2011年高考数学二轮复习 62概率、随机变量及其分布列精品学案

用心 爱心 专心1 专题六 概率与统计 推理与证明 算法初步 复数专题六 概率与统计 推理与证明 算法初步 复数第二讲第二讲 概率 随机变量概率 随机变量 及其分布列及其分布列 最新考纲透析最新考纲透析 1 概率 1 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性 了解概率的意义 了解频率与概率的区别 2 了解两个互斥事件的概率加法公式 3 理解古典概型及其概率计算公式 4 了解几何概型的意义 5 了解条件概率 2 两个事件相互独立 n 次独立重复试验 1 了解两个事件相互独立的概念 2 理解 n 次独立重复试验的模型并能解决一些实际问题 3 离散型随机变量及其分布列 1 理解取有限个值的离散随机变量及其分布列的概念 2 理解二项分布 并解决一些简单问题 4 离散型随机变量的均值 方差 1 理解取有限个值的离散型随机变量的均值 方差的概念 2 能计算简单离散型随机变量的均值 方差 并能解决一些实际问题 核心要点突破核心要点突破 要点考向要点考向 1 1 古典概型 古典概型 考情聚焦 考情聚焦 1 1 古典概型是高考重点考查的概率模型 常与计数原理 排列组合结合起来考查 2 2 多以选择题 填空题的形式考查 属容易题 考向链接考向链接 1 1 有关古典模型的概率问题 关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件 数 这常常用到计数原理与排列 组合的相关知识 2 2 在求基本事件的个数时 要准确理解基本事件的构成 这样才能保证所求事件所包含的基本事件 数的求法与基本事件总数的求法的一致性 3 3 对于较复杂的题目 要注意正确分类 分类时应不重不漏 例例 1 1 2010 2010 北京高考文科北京高考文科 3 3 从 1 2 3 4 5 中随机选取一个数为 a 从 1 2 3 中随机选取 一个数为 b 则 b a 的概率是 A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 1 5 命题立意 本题考查古典概型 熟练掌握求古典概型概率的常用方法是解决本题的关键 思路点拨 先求出基本事件空间包含的基本事件总数n 再求出事件 ba 包含的基本事件数m 从而 m P A n 规范解答 选 D 1 2 3 4 5 1 2 3 a bab 包含的基本事件总数15n 事件 用心 爱心 专心2 ba 为 1 2 1 3 2 3 包含的基本事件数为3m 其概率 31 155 P 方法技巧 列古典概型的基本事件空间常用的方法有 1 列举法 2 坐标网格法 3 树图等 要点考向要点考向 2 2 几何概型 几何概型 考情聚焦 考情聚焦 1 1 几何模型是新课标新增内容 预计今后会成为新课标高考的增长点 应引起高度重视 2 2 易与解析几何 定积分等几何知识交汇命题 多以选择题 填空题的形式出现 属中 低档题目 考向链接 考向链接 1 1 当试验的结果构成的区域为长度 面积 体积 弧长 夹角等时 应考虑使用几何概 型求解 2 2 利用几何概型求概率时 关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找 有时需要 设出变量 在坐标系中表示所需要的区域 例 2 2010 2010 湖南高考文科湖南高考文科 1111 在区间 1 2 上随即取一个数 x 则 x 0 1 的概率为 命题立意 以非常简单的区间立意 运算不复杂 但能切中考查几何概型的要害 思路点拨 一元几何概型 长度之比 规范解答 1 2 的长度为 3 0 1 的长度为 1 所以概率是 3 1 方法技巧 一元几何概型 长度之比 二元几何概型 面积之比 三元几何概型 体积之比 要点考向要点考向 3 3 条件概率 条件概率 考情聚焦 考情聚焦 1 1 条件概率是新课标新增内容 在 2007 年山东高考重点亮相过 预计在今后课改省份 高考中会成为亮点 2 2 常出现在解答题中和其他知识一同考查 当然也会在选择题 填空题中单独考查 考向链接 考向链接 1 1 利用公式是求条件概率最基本的方法 这种方法的关键是分 别求出 P A 和 P AB 其中 P AB 是指事件 A 和 B 同时发生的概率 2 在求 P AB 时 要判断事件 A 与事件 B 之间的关系 以便采用不同的方法求 P AB 其中 若 则 P AB P B 从而 例例 3 3 2010 2010 安徽高考理科安徽高考理科 1515 甲罐中有 5 个红球 2 个白球和 3 个黑球 乙罐中有 4 个红球 3 个白球和 3 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐 分别以 12 A A和 3 A表示由甲罐取出的球是红 球 白球和黑球的事件 再从乙罐中随机取出一球 以B表示由乙罐取出的球是红球的事件 则下列结 论中正确的是 写出所有正确结论的编号 2 5 P B 1 5 11 P B A 用心 爱心 专心3 事件B与事件 1 A相互独立 123 A A A是两两互斥的事件 P B的值不能确定 因为它与 123 A A A中哪一个发生有关 命题立意 本题主要考查概率的综合问题 考查考生对事件关系的理解和条件概率的认知水平 思路点拨 根据事件互斥 事件相互独立的概念 条件概率及把事件 B 的概率转化为 123 P BP ABP ABP AB 可辨析此题 规范解答 显然 123 A A A是两两互斥的事件 有 1 5 11 P B A 2 4 11 P B A 3 4 11 P B A 而 123 P BP ABP ABP AB 112233 P A P B AP A P B AP A P B A 5524349 10111011101122 且 1 5 22 P AB 1 599 102244 P A P B 有 1 P AB 1 P A P B 可以判定 正确 而 错误 答案 要点考向要点考向 4 4 复杂事件的概率与随机变量的分布列 期望 方差 复杂事件的概率与随机变量的分布列 期望 方差 考情聚焦 考情聚焦 1 1 复杂事件的概率与随机变量的分布列 期望 方差是每年高考必考的内容 与生活实 践联系密切 2 2 多以解答题的形式呈现 属中档题 例例 4 4 2010 2010 湖南高考理科湖南高考理科 4 4 图 4 是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量 单位 吨 的频率分布直方图 求直方图中 x 的值 II 若将频率视为概率 从这个城市随机抽取 3 位居民 看作有放回的抽样 求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望 用心 爱心 专心4 命题立意 以实际生活为背景 考查频率分布直方图的认识 进而考查分布列和期望等统计知识 思路点拨 频率分布直方图 矩形的面积表示频率反映概率 随机抽取 3 位居民 看作有放回的抽样 是三个独立重复实验 计算概率时遵循贝努力概型 规范解答 1 依题意及频率分布直方图知 0 02 0 1 x 0 37 0 39 1 解得 x 0 12 2 由题意知 X B 3 0 1 因此 P x 0 729 0 9 0 3 3 0 C P X 1 243 0 9 01 0 2 3 1 C P X 2 027 0 9 01 0 2 3 2 C P X 3 001 0 1 0 3 3 3 C 故随机变量 X 的分布列为 X0123 P0 7290 2430 0270 001 X 的数学期望为 EX 3 0 1 0 3 方法技巧 1 统计的常用图 条形图 径叶图 直方图 折线图等 要学会识图 2 概率问题的解题 步骤 首先思考实验的个数 实验关系和实验结果 然后思考目标时间如何用基本事件表示出来 最后 利用对立事件 对立事件和互斥事件进行运算 3 在求期望和方差时注意使用公式 注 注 1 求复杂事件的概率 要正确分析复杂事件的构成 看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事 件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件 然后用概率公式求解 2 一个复杂事件若正面情况比较多 反而情况较少 则一般利用对立事件进行求解 对于 至少 至多 等问题往往用这种方法求解 3 求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个所表示的具体事件 然后综合 应用各类求概率的公式 求出概率 4 求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列 若随机变量服从二项分布 则 可直接使用公式求解 用心 爱心 专心5 高考真题探究高考真题探究 1 2010 2010 辽宁高考理科辽宁高考理科 3 3 两个实习生每人加工一个零件 加工为一等品的概率分别为 2 3 和 3 4 两 个零件是否加工为一等品相互独立 则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A 1 2 B 5 12 C 1 4 D 1 6 命题立意 本题考查独立事件同时发生的概率 思路点拨 恰有一个一等品 包含两类情况 规范解答 选 B 所求概率为 21135 343412 方法技巧 1 要准确理解恰有一个产含义 2 事件 A B 相互独立 则 P AB P A P B 3 本题也可用对立事件的概率来解决 所求概率 p 1 23115 1 343412 p 2 2010 2010 福建高考理科福建高考理科 1313 某次知识竞赛规则如下 在主办方预设的 5 个问题中 选手若能连续 回答出两个问题 即停止答题 晋级下一轮 假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0 8 且每个问题 的回答结果相互独立 则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 命题立意 本题主要考查相互独立事件同时发生的概率的求解 思路点拨 分析题意可得 该选手第一个问题可以答对也可以答错 第二个问题一定回答错误 第三 四个问题一定答对 进而求解 相互独立事件同时发生的概率 规范解答 依题意得 该选手第一个问题可以答对也可以答错 第二个问题一定回答错误 第三 四 个问题一定答对 所以其概率P1 0 2 0 8 0 80 128 3 2010 2010 江苏高考江苏高考 3 3 盒子里共有大小相同的 3 只白球 1 只黑球 若从中随机地摸出两只球 则 它们颜色不同的概率是 命题立意 本题考查古典概型的概率求法 思路点拨 先求出从盒子中随机地摸出两只球的所有方法数 再求出所摸两只球颜色不同的方法数 最后代入公式计算即可 规范解答 从盒子中随机地摸出两只球 共有 2 4 6C 种情况 而摸两只球颜色不同的种数为 1 3 3C 种 情况 故所求的概率为 31 62 p 答案 1 2 用心 爱心 专心6 4 2010 2010 湖北高考文科湖北高考文科 1313 一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0 9 则服用这种新药的 4 个 病人中至少 3 人被治愈的概率为 用数字作答 命题立意 本题主要考查独立重复试验及互斥事件的概率 考查考生的分类讨论思想和运算求解能 力 思路点拨 4 个病人服用某种新药 相当于做 4 次独立重复试验 至少 3 人被治愈 即 3 人被治愈 4 人被治愈 两个互斥事件有一个要发生 由独立重复试验和概率的加法公式即可得出答案 规范解答 4 个病人服用某种新药 3 人被治愈的概率为 33 4 0 91 0 90 2916C 4 个病人服用某种新药 4 人被治愈的概率为 44 4 0 90 6561C 故服用这种新药的 4 个 病人中至少 3 人被治愈的概率为0 29160 65610 9477 答案 0 9477 方法技巧 求多个事件至少有一个要发生的概率一般有两种办法 1 将该事件分解为若干个互斥事件 的 和事件 然后利用概率的加法公式求解 2 考虑对立事件 如 本题也可另解为 0413222 444 1 1 0 9 0 9 1 0 9 0 9 1 0 9 0 9477CCC 5 2010 2010 重庆高考文科重庆高考文科 4 4 加工某一零件经过三道工序 设第一 二 三道工序的次品率分别为 1 70 1 69 1 68 且各道工序互不影响 则加工出来的零件的次品率为 命题立意 本小题考查概率 相互独立试验等基础知识 考查运算求解能力 考查分类讨论的思想 思路点拨 加工零件需要完成三道工序 考虑问题的对立事件 加工出合格零件则需要三道工序都是 合格品 规范解答 因为第一 二 三道工序的次品率分别为 1 70 1 69 1 68 所以第一 二 三道工序的 正品率分别为 69 68 67 70 69 68 所以加工出来的零件的次品率为 696867673 11 7069687070 P 答案 3 70 方法技巧 当所求事件的情形较多时 它的对立事件的情形较少 采用对立事件求解就是 正难则反 易 的方法 6 2010 2010 重庆高考文科重庆高考文科 1717 在甲 乙等 6 个单位参加的一次 唱读讲传 演出活动中 每个单位 的节目集中安排在一起 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序 序号为 1 2 6 求 1 甲 乙两单位的演出序号均为偶数的概率 用心 爱心 专心7 2 甲 乙两单位的演出序号不相邻的概率 命题立意 本小题考查排列 组合 古典概型的基础知识及其综合应用 考查运算求解能力 及分类 讨论的数学思想 思路点拨 先求出事件的总的基本事件的个数 再求出符合题意要求的基本事件的个数 最后计算概 率 规范解答 方法一 考虑甲乙两个单位的排列顺序 甲乙两个单位可以排列在 6 个位置中的任意两个 位置 有 2 6 30A 种等可能的结果 1 设 A 表示 甲 乙的演出序号均为偶数 则事件 A 包含的基本事件的个数是 2 3 6A 所以 61 305 P A 2 设 B 表示事件 甲乙两单位的演出序号不相邻 则B表示事件 甲乙两单位的演出序号相邻 事 件B包含的基本事件的个数是 2 2 510A 所以 102 1 1 303 P BP B 方法二 不考虑甲乙两个单位的排列顺序 甲乙两个单位可以在 6 个位置中的任选两个位置 有 2 6 15C 种等可能的结果 1 设 A 表示 甲 乙的演出序号均为偶数 则事件 A 包含的基本事件的个数是 2 3 3C 所以 31 155 P A 2 设 B 表示事件 甲乙两单位的演出序号不相邻 则B表示事件 甲乙两单位的演出序号相邻 事 件B包含的基本事件的个数是 5 所以 52 1 1 153 P BP B 方法三 考虑所有单位的排列位置 各单位的演出顺序共有 6 6 720A 种 情形 1 设 A 表示 甲 乙的演出序号均为偶数 则事件 A 包含的基本事件的个数是 24 34 144A A 所以 1441 7205 P A 2 设 B 表示事件 甲乙两单位的演出序号不相邻 则B表示事件 甲乙两单位的演出序号相邻 事 件B包含的基本事件的个数是 24 24 5240AA 所以 2402 1 1 7203 P BP B 用心 爱心 专心8 跟踪模拟训练跟踪模拟训练 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 6 6 分 共分 共 3636 分 分 1 锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个 花生馅汤圆 5 个 豆沙馅汤圆 4 个 这三种汤圆的外部特征完全相同 从 中任意舀取 4 个汤圆 则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为 A 8 91 B 25 91 C 48 91 D 60 91 2 已知函数 f x g x 都是定义在R上的函数 且 x f xa g x 0a 且 1a 2 1 1 1 1 1 ff gg 在有 穷数列 f n g n 1 2 3 10n 中 任意取正整数 110 kk 则其前k项和大于 15 16的概率是 A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 3 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子 记骰子落地后朝上的点数分别为 x y 则 1log2 y x 的概率为 A 6 1 B 36 5 C 12 1 D 2 1 4 一个容量为 100 的样本 其数据的分组与各组的频数如下表 组别 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 频数 1213241516137 则样本数据落在 10 40 上的频率为 A 0 13 B 0 39 C 0 52 D 0 64 5 2010 届 安徽省合肥高三四模 理 从足够多的四种颜色的灯泡中任选六个安置在如右图的 6 个顶 点处 则相邻顶点处灯泡颜色不同的概率为 A 6 4 228 B 6 4 240 C 6 4 264 D 6 4 288 6 2010 届 杭州五中高三下 5 月模拟 理 将一枚骰子抛掷两次 若先后出现的点数分别为cb 则 方程 0 2 cbxx有实根的概率为 A 17 36 B 1 2 C 19 36 D 5 9 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 6 6 分 共分 共 1818 分 分 7 某班有 36 名同学参加数学 物理 化学课外兴趣小组 每名同至多参加两个小组 已知参加数学 用心 爱心 专心9 物理 化学小组的人数分别为 26 15 13 同时参加数学和物理小组的有 6 人 同时参加物理和化学小 组的有 4 人 则同时参加数学和化学小组的有 人 8 从 5 名世博志愿者中选出 3 名 分别从事翻译 导游 保洁三项不同的工作 每人承担一项 其中甲 不能从事翻译工作 则不同的选派方案共有 种 9 已知集合 A x y x 2 y 2 x y Z 集合 B x y x 2 2 y 2 2 4 x y Z 在集合 A 中 任取一个元素 p 则 p B 的概率是 三 解答题三 解答题 10 10 1111 题每题题每题 1515 分 分 1212 题题 1616 分 共分 共 4646 分分 10 一个口袋中装有 n 个红球 n 5 且 n N 和 5 个白球 一次摸奖从中摸出两个球 两个球颜色不同则 为中奖 1 试用 n 表示一次摸奖中奖的概率 P 2 若 n 5 求三次摸奖 每次摸奖后放回 恰有一次中奖的概率 3 记三次摸奖 每次摸奖后放回 恰有一次中奖的概率记为 P3 1 当 n 取多少时 P3 1 值最大 11 袋内装有 6 个球 每个球上都记有从 1 到 6 的一个号码 设号码为 n 的球重 126 2 nn 克 这些 球等可能地从袋里取出 不受重量 号码的影响 1 如果任意取出 1 球 求其重量大于号码数的概率 2 如果不放回地任意取出 2 球 求它们重量相等的概率 12 大量统计数据表明 某班一周内 周六 周日休息 各天语文 数学 外语三科有作业的概率如下 表 根据上表 I 求周五没有语文 数学 外语三科作业的概率 II 设一周内有数学作业的天数为 求随机变量 的分布列和数学期望 参考答案参考答案 1 C 用心 爱心 专心10 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 8 8 48 9 解析 集合 A 中共有 25 个元素 既属于集合 A 又属于集合 B 的元素为 0 2 1 1 1 2 2 0 2 1 2 2 共 6 个 故所求概率为 P 答案 10 用心 爱心 专心11 11 解析 1 由题意 任意取出 1 球 共有 6 种等可能的方法 由不等式 3 4 126 2 nnnnn或得 所以 6 52 1 nn或 于是所求概率为 3 2 6 4 2 从 6 个球中任意取出 2 个球 共有 15 种等可能的方法 列举如下 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 3 2 4 2 5 2 6 3 4 3 5 3 6 4 5 4 6 5 6 设第 n 号与第 m 号的两个球的重量相等 则有 126126 22 mmnn 0 6 mnmn 4 2 5 1 6 mnmnmn 故所求概率为 15 2 12 解析 I 设周五有语文 数学 外语三科作业分别为事件 A1 A2 A3 周五没有语文 数学 外 语三科作业为事件 A 则由已知表格得 1 1 2 P A 2 2 3 P A 3 2 3 P A 123 P AP A A A 1221 111 23318 II 设一周内有数学作业的天数为