近世代数第7讲

第第 7 讲讲 5 变换群 Transformation group 本讲的教学目的和要求本讲的教学目的和要求 在本讲中我们将进一步熟悉另一种重要 理论意义的群 变换群 变换群的重要特点在于 一方面可以 说它是一种非常具体的群 它的元素都具有明确的具体的意义 从而使得元素之间的运算方法也有相当明确的具体的意义 另 一方面 这种非常具体的群具有普遍的意义 它代表了一切可 能的群 这一点是靠凯莱定理来完成的 因此 要求 1 理解什么是变换群 变换群的理论意义 2 凯莱定理的内容以及定理的证明过程 本讲的重点和难点 本讲的重点和难点 研究一种代数体系就是要解决这种代数体 系的下面三个问题 存在问题 数量问题以及结构问题 如果 这些问题都得到完满的解答就算达到了目的 关于数量问题 指的是彼此不同构的代数体系的数量 因为同构的代数体系抽 象地看可以认为是相同的代数体系 凯莱定理告诉我们 如果将所有变换群都研究清楚了 也 就等于把所有群都研究清楚了 无论是否如此简单 但至少从 理论上知道凯莱定理的重要性 故此 本讲中自然以凯来定理 为重点 而其难点是有下列二个方面 1 通过教材中定理 2 5 1 定理 2 5 2 的论述对变换以及 有关性质有一个清醒的认识 2 撑握凯来定理 定理 5 3 的证明手法 注意 注意 本讲的教材在对映射的表示形式上有所改变 将改成 也就是说 过去我们的记法 xxx xxx 将变为 于是要当心 用 x x xxxx 教材的话是说 当是映射时 用 当是BA a AA 变换时 使用 a 5 变换群 Transformation group 一 变换群的概念和基本性质一 变换群的概念和基本性质 1 集合的变换和表示形式A 定义 2 5 1 设是一个非空集合 映射称为A AA A 的一个变换 在表示形式方面 若 现将改写为 这样 aa aa aa 一改 在变换的合成方面 尤其要注意 如果都是的变换 21 A 那么也显然是的变换 并且这时要注意 应该是 21 21 aa 而过去是写成 在合成的表示 1212 aaa 2121 aa 形式上 要习惯这种改变 例 1 设 现取出的几个变换 AA 即 1 1 1 22 11 11 22 即 22 21 2 22 21 22 即 3 1 2 21 33 12 21 即 12 21 44 12 11 4 可以看出 是的全部变换 其中 和是双射 并且 4321 A 1 3 是恒等变换 习惯上记 或 1 1 11 1A A id 2 集合 集合的变换的运算的变换的运算A 利用例 例 可以计算一下它们的合成 乘积 32 1 即 1 3 23 222 12 212 这表明 322 同理知 利用 是恒等变换 则 442 1 11iii 这是因为 4 3 2 1 i 并且又有 11 11 1 1 1 1 2 2 2 iii iii ii 11 11 1 1 1 1 2 2 2 iii iii ii 一般的 一般的 设是一个非空集合 而 是的恒等映射 A A 那么 对的任一个变换 都有 A 二 二 变换群的概念变换群的概念 设是一个非空集合 而的一些变换能否形成一个群呢 AA 就以例例 1 1 做比方 令 为的全部变换组成的集合 324 S A 对于映射通常的乘积 能成为群吗 S 事实上 就没有逆元 因为有逆元有逆映射是 4 4 4 4 双射 而不是单射 故没有逆元 不能成为群 同理可知 4 4 S 也没有逆元 和没有逆元等价于和不是双射 因此 2 4 2 4 2 我们有 定理定理 2 5 12 5 1 设是的一些变换作成的集合 并且GAG 若能成为群 那么只能包含到的双射 GGAA 证明 证明 任取 验证 是满射又是单射 首先 因为 G G 是中的单位元 是满射 G 于是 aA 1 GG 1 aA 这说明是 的原象 所以 是满射 11 aaaa 1 aa 是单射 设 如果 那么 Aba ba 11 ab ab ab 所以 是单射 由上证明知 是个双射 证明证明 2 2 任取 是个双射有逆映射有逆元 G 我们称到到A A的双射为的双射为的一一变换的一一变换 AA 定义定义 2 5 22 5 2 一个集合的若干个一一变换一一变换做成的群叫A 做的一个变换群变换群 A 定理定理 2 5 32 5 3 如果 是集合的一个变换群 则的单位GAG 元必是恒等变换 证明证明 设 是的单位元 欲证 事实上 是的单位元 eGe eG G ee 由于是满射 对于而言 必存在使 所以 aAb ab e ee abbba e aae 即 定义定义 2 5 22 5 2 只告诉我们什么是变换群 但对于集合来A 说 的变换群是否一定存在呢 下面的定理将解答这A 个问题 定理定理 2 5 42 5 4 非空集合的全部一一变换构成的一个变AA 换群 证明证明 设 须证满足群的第 2 定义 AG G 1 因为都是双射 所以也是双射 即 21 G 21 21 这说明映射的合成是上的代数运算 G 21 G 2 因为映射的合成满足结合律 所以中的运算也满足结合G 律 3 因为恒等变换就是的单位元 GG 4 是双射 必有逆映射使 故逆映 G 1 11 射就是 在群中的逆元 1 G 由 1 4 是一个变换群 G 注 由于包含的全部一一变换 所以习惯上称为GAG 的完全变换群完全变换群 并且记为 AEA 例如在例 1 中 取出的全部一一变换 那么就是A 14 G G 的完全变换群 即 A 14 E A 注意注意 集合的完全变换群是的所有变换群中 最大 AA 的 也就是说千万不认为 一谈到的变换群 就只想到A 的完全变换群 事实上还有许多非完全变换群的其他变换群 A 例例 2 2 假如是一个平面的所有点构成的集合 A 平面的绕一个点的旋转可以看成的一个一一变换 A 令 G 是所有绕一个定点的旋转变换的集合 则 G 构成一 个变换群 这是因为 令表示旋转 角的变换 则 1 G 对映射合成闭 1212 2 结合律成立 3 有单位元 0 4 1 下面将讨论本讲的重点内容下面将讨论本讲的重点内容 凯莱定理凯莱定理 定理定理 2 5 42 5 4 凯莱定理 任一个群都能同某个变换群同构 证明 首先我们构造一个一一变换集合 G 设 是任意一个群 利用 我们规定 cbaG Gx x 的一个变换 其中 这种变换GGG x Gggxg x 是一个一一变换 事实上 那么 是满射 1 gGygx 1 若 令 yxyxgxg x 1 x 2 且是单射 12 y yG 212121 ggxgxggg xx x 综合上述知 我们得到由中元素确定的的一一变换集合GG cba G 其次 证明与同构 规定 现须证GG GG Gxx x 是同构映射 是满射 则 是的原象是满射 G x x x x x 是单射 Gyx xy xy Gg y x gg gxgy 消去律 yx 是单射 保持运算 由于 我们有 Gg yx y x yxy gggxygxxygg 这说明 保持运算 于是知 yxxy yxxy GG 而是群必是群 G G 例 3 设 现考虑的一种变换群 其中RA RGRba 令 将的所有这样的0 a ba f RR a b fxaxb R 变换组成一个集合 0 aRbafG ba 每一个这样的变换都是一一变换 就而言 ba f 取Ry 1 1 ybbybyabaxxf Ryx a b aba a b a 是 的原象 是满射 xy ba f 设 如果 Ryx yxbaybaxyfxf baba 是单射 ba f 由上可知 中每个都是一一变换 G ba f 下面须证满足群的第 2 定义 G 1 封闭性 我们有 RxGff dcba xf badacxbdcxadcxfxff badac badcba 由于 00 0 acca 对映射的合成是封闭的 GGf badac 2 结合律 凡是映射的合成都满足结合律 故中的元素G 也满足结合律 3 单位元 显然是的恒等变换 由定义 2 知 Gf 0 1 R 必是的单位元 0 1 fG 4 逆元 那么 故 Gf ba 00 1 a a 并且 Gf a b a 1 baba ffff a b a a b a 1 1