二次根式的加减法（1）、（2）

第 11 课 二次根式的加减法 1 一 目的要求 1 使学生知道什么是同类二次根式 会辨别两个根式是否同类 二次根式 2 使学生通过辨别同类二次根式 培养从特殊中找出一般 从个 性中找出共性的对立统一观点 二 内容分析 1 从科学思想方法上来说 分类和归类正好是对立统一的 相辅 相成的种互逆的研究过程 在学习教学时 既要重视分类 也要重视 归类 两者缺一不可 例如 对于 项 这一研究对象 在我们分析了它 的特点后 把 整式 这一概念按照项的多少进行了分类 即分为单项 式和多项式 反过来 又把 单项式 这一概念按照项中除系数外其余 部分完全相同这一性质进行了归类 即归为同类项 对于 方程 这一 研究对象 在我们分析了它垢特点后 把它分为有理方程 无理方程 超越方程等 反过来 又把形式上完全不同的方程 2x 2 等01 x 归为同解方程 分类越细 我们对整体的结构就越清晰 归类越明确 我们对整体中部分的认识就越深入 例如 经过归类 我们知道同类 项可以相加减 同解 是一种等价关系 因而具有自反性 对称性和 传递性等等 2 在二次根式的四则运算中 加法与减法要在同类二次根式的 概念引入后进行 而同类二次根式的概念是以最简二次根式的概念为 基础的 这就是说 学习最简二次根式与同类二次根式 是学习二次 根式的加减运算的必要准备 由此可见 先学二次根式的乘除 后学 二次根式的加减 这是有原因的 3 同类二次根式的概念中 最关键的是 被开方数相同 这六个 字 根据这六个字 5353与 525 3 1 与 等等 都不是同类二次根式 这是因为在中 有两具被开方数 53 而在中 只有一个被开方数 同理 在中的个数也不同 53525 3 1 与 另外 化成最简二次根式以后 这十字也是很重要的 由上所述 由上 所述 我们可以体会到上一课中我们强调把二次根式化成最简二次根 式时 应该注意分母有理化的道理 如果不强调这一点 那么在 aaa 2 3 1 2 3 1 a a aaa2 3 3 2 3 53 2 3 1 这两个运算式子中 就不知道该以哪一个式子为标准解答了 在本章 中 我们认定的被开方数不同 它们不能合并 所以不要法语aa与3 学生类似第一个式子那样来进行运算 三 教学过程 复习提问 1 什么叫做最简二次根式 它必须满足哪几个条件 把学生 回答的条件写在黑板上 其中应该包括分母中不含根号这一条 2 把下列各式化成最简二次根式 1 2 5 4 110 4 4 8 2 3 4 22 2 1 2 1 3 11 22 ba ba a 让四名学生上黑板做 其余学生分四组在下面选做 待上黑板 的学生做完后 教师即可讲评 3 已知 a 2 b 8 c 5 求代数式的值 a acb 2 4 2 新课讲解 1 请同学们看下面两个例子 1 计算 有哪些方法 2332 一种是根据 进行近似计算 求出原式的近似值 414 1 2 另一种是先设 根据分配律进行计算 即2 a 原式 255 32 32 aaaa 2 计算 有哪些方法 188 一种是查表求出的近似值 再算出原式的近似值 18 8 另一种是同前几节课一样 先把进行化简 当然化成最简18 8 二次根式为好 得 原式 252322232 23 其中最后一步变开是根据例子 1 的结果 2 上面两个例子表明 遇到两个二次根式加时 我们希望利用分 配律 这里利用分配律的实质是要法语这两个二次根式的被开方数相 同 这种类似的情况我们过去也遇到过 将两个单项式相加 如果想 利用分配律的话 那就应当要法语这两个单项式除了系数以外 其余 部分完全相同 这就启发我们 类似在整式的加减中依靠 同类项 那 样 能不能在二次根式的加减中 也依靠一种 同类二次根式 呢 答 案是肯定的 因为前面学过的知识已为你们作好了准备 3 请同学们看教科书第 3 2 行 几个二次根式化成最简二次根 式以后 如果被开方数相同 这几个二次根式就叫做同类二次根式 在这一定义中 最关键的词是 最简二次根式 和 被开方数相同 就 是说 同类二次根式必面满足以下两个条件 1 它们都是最简二次根式 2 它们的被开方数必须完全相同 根据这一定义 都不是同类二次根式 aa2 3 1 5353与与 这是因为前者 后者的被开方数不同 而且的分母中还含有根a 3 1 号 不符合我们对最简二次根式的要求 而等 就是同类24 18 8 二次根式 4 请同学们看教科书第 190 页上的例 1 可出示预先抄好例 1 题 目的小黑板 从这个例题可以看出 判断两个二次根式是否同类二次根式 必 须先把它们化成最简二次根式 再看它们的被开方数是否完全相同 课堂练习 教产书第 192 页上练习的第 1 题 课堂小结 在这节课时里 我们学习了什么是同类二次根式 我们知道它们 必须符合两个条件 一是都化成最简二次根式的形式 二是被开方数 完全相同 同类二次根式 与 同类项 一样 将在加减运算中起关键作 用 从许多二次根式中找出同类二次根式 这种思想方法就是归类的 思想方法 与分类的思想一样 它们都是我们学习各门科学 包括数 学这样的工具学科 的重要思想方法 四 课外作业 教科书习题 11 5A 组的第 1 题 对于题目中的二次根式 可提示学生 这个式子 1 pm npmn 的被开方数的分母可以分解因式 应该先分解因式 然后再将整个二 次根式化成最简二次根式 第 12 课 二次根式的加减法 2 一 目的要求 1 使学生会通过合并同类二次根式 进行二次根式舞蹈法与减 法运算 2 使学生通过二次根式的的加减 进一步了解归类的思想方法 二 内容分析 1 在上节课里 学生学习了同类二次根式的概念 这一概念是继 续学习二次根式的加法与减法运算的基础 不是同类二次根式的二次 根式 例如 3 313 4 2 与 虽然可以 通分 但却不能合并 从而也不能相加减 由此可见 同类 的意义 2 学习了二次根式的加减后 要与二次根式的乘除相比较 可向 学生指出 169169 9 16 9 16 16 9 16 9 但 169169 916916 由此又可看到乘除与加减的不同 只有通过找出同类二次根式的途径 才能进行二次根式的加法与减法运算 从理论上来说 两个二次根式的积与商仍是一个二次根式 包括 有理式 但两个二次根式如果不是同类二次根式 那么它们的和与差 就无法合并成一个二次根式 这一点不必对学生讲 三 教学过程 复习提问 1 什么叫做同类二次根式 它有哪两个必要条件 把下列必 要条件写在黑板上 1 它们都是最简二次根式 2 它们的被开方数必须完全相同 2 下列二次根式中 哪些是同类二次根式 1 2 3 33 a 1 77 4 5 6 2 a 98 5 a 23b a 请两名学生在上黑板做 其他学生在下面做 做完后讲评 3 x 取什么值时 最简二次根式是同类二次根式 13123 xx与 要求学生回答 这两个二次根式已经是最简二次根式了 要使它 们是同类二次根式 还必须满足 被开方数完全相同 这一条件 由此 得到方程 2x 1 3x 1 解这个方程 得 x 2 所以 当 x 2 时 最简二次根式是同类二次根式 13123 xx与 这时 513 53123 xx 新课讲解 1 请同学们看教科书第 190 页的最后一段文字 它告诉我们 就 像整式的加减可以通过合并同类项来进行那样 二是根式的加减则可 以通过合并同类二次根式来进行 这就是二次根式的加法与减法运算 的实质 2 再看教科书第 191 页上的例 2 除了使用 原式 一词外 在后 面进行恒等变形时 可将运算步骤写得稍为详细一些 也可以模仿教 科书上写的解的过程 利用黑板的右侧当草稿纸来进行演示 结果得 到这个结果也可以写成 但不要写成 以免误解 9 3140 3 9 140 3 9 5 15 成 15 这三个数相乘 9 5 3 3 再看教科书第 191 页上的例 3 这道题是被开方数中含有字母 的二次根式相加减的例子 把三个二次根式化成最简二次根式后 它 们的被开方数都是 x 所以是同类二次根式 4 最后看教科书第 191 页上的例 4 这道题先要去括号 去括号 法则与以前学过的一样 去括号后要确认是同类2 4 1 4 2 2 2 1 2 2 与 二次根式 是同类二次根式 前面的正号或负号可以353 3 2 3 32 与 不予考虑 所以可以利用分配律将它们分别合并 最后得到结果 时 要指出由于不是同类二次根式 所以 3 313 4 2 32与 也不是同类二次根式 就是例 4 的最后结果了 3 313 4 2 与 3 313 4 2 也可以写成 但不能写成 3 3 13 2 4 1 13 3 1 42 43 1 课堂练习 教科书第 192 页上练习第 2 题的第 1 3 5 7 小题和第 3 题 的第 1 3 5 小题 课堂小结 3 这节课我们学习了二次根式的加法与减法运算 通过运算我们 知道 二次根式相加减的实质就是合并同类二次根式 这正如整式相 加减的实质就是合并同类项一样