高中不等式的基本知识点和练习题(含答案)

不等式的基本知识不等式的基本知识 一 不等式与不等关系 一 不等式与不等关系 1 应用不等式 组 表示不等关系 不等式的主要性质 1 对称性 2 传递性 abba cacbba 3 加法法则 同向可加 cbcaba dbcadcba 4 乘法法则 bcaccba 0 bcaccba 0 同向同正可乘 bdacdcba 0 0 5 倒数法则 6 乘方法则 ba abba 11 0 1 0 nNnbaba nn 且 7 开方法则 1 0 nNnbaba nn 且 2 应用不等式的性质比较两个实数的大小 作差法 作差 变形 判断符号 结论 3 应用不等式性质证明不等式 二 解不等式 二 解不等式 1 一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解集 000 22 acbxaxcbxax或 设相应的一元二次方程的两根为 则不等式的解的各种情 00 2 acbxax 2121 xxxx 且 acb4 2 况如下表 2 简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式的解法 标根法 其步骤是 1 分解成若干个一次因式的积 并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正 2 将每一个一次 因式的根标在数轴上 从最大根的右上方依次通过每一点画曲线 并注意奇穿偶不穿奇穿偶不穿 3 根据曲线显现 f x的符 号变化规律 写出不等式的解集 如 xxx 1120 23 3 3 分式不等式的解法 分式不等式的解法 分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0 再通分并将分子分母分解因式 并使每一个并使每一个 因式中最高次项的系数为正因式中最高次项的系数为正 最后用标根法求解 解分式不等式时 一般不能去分母 但分母恒为正或恒为负时可去 分母 0 0 0 0 0 f x g x f xf x f x g x g xg xg x 4 4 不等式的恒成立问题 不等式的恒成立问题 常应用函数方程思想和 分离变量法 转化为最值问题 若不等式在区间上恒成立 则等价于在区间上 Axf DD minf xA 若不等式在区间上恒成立 则等价于在区间上 Bxf DD maxf xB 三 线性规划 三 线性规划 1 用二元一次不等式 组 表示平面区域 二元一次不等式Ax By C 0 在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0 某一侧所有点组成的平面区域 虚线表示 区域不包括边界直线 2 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax By C 0 同一侧的所有点 把它的坐标 代入Ax By C 所得到实数的符号都相同 yx yx 所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 x0 y0 从Ax0 By0 C的正负即可判断Ax By C 0 表示直线哪一侧的平面区 域 特殊地 当C 0 时 常把原点原点作为此特殊点 3 线性规划的有关概念 线性约束条件线性约束条件 在上述问题中 不等式组是一组变量 x y 的约束条件 这组约束条件都是关于 x y 的一次不 等式 故又称线性约束条件 线性目标函数线性目标函数 关于 x y 的一次式 z ax by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x y 的解析式 叫线性目标函数 线性规划问题线性规划问题 一般地 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 统称为线性规划问题 可行解 可行域和最优解可行解 可行域和最优解 满足线性约束条件的解 x y 叫可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 4 求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤 1 寻找线性约束条件 列出线性目标函数 2 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域 3 依据线性目标函数作参照直线 ax by 0 在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解 四 基本不等式 四 基本不等式 2 ab ab 1 若 a b R 则 a2 b2 2ab 当且仅当 a b 时取等号 2 如果 a b 是正数 那么 2 号时取当且仅当 baab ba 变形 有 a b ab 当且仅当 a b 时取等号 ab2 2 2 ba 3 如果 a b R a b P 定值 当且仅当 a b 时 a b 有最小值 P2 如果 a b R 且 a b S 定值 当且仅当 a b 时 ab 有最大值 4 2 S 注 1 当两个正数的积为定值时 可以求它们和的最小值 当两个正数的和为定值时 可以求它们的积的最小值 正所谓 积定和最小 和定积最大 2 求最值的重要条件 一正 二定 三取等 4 常用不等式有 1 22 2 2211 abab ab ab 根据目标不等式左右的运算结构选用 2 a b c R R 222 abcabbcca 当且仅当abc 时 取等号 3 若 0 0abm 则 bbm aam 糖水的浓度问题 不等式主要题型讲解不等式主要题型讲解 一 一 不等式与不等关系不等式与不等关系 题型二 比较大小 作差法 函数单调性 中间量比较 基本不等式 题型二 比较大小 作差法 函数单调性 中间量比较 基本不等式 1 设 试比较的大小2a 1 2 pa a 24 2 2 aa qqp 二 二 解不等式解不等式 题型三 解不等式题型三 解不等式 解不等式 3 2 1 2 0 xx 2 5 1 23 x xx 2 不等式的解集为 x 1 x 2 则 b 2 120axbx a 3 关于的不等式的解集为 则关于的不等式的解集为x0 bax 1 x0 2 x bax 题型四 恒成立问题题型四 恒成立问题 4 关于 x 的不等式 a x2 a x 1 0 恒成立 则 a 的取值范围是 5 若不等式对的所有实数都成立 求的取值范围 2 2210 xmxm 01x xm 6 已知且 求使不等式恒成立的实数的取值范围 0 0 xy 19 1 xy xym m 三 基本不等式 三 基本不等式 2 ab ab 题型五 求最值题型五 求最值 7 求下列函数的值域 1 y 3x 2 2 当时 求的最大值 1 2x 2 82 yxx 8 耐克函数型 求的值域 2 710 1 1 xx yx x 注意 在应用基本不等式求最值时 若遇等号取不到的情况 应结合函数注意 在应用基本不等式求最值时 若遇等号取不到的情况 应结合函数的单调性 的单调性 a f xx x 9 用耐克函数单调性 求函数的值域 2 2 5 4 x y x 1 若实数满足 则的最小值是 2 ba ba 33 2 已知 且 求的最小值 0 0 xy 19 1 xy xy 3 已知 x y 为正实数 且 x 2 1 求 x的最大值 y 2 21 y 2 4 已知 a b 为正实数 2b ab a 30 求函数 y 的最小值 1 ab 题型六 利用基本不等式证明不等式题型六 利用基本不等式证明不等式 10 已知为两两不相等的实数 求证 cba cabcabcba 222 11 已知 a b c 且 求证 R 1abc 111 1118 abc 四 线性规划 四 线性规划 题型八 目标函数求最值题型八 目标函数求最值 12 满足不等式组 0 087 032 yx yx yx 求目标函数yxk 3的最大值 13 已知 x y 满足约束条件 0 344 0 x xy y 则 22 2xyx 的最小值是 14 已知变量 230 330 10 xy x yxy y 满足约束条件若目标函数zaxy 其中 a 0 仅在点 3 0 处取得最大值 则 a 的取值范围为 15 已知实数满足如果目标函数的最小值为 则实数等于 xy 1 21 y yx xym zxy 1 m 题型九 实际问题题型九 实际问题 某饼店制作的豆沙月饼每个成本 35 元 售 价 50 元 凤梨月饼每个成本 20 元 售价 30 元 现在要将这两种月饼装成一盒 个数不超过 10 个 售价不超过 350 元 问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个 可使利润最大 又利润最大为多少 复习复习 不等式的基本知识参考答案不等式的基本知识参考答案 高中数学必修内容练习高中数学必修内容练习 不等式不等式 1 2 pq 3 当或时 1 当时 1 当时 1 01x 4 3 x 3logx2log 2 x 4 1 3 x 3logx2log 2 x 4 3 x 3logx 2log 2 x 4 1 ba 0lg 0lg ba 2 1 Qpbaba lglg lglg R Q P Qabab ba R lg 2 1 lg 2 lg 5 6 或 1x x 2 x 7 1 1 2 3 8 不等式的解集为 x 1 x 2 则 6 b 6 2 120axbx a 9 2 1 10 解 当 a 0 时 不等式的解集为 2 分 1x x 当 a 0时 a x x 1 0 当 a 0时 原不等式等价于 x x 1 0 a 1 a 1 不等式的解集为 6分 1 1x xx a 或 当0 a 1时 1 不等式的解集为 8分 a 11 1xx a 当 a 1时 1 不等式的解集为 10分 a 11 1xx a 当 a 1时 不等式的解为 12分 11 0 x 4 12 1 2 m 13 16m 14 解 1 y 3x 2 2 值域为 1 2x 266 2 当 x 0 时 y x 2 2 1 x 当 x 0 时 y x x 2 2 1 x 1 x 值域为 2 2 15 1 解 5 540 4 xx 11 42543 4554 yxx xx 231 当且仅当 即时 上式等号成立 故当时 1 54 54 x x 1x 1x max 1y 2 当 即 x 2 时取等号 当 x 2 时 的最大值为 8 82 yxx 16 解析一 当 即时 当且仅当 x 1 时取 号 4 21 59 1 yx x 解析二 本题看似无法运用基本不等式 可先换元 令 t x 1 化简原式在分离求最值 22 1 7 1 10544 5 tttt yt ttt 当 即 t 时 当 t 2 即 x 1 时取 号 4 259yt t 17 解 令 则 2 4 2 xt t 2 2 5 4 x y x 2 2 11 4 2 4 xtt t x 因 但解得不在区间 故等号不成立 考虑单调性 1 0 1tt t 1 t t 1t 2 因为在区间单调递增 所以在其子区间为单调递增函数 故 1 yt t 1 2 5 2 y 所以 所求函数的值域为 5 2 18 条件不等式 1 解 都是正数 ba 33 和 ba 33 632332 baba 当时等号成立 由及得即当时 的最小值是 6 ba 33 2 ba ba 33 1 ba1 ba ba 33 2 解解 19 0 0 1xy xy 199 106 1016 yx xyxy xyxy 当且仅当时 上式等号成立 又 可得时 9yx xy 19 1 xy 4 12xy min16xy 3 解 x x x 1 y 22 下面将 x 分别看成两个因式 x 即 x x 3 41 y 22 3 4 2 4 解 法一 a ab b 30 2b b 1 30 2b b 1 2 b 2 30b b 1 由 a 0 得 0 b 15 令 t b 1 1 t 16 ab 2 t 34 t 2 8 2t 2 34t 31 t 16 t 16 t ab 18 y 当且仅当 t 4 即 b 3 a 6 时 等号成立 1 18 法二 由已知得 30 ab a 2b a 2b 2 30 ab 2 2 ab2 ab 令 u 则 u2 2u 30 0 5 u 3 ab222 3 ab 18 y ab2 1 18 19 已知为两两不相等的实数 求证 cba cabcabcba 222 20 正数 a b c 满足 a b c 1 求证 1 a 1 b 1 c 8abc 21 已知 a b c 且 求证 R 1abc 111 1118 abc 证明 a b c 同理 上述三个不