高考数学 第九节 幂函数教材

1 第九节第九节 幂函数幂函数 教 材 面 面 观 1 一般地 函数 叫做幂函数 其中 x 是自变量 是常数 注意 幂函数中底数是自变量 幂指数是常数 这与指数函数是不同的 指数函数中底数 是常数 幂指数是自变量 答案 y x 2 5 个最简单的幂函数的图象与性质 函数y xy x2y x3 y x 1 2 y 1 x 定义域 值域 奇偶性 单调性 图象 过定点 答案 函数y xy x2y x3 y x 1 2 y 1 x 定义域RRR x x 0 x x 0 值域R y y 0 R y y 0 y y 0 奇偶性奇函数 偶函数奇函数 非奇非偶函 数 奇函数 单调性在 R 上递增 在 0 上递减 在 0 上 递增 在 R 上递增在 0 在 0 和 0 上递减 图象 过定点 1 1 考 点 串 串 讲 1 幂函数的图象 幂函数 y x 当 1 2 3 时的图象见图 1 所示 1 3 1 2 当 2 1 时的图象见图 2 所示 1 2 2 2 幂函数的性质 1 0 时 图象都通过点 0 0 1 1 在第一象限内 函数值随 x 的增大而增大 即在 0 上是增函数 2 0 时 图象都通过点 1 1 在第一象限内 函数值随 x 的增大而减小 即在 0 上是减函数 在第一象限内 图象向上与 y 轴无限地接近 向右与 x 轴无限地接近 3 比较大小 利用幂函数和指数函数的单调性可以比较幂值的大小 具体方法如下 1 当幂的底数相同 指数不同时 可以利用指数函数的单调性比较 2 当幂的底数不同 指数相同时 可以利用幂函数的单调性比较 3 当幂的底数和指数都不相同时 一种方法是作商 通过商与 1 的大小关系确定两个幂值 的大小 另一种方法是运用媒介法 即找到一个中间值 通过比较两个幂值与中间值的大 小 从而确定两个幂值的大小 4 比较多个幂值的大小一般采用媒介法 即先判断这组数中每个幂值与 0 1 等数的大小关 系 据此将它们分成若干组 然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较 最终确定 各数之间的大小关系 典 例 对 对 碰 题型一 幂函数定义 例 1 若幂函数 y m2 3m 17 x4m m2 的图象不过原点 求实数 m 的取值范围 3 解析 依题意 得Error Error 所以 m 6 点评 问题切入点幂函数的形式是 y x2 因此 m2 3m 17 1 另一方面图象不过原点 必有 4m m2 0 从而求出 m 熟练掌握并理解幂函数定义及性质是解题的关键 变式迁移 1 函数 f x m2 m 1 xm2 2m 3 是幂函数 且在 x 0 上是减函数 则实数 m 的值为 A 2 B 3 C 4 D 5 答案 A 解析 由题知 m2 m 1 1 得 m 1 或 m 2 再验证 m2 2m 3 0 得 m 2 故选 A 题型二 定义域问题 例 2 求下列函数的定义域 1 y x 3 5 2 y x 1 4 3 y x 2 3 4 y x 3 4 解析 把分数指数幂化为根式 1 y x 3 5 其定义域为 R 5 x3 2 y x 1 4 其定义域为 0 4 x 3 y x 2 3 其定义域为 0 0 1 3 x2 4 y x 3 4 其定义域为 0 1 4 x3 点评 注意 分母不能为 0 偶次根号下必须为非负实数 零的零次方没有意义 奇次根号下不作限制 变式迁移 2 4 设 1 1 3 则使函数 y x 的定义域为 R 且为奇函数的所有 的值为 1 2 答案 1 3 解析 定义域为 R 说明幂指数是正数且幂指数不等于 是奇函数说明 1 3 1 2 题型三 幂函数的图象 例 3 已知点 2 在幂函数 f x 的图象上 点 2 在幂函数 g x 的图象上 问当 x 为何 2 1 4 值时 有 1 f x g x 2 f x g x 3 f x g x 分析 首先要理解幂函数是形式定义 y x 然后根据函数图象可以解决 解析 设 f x x 因为点 2 在幂函数 f x 的图象上 将点 2 代入 f x x 中 22 得 2 a 解得 a 2 f x x2 2 设 g x xb 点 2 在幂函数 g x 的图象上 将点 2 代入 g x xb 中 得 1 4 1 4 2 b 解得 b 2 g x x 2 1 4 在同一坐标系下作出 f x x2 与 g x x 2 的图象如图所示 由图象可知 1 当 x 1 或 x 1 时 f x g x 2 当 x 1 或 x 1 时 f x g x 3 当 1 x 1 且 x 0 时 f x g x 点评 1 幂函数的一般形式是 y x 为常数 要求幂函数只要解出 即可 2 函数的 图象在解方程和不等式时有着重要的作用 3 本题注意 g x x 2 的定义域是 x x 0 即 求幂函数的解析式问题的关键是掌握幂函数的定义特征 变式迁移 3 如图所示为幂函数 y x i i 1 2 3 4 在第一象限内的图象 则 1 2 3 4 按由小到大 的顺序排列为 5 答案 3 2 4 1 解析 首先根据图象特点和幂函数的单调性 得 1 0 4 0 2 0 3 0 令 x a 且 a 1 根据函数图象特点可知 a 3 a 2 a 4 a 1 由于指数函数 y ax a 1 是单调 递增函数 故 3 2 4 1 题型四 比较大小问题 例 4 已知 0 71 3 m 1 30 7 m 求 m 的取值范围 解析 根据幂函数 y x1 3 知 0 0 71 3 1 由幂函数 y x0 7 知 1 30 7 1 0 71 3 1 30 7 对于函数 y xm 0 71 3 m 1 30 7 m m 0 点评 恰当地构造函数是解决本题的关键 变式迁移 4 设 b a 1 则下列不等关系成立的是 1 2 1 2 1 2 A aa ab ba B aa ba ab C ab aa ba D ab ba aa 答案 C 解析 b a 1 1 b a 0 在 A 和 B 中 y ax 0 a 1 在定义域内是单调递 1 2 1 2 1 2 减的 则 aa ab 所以结论不成立 在 C 中 y xn n 0 在 0 内是单调递增的 又 a b aa ba 即 ab aa ba 故选 C 题型五 幂函数的性质 例 5 讨论函数y x 2 3 的定义域 奇偶性 作出图象 并由图象指出函数的单调性 解析 函数y x 2 3 定义域为实数集 R 3 x2 f x x 2 3 x 2 1 3 x2 x 2 3 f x 1 3 6 函数y x 2 3 为偶函数 其图象关于 y 轴对称 下面用列表法作出函数 y x 在 0 上的图象 2 3 列表 x01234 y011 592 082 52 描点 连线 画出 y 轴右边部分 再由对称性画出 y 轴左侧部分如图所示 由图象可以看出 函数 y x 在区间 0 上是减函数 在区间 0 上是增函数 2 3 点评 描点法先要求出函数的定义域 变式迁移 5 给出关于幂函数的以下命题 幂函数的图象都经过点 1 1 幂函数的图象都经过点 0 0 幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数 幂函数的图象不可能经过第四象限 幂函数在第一象限内一定有图象 幂函数在 0 上不可能是增函数 其中正确的命题有 答案 解析 命题 显然正确 只有当 0 时幂函数的图象才能经过原点 0 0 若 0 则幂 函数的图象不过原点 故命题 错误 幂函数 y x 就是一个非奇非偶函数 所以命题 1 2 错误 由于在 y x R 中 只要 x 0 必有 y 0 所以幂函数的图象不可能在第四象 限 故 正确 命题 也正确 幂函数 y x3 在 0 上是增函数 故命题 错误 因 此正确的命题有 题型六 幂函数的综合应用 例 6 已知幂函数 f x xm2 2m 3 m Z 为偶函数 且在区间 0 上是单调减函数 1 求 f x 7 2 讨论 F x a 的奇偶性 f x b xf x 解析 1 mm f xx 2 23 xm m 2 3 由题意知 m m 2 为奇数且 m2 2m 3 0 又 m Z m 1 f x x 4 2 F x a a x 2 b x3 x 4 b x x 4 y x 2 是偶函数 y x3 为奇函数 讨论如下 a 0 且 b 0 时 F x 是非奇非偶函数 a 0 且 b 0 时 F x 是奇函数 a 0 且 b 0 时 F x 是偶函数 a b 0 时 F x 既是奇函数 又是偶函数 变式迁移 6 函数 y mx2 4x m 2 x2 mx 1 的定义域是全体实数 则实数 m 的取值范围 1 4 是 A 1 2 5 B 1 5 C 2 2 D 1 1 55 答案 B 解析 函数 y mx2 4x m 2 x2 mx 1 有意义的条件是 mx2 4x m 2 0 因 1 4 此 要使函数 y mx2 4x m 2 x2 mx 1 的定义域为全体实数 需满足 1 4 mx2 4x m 2 0 对一切实数都成立 即Error 解得 m 1 5 教师备课资源 题型七 幂函数的判定 例 7 下列所给出的函数中 是幂函数的是 A y x3 B y x 3 C y 2x3 D y x3 1 分析 幂函数的定义是形式上的 即只有形如 y x 是常数 的函数才是幂函数 本例中 其余选项中的函数只是幂函数类函数 解析 形如 y x 是常数 的函数叫做幂函数 选 B 答案 B 变式迁移 7 给出下列函数 y y 3x 2 y x4 x2 y 其中是幂函数的有 1 x3 3 x2 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 8 答案 B 解析 可以对照幂函数的定义进行判断 在所给出的四个函数中 只有 y x 3 和 1 x3 y x 符合幂函数的定义 是幂函数 其余两个都不是幂函数 所以选 B 3 x2 2 3 题型八 数形结合题 例 8 当 k 0 时 试研究方程 kx 的解的个数 1 2 1 x 分析 令 y y kx 通过两曲线交点个数来判断方程解的个数 1 x 解析 令 y1 y2 kx 1 x 在同一直角坐标系下 先作过 y1 的图象 如图所示 1 x 再研究当 k 0 时 直线 y2 kx 与上述图象交点的个数 显然该直线与曲线 x 1 的部 1 2 分必有一交点 对于 x 1 的部分 将 y kx 代入 y2 1 x y 0 得 k2x2 x 1 0 1 4k2 当 k 0 时 0 所以 y kx 与曲线 y2 x 1 x 1 1 2 有两交点 所以直线与曲线只有三个交点 点评 数形结合思想的恰当引入使判断方程根的个数转化为检验曲线交点个数问题 直观 形象 易于理解 数形结合思想是高考考查的热点之一 本题将方程问题转化为函数问题 化繁为简 化难 为易 深刻体现了数学基本思想在解题中的重要地位 变式迁移 8 已知幂函数 f x 的图象经过点 P x1 y1 Q x2 y2 x1 x2 是函数图象上的任意 1 8 2 4 不同两点 给出以下结论 x1f x1 x2f x2 x1f x1 x2f x2 其中正确 f x1 x1 f x2 x2 f x1 x1 f x2 x2 结论的序号是 A B C D 答案 D 解析 依题意 设 f x x 则有 即 1 2 1 8 所以 于是 1 8 2 4 1 8 1 2 9 f x x 1 2 由于函数f x x 1 2 在定义域 0 内单调递增 所以当 x1 x2 时 必有 f x1 f x2 从而有 x1f x1 x2f x2 故 正确 又因为 分别表示直线 f x1 x1 f x2 x2 OP OQ 的斜率 结合函数图象 容易得出直线 OP 的斜率大于直线 OQ 的斜率 故 所以 正确 故选 D f x1 x1 f x2 x2 方 法 路 路 通 1 幂函数 y x 随 的不同 其定义域 值域 单调性 奇偶性等都有较大的差异 2 掌握幂函数的图象和性质 要在掌握幂函数的定义域 奇偶性和它在第一象限内的情况 等三个方面多下工夫 要强化对幂函数图象的记忆 并了解 任何幂函数的图象与坐标 轴最多有一个交点 原点 任何幂函数的图象都不通过第四象限 任何两个幂函数的 图象最多有三个交点 3 当 0 时 y x 在第一象限是增函数 当 0 时 y x 在第一象限是减函数 正 误 题 题 辨 例若 a 1 2 3 2a 2 则 a 的取值范围是 错解 由 y x 2 在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 0 a 1 3 2a 或 0 a 1 3 2a 解之得 1 a 2 3 a 的取值范围是 1 2 3 点击 上述解法只考虑到 a 1 3 2a 在同一单调区间的情形 不全面 正解 解法一 由 y x 2 的图象关于 y 轴对称知 函数 y x 2 在 0 上是减函数 在 0 上是增函数 有 4 种情况 1 Error 2 Error 3 Error 4 Error 分别解得 1 1 a 2 无解 3 a 1 4 a 4 2 3 因此 a 的取值范围是 1 1 4 2 3 解法二 由 a 1 2 3 2a 2 10 得 a 1 2 3 2a 2 由 y x 2 在 0 上是减函数 Error Error Error 解之得Error 故 a 的取值范围是 1 1 4 2 3 答案 1 1 4 2 3 知 能 层 层 练 针对考点勤钻研 金榜题名不畏难 1 在下列函数中 定义域 值域不同的是 A y x B y x 1 3 1 2 C y x D y x 5 3