高中数学：2.2《直线、平面平行的判定及其性质》单元测试（新人教A版必修2）河北地区专用

用心 爱心 专心 2 2 直线 平面平行的判定及其性质直线 平面平行的判定及其性质 测试测试 第 1 题 已知a m b 且m 求证 ab 答案 证明 m mmaab amb 同理 第 2 题 已知 b a a 则a与b的位置关系是 ab ab a b相交但不垂直 a b异面 答案 第 3 题 如图 已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点 E F分别是PA BD上的点且PE EABF FD 求证 EF 平面PBC b a m P E A C B D F 用心 爱心 专心 答案 证明 连结AF并延长交BC于M 连结PM ADBC BFMF FDFA 又由已知 PEBF EAFD PEMF EAFA 由平面几何知识可得EF PM 又EFPBC PM 平面PBC EF 平面PBC 第 4 题 如图 长方体 1111 ABCDABC D 中 11 E F是平面 11 AC上的线段 求证 11 E F 平 面AC 答案 证明 如图 分别在AB和CD上截取 11 AEAE 11 DFD F 连接 1 EE 1 FF EF 长方体 1 AC的各个面为矩形 11 AE 平行且等于AE 11 D F平行且等于DF 故四边形 11 AEE A 11 DFFD为平行四边形 1 EE 平行且等于 1 AA 1 FF平行且等于 1 DD 1 AA 平行且等于 1 DD 1 EE 平行且等于 1 FF 四边形 11 EFFE为平行四边形 11 E FEF EF 平面ABCD 11 E F 平面ABCD 11 E F 平面ABCD A B C D 1 A 1 D 1 B 1 C 1 F 1 E A B C D 1 A 1 D 1 B 1 C 1 F 1 E E F 用心 爱心 专心 第 5 题 如图 在正方形ABCD中 ABD的圆心是A 半径为AB BD是正方形ABCD的 对角线 正方形以AB所在直线为轴旋转一周 则图中 三部分旋转所得几何体的 体积之比为 答案 1 1 1 第 6 题 如图 正方形ABCD的边长为13 平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都 是13 M N分别是PA DB上的点 且5 8PM MABN ND 求证 直线MN 平面PBC 求线段MN的长 答案 证明 连接AN并延长交BC于E 连接PE A BC D A B C E N D M P 用心 爱心 专心 则由ADBC 得 BNNE NDAN BNPM NDMA NEPM ANMA MNPE 又PE 平面PBC MN 平面PBC MN 平面PBC 解 由13PBBCPC 得60PBC 由 5 8 BEBN ADND 知 565 13 88 BE 由余弦定理可得 91 8 PE 8 7 13 MNPE 第 7 题 如图 已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点 M为PB的中点 求证 PD 平面MAC 答案 证明 连接AC BD交点为O 连接MO 则MO为BDP 的中位线 PDMO PD 平面MAC MO 平面MAC PD 平面MAC C D A B M P C D A B M P O 用心 爱心 专心 第 8 题 如图 在正方体 1111 ABCDABC D 中 E F分别是棱BC 11 C D的中点 求证 EF 平面 11 BB D D 答案 证明 如图 取 11 D B的中点O 连接OF OB OF 平行且等于 11 1 2 BC BE平行且等于 11 1 2 BC OF 平行且等于BE 则OFEB为平行四边形 EF BO EF 平面 11 BB D D BO 平面 11 BB D D EF 平面 11 BB D D 1 A 1 B 1 D 1 C F EA B C D 1 A 1 B 1 D 1 C F EA B C D O 用心 爱心 专心 第 9 题 如图 在正方体 1111 ABCDABC D 中 试作出过AC且与直线 1 D B平行的截面 并 说明理由 答案 解 如图 连接DB交AC于点O 取 1 D D的中点M 连接MA MC 则截面 MAC即为所求作的截面 MO 为 1 D DB 的中位线 1 D BMO 1 D B 平面MAC MO 平面MAC 1 D B 平面MAC 则截面MAC为过AC且与直线 1 D B平行的截面 1 A 1 D 1 B 1 C A B C D 1 A 1 D 1 B 1 C A B C D O M 用心 爱心 专心 第 10 题 设a b是异面直线 a 平面 则过b与 平行的平面 不存在 有 1 个 可能不存在也可能有 1 个 有 2 个以上 答案 第 11 题 如图 在正方体 1111 ABCDABC D 中 求证 平面 1 ABD 平面 11 CD B 答案 证明 11 11 11 B BA A B BD D A AD D 四边形 11 BB D D是平行四边形 11 1 111 D BDB DBABD D BABD 平面 平面 111 11 1111 D BABD BCABD D BBCB 平面 同理平面 111 BCDABD平面平面 第 12 题 如图 M N P分别为空间四边形ABCD的边AB BC CD上的点 且 AM MBCN NBCP PD 求证 AC 平面MNP BD 平面MNP 1 D 1 A 1 C 1 B A B D C 用心 爱心 专心 平面MNP与平面ACD的交线AC 答案 证明 AMCN MNAC MBNB ACMNPACMNP MNMNP 平面 平面 平面 CNCP PNBD NBPD BDMNPBDMNP PNMNP 平面 平面 平面 MNPACDPE ACACDPEAC ACMNP 设平面平面 平面 平面 MNPACDAC即平面与平面的交线 第 13 题 如图 线段AB CD所在直线是异面直 线 E F G H分别是线段AC CB BD DA的中点 求证 EFGH共面且AB 面EFGH CD 面EFGH 设P Q分别是AB和CD上任意一点 求证 PQ被平面EFGH平分 A M B N C P E D A E H C F B G D M P Q N 用心 爱心 专心 答案 证明 E F G H分别是AC CB BD DA的中点 EHCD FGCD EHFG 因此 E F G H共面 CDEH CD 平面EFGH EH 平面EFGH CD 平面EFGH 同理AB 平面EFGH 设PQ 平面EFGH N 连接PC 设PCEFM PCQ 所在平面 平面EFGH MN CQ 平面EFGH CQ 平面PCQ CQMN EF 是ABC 是的中位线 M 是PC的中点 则N是PQ的中点 即PQ被平面EFGH平分 第 14 题 过平面 外的直线l 作一组平面与 相交 如果所得的交线为a b c 则这些交线的位置关系为 都平行 都相交且一定交于同一点 都相交但不一定交于同一点 都平行或都交于同一点 答案 第 15 题 a b是两条异面直线 A是不在a b上的点 则下列结论成立的是 过A且平行于a和b的平面可能不存在 过A有且只有一个平面平行于a和b 过A至少有一个平面平行于a和b 过A有无数个平面平行于a和b 答案 第 16 题 若空间四边形ABCD的两条对角线AC BD的长分别是 8 12 过AB的中点 E且平行于BD AC的截面四边形的周长为 答案 20 用心 爱心 专心 第 17 题 在空间四边形ABCD中 E F G H分别为AB BC CD DA上的一 点 且EFGH为菱形 若AC 平面EFGH BD 平面EFGH ACm BDn 则AEBE 答案 m n 第 18 题 如图 空间四边形ABCD的对棱AD BC成60 的角 且ADBCa 平行 于AD与BC的截面分别交AB AC CD BD于E F G H 求证 四边形EGFH为平行四边形 E在AB的何处时截面EGFH的面积最大 最大面积是多少 答案 证明 BC 平面EFGH BC 平面ABC 平面ABC 平面EFGHEF BCEF 同理BCGH EFGH 同理EHFG 四边形EGFH为平行四边形 解 AD与BC成60 角 60HGF 或120 设 AE ABx EFAE x BCAB BCa EFax 由1 EHBE x ADAB 得 1 EHax sin60 EFGH SEFEH 四边形 3 1 2 axax A E B H F D G C 用心 爱心 专心 22 3 2 axx 22 311 224 ax 当 1 2 x 时 2 3 8 Sa 最大值 即当E为AB的中点时 截面的面积最大 最大面积为 2 3 8 a 第 19 题 P为ABC 所在平面外一点 平面 平面ABC 交线段PA PB PC于 ABC 2 3PAAA 则 ABCABC SS 答案 4 25 第 20 题 如图 在四棱锥PABCD 中 ABCD是平行四边形 M N分别是AB PC的中点 求证 MN 平面PAD 答案 证明 如图 取CD的中点E 连接NE ME M N分别是AB PC的中点 NEPD MEAD 可证明NE 平面PAD ME 平面PAD 又NEMEE 平面MNE 平面PAD 又MN 平面MNE MN 平面PAD A P D M N B C 用心 爱心 专心 第 21 题 已知平面 平面 AB CD是夹在两平行平面间的两条线段 A C在 内 B C在 内 点E F分别在AB CD上 且AE EBCF FDm n 求证 EF 平面 答案 证明 分AB CD是异面 共面两种情况讨论 当AB CD共面时 如图 a ACBD 连接E F AE EBCF FD EFACBD 且EF AC EF 平面 A P D M N B C E AC E F B D 图 a AC E F B D 图 b H G 用心 爱心 专心 当AB CD异面时 如图 b 过点A作AHCD 交 于点H 在H上取点G 使AG GHm n 连接EF 由 证明可得GFHD 又 AG GHAE EB 得EGBH 平面EFG 平面 平面 又EF 面EFG EF 平面 第 22 题 已知a m b 且m 求证 ab 答案 证明 m mmaab amb 同理 第 23 题 三棱锥ABCD 中 ABCDa 截面MNPQ与AB CD都平行 则截面 MNPQ的周长是 4a 2a 3 2 a 周长与截面的位置有关 b a m 用心 爱心 专心 答案 第 24 题 已知 b a a 则a与b的位置关系是 ab ab a b相交但不垂直 a b异面 答案 第 25 题 如图 已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点 E F分别是PA BD上的点且 PE EABF FD 求证 EF 平面PBC 答案 证明 连结AF并延长交BC于M 连结PM ADBC BFMF FDFA 又由已知 PEBF EAFD PEMF EAFA 由平面几何知识可得EF PM 又EFPBC PM 平面PBC EF 平面PBC 第 26 题 如图 长方体 1111 ABCDABC D 中 11 E F是平面 11 AC上的线段 求证 11 E F 平面ABCD P E A C B D F A B C D 1 A 1 D 1 B 1 C 1 F 1 E 用心 爱心 专心 答案 证明 如图 分别在AB和CD上截得 11 AEAE 11 DFD F 连接 1 EE 1 FF EF 长方体 1 AC的各个面为矩形 1 EE 平行且等于 1 AA 1 FF平行且等于 1 DD 1 AA 平行且等于 1 DD 1 EE 平行且等于 1 FF 四边形 11 EFFE为平行四边形 11 E FEF EF 平面ABCD 11 E F 平面ABCD 11 E F 平面ABCD 第 27 题 已知正方体 1111 ABCDABC D 求证 平面 11 AB D 平面 1 C BD A B C D 1 A 1 D 1 B 1 C 1 F 1 E E F A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D 用心 爱心 专心 答案 证明 因为 1111 ABCDABC D 为正方体 所以 1111 DCAB 1111 DCAB 又 11 ABAB 11 ABAB 所以 11 DCAB 11 DCAB 所以 11 DC BA为平行四边形 所以 11 D AC B 由直线与平面平行的判定定理得 1 D A 平面 1 C BD 同理 11 D B 平面 1 C BD 又 1111 D AD BD 所以 平面 11 AB D 平面 1 C BD 第 28 题 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面 求证 另一条也平行于这个 平面 如图 已知直线a b平面 且ab a a b都在 外