 作出速度分解的示意图 寻找速度关系 典型的 抽绳 问题 所谓 抽绳 问题 是指同一根绳的两端连着两个物体 其速度各不相同 常常是已知一个物体的速度和有关角度 求 另一个速度 要顺利解决这类题型 需要搞清两个问题 1 分解谁的问题 哪个运动是合运动就分解哪个运动 物体实际经历的运动就是合运动 2 如何分解的问题 由于沿同一绳上的速度分量大小相同 所以可将合速度向沿绳方向作 投影 将合速度分解成一个沿绳方向的速度和 一个垂直于绳方向的速度 再根据已知条件进行相应计算 其实这也可以理解成 根据实际效果将合运动正交分解 的思路 1 如图所示 在一光滑水平面上放一个物体 人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物 体 使物体在水平面上运动 人以大小不变的速度 v 运动 当绳子与水平方向成 角时 物体前进的瞬时速度是多大 解法一 应用微元法 设经过时间 t 物体前进的位移 s1 BC 如图所示 过 C 点作 CD AB 当 t 0 时 BAC 极小 在 ACD 中 可以认为 AC AD 在 t 时间内 人拉绳子的长度为 s2 BD 即为在 t 时间内绳子 收缩的长度 由图可知 BC cos BD 由速度的定义 物体移动的速度为 v物 t BC t s 1 人拉绳子的速度 v t BD t s 2 由 解之 v物 cos v 解法二 应用合运动与分运动的关系 绳子牵引物体的运动中 物体实际在水平面上运动 这个运动就是合运动 所以物体在水平面上运动的速度 v物 是合速度 将 v物按如图所示进行分解 其中 v v物cos 使绳子收缩 v v物sin 使绳子绕定滑轮上的 A 点转动 所以 v物 cos v 解法三 应用能量转化及守恒定律 由题意可知 人对绳子做功等于绳子对物体所做的功 人对绳子的拉力为 F 则对绳子做功的功率为 P1 Fv 绳子对物体的拉力 由定滑轮的特点可知 拉力大小也为 F 则绳子对物体做功的功率为 P2 Fv物cos 因为 P1 P2所以 v物 cos v 2 多选 如图所示 一块橡皮用细线悬挂于 O 点 用钉子靠着线的左侧 沿与水平方向成 30 角 的斜面向右以速度 v 匀速运动 运动中始终保持悬线竖直 下列说法正确的是 A 橡皮的速度大小为v 2 B 橡皮的速度大小为v 3 C 橡皮的速度与水平方向成 60 角 D 橡皮的速度与水平方向成 45 角 解析 钉子沿斜面匀速运动 橡皮具有向上的分速度 v 同时具有沿斜面方向的分速度 v 根据运 动的合成可知 橡皮的速度大小为v 速度与水平方向成 60 角 选项 B C 正确 3 答案 BC 2 如图所示 物体 A 置于水平面上 A 前固定一滑轮 B 高台上有一定滑轮 D 一根轻绳 一端固定在 C 点 再绕过 B D BC 段水平 当以速度 v0拉绳子自由端时 A 沿水平面前 进 求 当跨过 B 的两段绳子夹角为 时 A 的运动速度 v 解法一 应用微元法 设经过时间 t 物体前进的位移 s1 BB 如图所示 过 B 点作 B E BD 当 t 0 时 BDB 极小 在 BDB 中 可以认为 DE B D 在 t 时间内 人拉绳子的长度为 s2 BB BE 即为在 t 时间内绳子 收缩的长度 由图可知 BE cos BB 由速度的定义 物体移动的速度为 v物 物 t BB t s 1 人拉绳子的速度 v0 t BB t BEBB t s cos 1 2 由 解之 v物 物 cos 1 0 v 解法二 应用合运动与分运动的关系 物体动水平的绳也动 在滑轮下侧的水平绳缩短速度和物体速度相同 设为 v物 根据合运动的概念 绳子牵引物体的运动中 物体实际在水平面上运动 这个运动就是合运动 也就是说 物体 的方向 更直接点是滑轮的方向 是合速度方向 与物体连接的 BD 绳上的速度只是一个分速度 所以上侧绳缩短的速度是 v物cosa 因此绳子上总的速度为 v物 v物cos v0 得到 v物 物 cos 1 0 v 解法三 应用能量转化及守恒定律 由题意可知 人对绳子做功等于绳子对物体所做的功 设该时刻人对绳子的拉力为 F 则人对绳子做功的功率为 P1 Fv 绳子对物体的拉力 由定滑轮的特点可知 拉力大小也为 F 则绳子对物体做功的功率为分为 2 部分 BD 绳对 物体做功的功率为 P2 Fv0cos BC 绳对物体做功的功率为 P2 Fv0 由 P1 P2 P2 得到 v物 cos 1 0 v 3 一根长为 L 的杆 OA O 端用铰链固定 另一端固定着一个小球 A 靠在一个 质量为 M 高为 h 的物块上 如图所示 若物块与地面摩擦不计 试求当物块以 速度 v 向右运动时 小球 A 的线速度 vA 此时杆与水平方向夹角为 解题方法与技巧 选取物与棒接触点 B 为连结点 不直接选 A 点 因为 A 点与物块速度的 v 的关系不明显 因 为 B 点在物块上 该点运动方向不变且与物块运动方向一致 故 B 点的合速度 实际速度 也就是物块速度 v B 点又 在棒上 参与沿棒向 A 点滑动的速度 v1和绕 O 点转动的线速度 v2 因此 将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向 分解 由速度矢量分解图得 v2 vsin 设此时 OB 长度为 a 则 a h sin 令棒绕 O 点转动角速度为 则 v2 a vsin2 h 故 A 的线速度 vA L vLsin2 h 4 如图所示 A B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧 并分别置于光滑水平面上 若 A 车以速度 v0向右匀速运动 当绳与水平面的夹角分别为 和 时 B 车的速度是多少 解析 右边的绳子的速度等于 A 车沿着绳子方向的分速度 设绳子速度为 v 将 A 车的速度分解为沿着绳子的方向和垂直于绳子的方向 则 v vAcos 同理 将 B 车的速度分解为沿着绳子方向和垂直于绳子的方向 则 v vBcos 由于定滑轮上绳子的速度都是相同的 得到 AB vv cos cos 5 如图所示 质量为 m 的物体置于光滑的平台上 系在物体上的轻绳跨过 光滑的定滑轮 由地面上的人以恒定的速度 v0向右匀速拉动 设人从地面上 的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为 45 处 在此过程中人对物体所做 的功为多少 解析 已知地面上的人是以恒定速度拉动小球的 则人做的功其实就等于平台上的物体动能的增加量 关键是要求出如图状态下物体的速度 v 根据定滑轮的特性 可以知道物体 m 的速度和绳子的速度是相同的 对小球进行分析 小球水平方向做 v0的匀速运动是合运动 v0是合速度 是沿着绳子方向的速度与垂直于绳子方向 的速度的合 因此 v0cos45 v 得到 0 2 2 vv 2 0 2 0 2 4 1 2 1 2 1 2 1 mvvmmvEW k 6 如图所示 均匀直杆上连着两个小球 A B 不计一切摩擦 当杆滑到如图位置时 B 球 水平速度为 vB 加速度为 aB 杆与竖直夹角为 求此时 A 球速度和加速度大小 解析 分别对小球 A 和 B 的速度进行分解 设杆上的速度为 v 则对 A 球速度分解 分解为沿着杆方向和垂直于杆方向的两个速度 v vAcos 对 B 球进行速度分解 得到 v vBsin 联立得到 vA vBtan 加速度也是同样的思路 得到 aA aBtan 7 一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为 30 的光滑斜面上的物体 m1连接 另一端和套在竖直光滑杆上的物体 m2连 接 已知定滑轮到杆的距离为m 物体 m2由静止从 AB 连线为水平位置开始3 下滑 1 m 时 m1 m2恰受力平衡如图所示 试求 1 m2在下滑过程中的最大速度 2 m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离 解析 1 由图可知 随 m2的下滑 绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的 m2在 C 点受力恰好平衡 因此 m2从 B 到 C 是 加速过程 以后将做减速运动 所以 m2的最大速度即出现在图示位置 对 m1 m2组成的系统来说 在整个运动过程 中只有重力和绳子拉力做功 但绳子拉力做功代数和为零 所以系统机械能守恒 E增 E减 即 m1v12 m22v2 m1g A A sin30 m2g B 2 1 2 1 CBC 又由图示位置 m1 m2受力平衡 应有 Tcos ACB m2g T m1gsin30 又由速度分解知识知 v1 v2cos ACB 代入数值可解得 v2 2 15 m s 2 m2下滑距离最大时 m1 m2速度为零 在整个过程中应用机械能守恒定律 得 E增 E减 即 m1g sin30 m2gHABABH 22 利用 1 中质量关系可求得 m2下滑的最大距离 H m 2 31 m 3 4 3 8 如图所示 S 为一点光源 M 为一平面镜 光屏与平面镜平行放置 SO 是垂直照射在 M 上的光线 已知 SO L 若 M 以角速度 绕 O 点逆时针匀速转动 则转过 30 角时 光点 S 在屏上移动的瞬时速度 v 为多大 解析 由几何光学知识可知 当平面镜绕 O 逆时针转过 30 时 则 SOS 60 OS L cos60 选取光点 S 为连结点 因为光点 S 在屏上 该点运动方向不变 故该点实际速度 合速度 就 是在光屏上移动速度 v 光点 S 又在反射光线 OS 上 它参与沿光线 OS 的运动 速度 v1和绕 O 点转动 线速度 v2 因此将这个合速度沿光线 OS 及垂直于光线 OS 的两个方向分解 由速 度矢量分解图可得 v1 vsin60 v2 vcos60 又由圆周运动知识可得 当线 OS 绕 O 转动角速度为 2 则 v2 2 L cos60 vcos60 2 L cos60 v 8 L 9 一辆车通过一根跨过定滑轮的绳 PQ 提升井中质量为 m 的物体 如图 5 12 所示 绳的 P 端拴在车后的挂钩上 Q 端拴在物体上 设绳的总长不变 绳子质量 定滑轮的质量和尺寸 滑轮上的摩擦都忽略不计 开始时 车在 A 点 左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的 左侧 绳绳长为 H 提升时 车加速向左运动 沿水平方向从 A 经 B 驶向 C 设 A 到 B 的距离也为 H 车过 B 点时的速度为 vB 求在车由 A 移到 B 的过程中 绳 Q 端的拉力对物体做的 功 解析 以物体为研究对象 开始时其动能 Ek1 0 随着车的加速运动 重物上升 同时速度也不断增加 当车子运动到 B 点时 重物获得一定的上升速度 vQ 这个速度也就是收绳的速度 它等于车速沿绳子方向的一个分量 如图 即 vQ vB1 vBcos45 vB 2 2 于是重物的动能增为 Ek2 mvQ2 mvB2 2 1 4 1 在这个提升过程中 重物受到绳的拉力 T 重力 mg 物体上升的高度和重力做的功分别为 h H H 1 H22 WG mgh mg 1 H2 于是由动能定理得 WT WG Ek Ek2 Ek1 即 WT mg 1 H mvB2 02 4 1 所以绳子拉力对物体做功 WT mvB2 mg 1 H 4 1 2 10 一带正电的小球 系于长为 L 的不可伸长的轻线一端 线的另一端固定在 O 点 它们处在方向水平向右电场强 度大小为 E 的匀强电场中 已知电场对小球的作用力大小等于小球的重力 现把小球拉到图中的 P1处 使线绷直 并与电场方向平行 然后由静止释放小球 已知小球在经过最低点的瞬间 因受线的拉力作用 速度的竖直分量突变 为零 水平分量没有变化 则小与球到达 P1等高的 P2点时的速度的大小为多少 解析 已知 qE mg 则小球从释放到经过最低点的过程中 做速度为零的匀加速直线运动 根据动能定理 0 2 1 2 Q mvqELmgL gLvQ2 又已知小球在经过最低点的瞬间 因受线的拉力作用 速度的竖直分量突变为零 将小球过最低点时的速度沿竖直向下与水平向右分解 则突变后的速度为 gLvQ2 再列动能定理 2 2 t 2 1 2 1 Q mvmvqELmgL 得到gLvt2 12 某人游水过河 他在静水中的速度是河水流速的 1 2 为使他到达对岸的地点与正对岸距离最短 他的游泳方向 是 解析 因为人的速度小于水的速度 那么合速度就不可能垂直于河岸了 设 v合与河岸夹角为 那么过河的位移 s v合t t v vsin 整理下得到 s d sin 则要得到 s 最短 必须 最大 同样 以 v人为半径 v水的端点为圆心画圆 只有当 v人垂直于 v合的时候 最大 sin v人 v水