数学期望的计算方法及其应用

1 数学期望的计算方法及其应用数学期望的计算方法及其应用 摘要摘要 在概率论中 数学期望是随机变量一个重要的数字特征 它比较集中的反映了随机 变量的某个侧面的平均性 而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的 因此 对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义 本论文着重总结了 随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方 法 如利用数学期望的定义和性质 利用不同分布的数学期望公式等等 并通过一些具体 的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用 以达到计算最简化的目的 本文还通过 介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧 并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方 法 利用一些特殊求和与积分公式 利用数学期望定义的不同形式 利用随机变量分布的 对称性 重期望公式以及特征函数等 并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧 已达到学习该内容的目的 关键词关键词 离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT 第一节第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用离散型随机变量数学期望的计算方法及应用 1 1利用数学期望的定义 即定义法利用数学期望的定义 即定义法 1 1 定义 设离散型随机变量 分布列为 X 1 x 2 x n x P 1 p 2 p n p 则随机变量 的数学期望 E X 1 i n i i xpx 注意注意 这里要求级数绝对收敛 若级数不收敛 则随机变量 的 1 i n i i xpx 1 i n i i xpx 2 数学期望不存在 2 例例 1 某推销人与工厂约定 永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金 10 元 若不 按期则扣 2 元 若货物有损则扣 5 元 若既不按期又有损坏则扣 16 元 推销人按他的经验 认为 一箱货物按期无损的的运到目的地有 60 把握 不按期到达占 20 货物有损占 10 不按期又有损的占 10 试问推销人在用船运送货物时 每箱期望得到多少 解解 设 表示该推销人用船运送货物时每箱可得钱数 则按题意 的分布为 X 8 5 610 P0 6 0 2 0 1 1 0 按数学期望定义 该推销人每箱期望可得 10 0 6 8 0 2 5 0 1 6 0 1 7 5 元 XE 1 2公式法公式法 对于实际问题中的随机变量 假如我能够判定它服从某重点性分布特征 如二项分布 泊松分布 超几何分布等 则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变 量的期望 1 二点分布 则X pp1 01 pXE 2 二项分布 则 pnBX10 pnpXE 3 几何分布 则有 pGX p XE 1 4 泊松分布 有 PX XE 5 超几何分布 有 MNnhX N M nXE 例例2 2 一个实验竞赛考试方式为 参赛者从6道题中一次性随机抽取3道题 按要求独立完成 题目 竞赛规定 至少正确完成其中2题者方可通过 已知6道备选题中参赛者甲有4题能正确 完成 2题不能完成 参赛者乙每题能正确完成的概率都是 且每题正确完成与否互不影响 2 3 分别求出甲 乙两参赛者正确完成题数的数学期望 解解 设参赛者甲正确完成的题数为 则服从超几何分布 其中XX 6 4 3NMn 2 6 4 3 N M nXE 设参赛者乙正确完成的题数为 则Y 3 2 3 BY2 3 2 3 npYE 1 3 性质法性质法 利用数学期望的性质求期望 主要性质有 3 ccE XaEaXE bXaEbaXE 其中为随机变量 为常数 Xcba 例例 3 某工程队完成某项工程的时间 单位 月 是一个随机变量 它的分布列为X X 10111213 P 4 03 02 01 0 1 试求该工程队完成此项任务的平均月数 2 社该工程队所获利润为 单位为万元 试求工程队的平均利润 13 50XY 解解 1 根据题意 我们可求平均月数为 月111 0132 0123 0114 010 XE 2 由 1 知 则可得11 XE 13 50 XEYE 100 1150650 50650 50650 XE XE 1 5利用逐项微分法利用逐项微分法 这种方法是对于概率分布中含有参数的随机变量而言的 我们可以通过逐项求微分的 方法求解出随机变量的数学期望 关键步骤是对分布列的性质两边关于参数进行1 1 i i p 求导 从而解出数学期望 例例 5 设随机变量 求 pGX XE 解解 因为 故 其中 pGX 1 1 k ppkXP10 p 2 1 k 则 1 1 1 1 1 k k pp 对 1 式两边关于求导得 p 0 1 1 1 1 2 1 k k k pkpp 4 01 1 1 1 1 1 1 1 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 k k k k k k k k k k k k pp p pkp p pp p pppkpp 根据数学期望的定义知 且知 1 1 1 k k pkpXE1 1 1 1 k k pp 因此上式可以写成 0 1 1 1 11 P XE pp 从而解得 p XE 1 1 6 利用条件数学期望公式法利用条件数学期望公式法 条件分布的数学期望称为条件数学期望 它主要应用于二维随机变量 在 YX 为二维离散随机变量场合下 其计算公式为 YX i ii yYxXPxyYXEXE 或 j jj xXyYPyxXYEYE 例例 6 设二维离散随机变量的联合分布列为 YX Y X0123 0 1 2 3 4 5 00 010 010 01 0 010 020 030 02 0 030 040 050 04 0 050 050 050 06 0 070 060 050 06 0 090 080 060 05 试求和 2 YXE 0 XYE 解解 要求 首先得求 2 YXE 2 YXP 5 25 1 06 0 05 0 05 0 05 0 03 0 01 0 01 0 20 YXP 同理可得 25 3 21 YXP 25 5 22 YXP 25 5 23 YXP 25 5 24 YXP 25 6 25 YXP 25 78 25 6 5 25 5 4 25 5 3 25 5 2 25 3 022 5 0 i ii YxXPxYXE 用同样的方法 我们可得 20 XYE 1 7 利用重期望公式法利用重期望公式法 重期望是在条件期望的基础之下产生的 是的函数 对的不同取值 yYXE yy 条件期望的取值也在变化 因此我们可以把看作一个随机变量 重期 yYXE YXE 望的公式是 此公式的前提是存在 如果是一个离散随机变量 YXEEXE XEY 则重期望公式可改写成为 j jj yYPyYXEXE 例例 7 口袋中有编码为的个球 从中任取一球 若取到 1 号球 则得 1 分 n 3 2 1 n 且停止摸球 若取得 号球 则得 分 且将此球放回 重新摸球 如此下去 试i 2 ii 求得到的平均总分数 解解 记为得到的总分数 为第一次取到的球的号码 则XY n nYPYPYP 1 21 又因为 而当时 所以 11 YXE2 i XEiiYXE XEnn n iYPiYXEXE n i 121 1 1 由此解得 2 1 nn XE 第二节第二节 连续型随机变量数学期望的计算方法及应用连续型随机变量数学期望的计算方法及应用 连续型随机变量的数学期望的定义和含义完全类似于离散随机变量的 只要在离散随 机变量的数学期望定义中用密度函数代替分布列 用积分是代替和式 即得 xp i xp 到连续场合下数学期望的定义 2 1 定义法定义法 4 设连续随机变量有密度函数 如果积分X xp 6 有限 收敛 dxxpx 则称 为的数学期望 dxxpxXE X 若 无限 不收敛 则说的数学期望不存在 dxxpx X 例例 8 设随机变量服从均匀分布 求它的数学期望 X 解解 由于 则它的密度函数为 baUX 0 1 abxp 其他 bxa 则根据定义它的数学期望为 b a dx ab xdxxpxXE 1 2 22 1 222 ba ab abx ab b a 可见 均匀分布的数学期望位于区间的中点 即均匀分布具有对称性 下一节中我们 ba 将介绍利用分布图像的对称性来求数学期望 例例 9 密度函数为 的分布称为柯西分布 2 1 1 x xp x 其数学期望不存在 这是因为积分 无限 dx x x 2 1 1 2 2 特殊积分法特殊积分法 连续型随机变量的数学期望为 在计算连续型随机变量的X dxxpxXE X 数学期望时 常常会用到一些特殊的求积分的性质和方法 如基函数在对称区间的积分值 为 0 还有第一换元积分等 都会给我们的计算带来简便 例例 10 设随机变量 证明 2 NX XE 证证 在的积分表达始终做变换 XE dzdxdxdzxz 即 1 可得 dxxeXE x 2 2 2 2 1 7 dzedzze dzez zz z 22 2 22 2 2 1 2 1 由于上式右端第一个积分的被积函数为奇函数 鼓起积分为 0 第二个积分恰为 故 2 得 XE 2 3 利用特征函数利用特征函数 特征函数的定义 设是一个随机变量 称 为X itX eEt t 的特征函数 设连续随机变量有密度函数 则的特征函数为XX xpX dxxpet itx t 根据上式 我们可以求出随机变量分布的特征函数 然后利用特征函数的性质 求出数学期望 即 k k k i XE 0 i XE 0 例例 11 设随机变量 求 2 NX XE 解解 因为随机变量 则的特征函数为 2 NXX 2 exp 22t tit 其一阶导数为 22 22 2 expti t tit 则 i 0 由特征函数的性质得 i i i XE 0 注注 此题关键是球正态分布的特征函数 我们可以先求出标准正态分布的特征函数 在利 用特征函数的性质求出正态分布的特征函数 2 4 逐项微分法 这种方法同样适用于密度函数中含有参数的连续型随机变量分布 也是对 xp 两边对参数求导数来解出数学期望 1 dxxp 例例 12 设随机变量服从指数分布即 求 ExpX XE 8 解解 因为 则的密度函数 ExpX X 0 0 0 x xe xp x 则由 得 1 dxxp dxxpxXE 1 0 dxe x dxexXE x 对两边关于参数求导得1 0 dxe x 0 0 1 0 0 00 0 XEe dxxedxe dxexe x xx xx 从而解得 1 XE 2 5 条件数学期望公式条件数学期望公式 在连续型随机变量场合下 条件数学期望同样适用 其计算公式为 dxyxxpyYXE 例例 13 设二维随机变量的联合密度函数为 YX 其他 0 1 0 yxyx yxp 试在 yYXEy 时 求10 解 由题意知 y xx yy dxxx yy dxyxxpyYXEy yy x yp yxp yxp yyyydxxxp y y Y y Y 1 32 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 10 2 1 2 1 1 1212124 32 2 1 2 2 1 2 2 1 时 当 9 3 12 16 1122 326 1 2 1 2 1 1 2 32 2 y y yy yy yy 2 62 6 利用重期望公式利用重期望公式 在是一个连续随机变量时 重期望公式可改写成为Y YXEEXE dyypyYXEXE Y 例例 14 设电力公司每月可以供应某工厂的电力服从上的均匀分布 X kW 4 1030 10单位 而该工厂每月实际需要的电力服从上的均匀分布 如果工厂能从Y kW 4 1020 10单位 电力公司得到足够的电力 则每电可以创造 30 万元的利润 若工厂得不到足够的kW 4 10 电力 则不足部分由工厂通过其他途径解决 由其他途径得到的电力每获利 10 万kW 4 10 元 失球该厂每个月的平均利润 解解 从题意知 每月供应电力 而工厂实际需要电力 若 30 10 UX 20 10 UY 设工厂每月的利润为万元 则按题意可得Z XYXYX XYY Z 当 当 1030 30 在给定时 仅是的函数 于是当时 的条件期望为xX ZY2010 x Z 2 222 20 x10 20 10 4050 20220 2 1 100 2 3 10 1 2010 10 1 30 201030 xx xxxx dyxydyy dyypxydyyypxXZE x x Y x Y 当时 的条件期望为3020 xZ 450 10 1 3030 20 10 20 10 dyydyyypxXZE Y 然后用的分布对条件期望再作一次平均 即得X xXZE 10 433225 6 700 30025 450 20 1 4050 20 1 30 20 20 10 2 30 20 20 10 dxdxxx dxxpxXZEdxxpxXZExXZEZE XX 所以该厂每月的平均利润为 433 万元 第三节第三节 随机变量数学期望的计算技巧随机变量数学期望的计算技巧 3 13 1 利用数学期望的性质 化整为零利用数学期望的性质 化整为零 当一个随机变量的分布列较为复杂时 若直接求它的数学期望会很困难 我们可以通 过将它转化成比较常见的简单的随机变量之和来解决 主要是利用数学期望的性质 来时问题简单化 n i i n i i XEXE 11 例例 15 设一袋中装有只颜色各不相同的球 每次从中任取一只 有放回地摸取次 以mn 表示在次摸球中摸到球的不同颜色的数目 求Xn XE 解解 直接写出的分布列较为困难 其原因在于 若第 种颜色的球被取到过 则此种Xi 颜色的球又可被取到过一次 二次次 情况较多 而其对立事件 第 种颜色的球n i 没被取到过 的概率容易写出为 n m iP 1 1一次也被摸到过种颜色的球在次摸球中第 为此令 ni i i Xi 2 1 0 1 一次也没被摸到 种颜色的球在次摸球中第 至少被摸到一次 种颜色的球在次摸球中第 这些相当于是计数器 分别记录下第 种颜色的球是否被取到过 而是取到过的不同 i XiX 颜色总数 所以 由可得 m i i XX 1 1 10 n i m XP n iii m XPXPXE 1 11011 所以 n i m mXmEXE 1 11 例例 16 设 求 5 pnBX XE 解解 由题意知 10 1 pppCkXP kn kk n 11 方法一方法一 根据数学期望的定义有 1 1 1 1 1 1 0 1 1 11 1 1 0 kinp ppnp ppCnp ppCk ppCkXE n i n n k kn kk n n k kn kk n n k kn kk n 方法二方法二 令表示贝努力试验中的出现的次数 则相互独立而且同分布 均服从 i X pp 1 0 1 npXEXE XXpXE n i i n i ii 1 1 而 3 2 利用二重积分的极坐标变换求解利用二重积分的极坐标变换求解 这种方法只是用于二维连续型随机变量数学期望的求解 例例 17 设随机变量相互独立 且均服从分布 求的数学期望 YX 1 0N 22 YXZ 解解 由题意知的密度函数为 22 YXZ yx yx ezp 22 1 22 可得 2 1 2 2222 22 dxdyeyxYXE yx 令 则可得 sin cos ry rx 2 2 2 1 2 2 0 2 1 2 0 22 0 2 0 2 0 2 2 22 22 dre dreer drredrrder r rr rr 上式 3 3 巧用特殊求和公式巧用特殊求和公式 12 例例18 对一批产品进行检验 如果检查到第件仍未发现不合格品就认为这批产品合格 n 如在尚未超过第件时已检查到不合格品即停止继续检查 且认为这批产品为不合格 设产n 品数量很大 可以认为每次检查查到不合格品的概率都是 问平均每批要检查多少件 p 解解 设表示每批所需检验的产品数 那的分布列是XX p p p q nq q qqqnq p nq q qq p nqqpnqpkqXE qqpqnXP pqnkpqkXP n n n nn n n n n k kn n k k nnn k 111 1 11 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 其中 注注 这里主要用到的求和公式是 q q n k k 1 1 1 3 43 4 利用分布图象的对称性利用分布图象的对称性 6 6 当分布列或密度函数具有对