定义新运算附答案

精品文档 1 欢迎下载 定义新运算附答案定义新运算附答案 我们学过的常用运算有 等 如 2 3 5 2 3 6 都是 2 和 3 为什么运算结果不同呢 主要是运算方式不同 实际是对应法则不同 可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法 对应法则不同就是不同的运算 当然 这个对应法则应该是对任意两个数 通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对 应 只要符合这个要求 不同的法则就是不同的运算 在这一讲中 我们定义了一些新的运 算形式 它们与我们常用的 运算不相同 我们先通过具体的运算来了解和熟悉 定义新运算 例 1 设 a b 都表示数 规定 a b 3 a 2 b 求 3 2 2 3 这个运算 有交换律吗 求 17 6 2 17 6 2 这个运算 有结合律吗 如果已知 4 b 2 求 b 分析 解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质 本题规定的运算的本质是 用 运算符号前面的数的 3 倍减去符号后面的数的 2 倍 解 3 2 3 3 2 2 9 4 5 2 3 3 2 2 3 6 6 0 由 的例子可知 没有交换律 要计算 17 6 2 先计算括号内的数 有 17 6 3 17 2 6 39 再计算 第二步 39 2 3 39 2 2 113 所以 17 6 2 113 对于 17 6 2 同样先计算括号内的数 6 2 3 6 2 2 14 其次 17 14 3 17 2 14 23 所以 17 6 2 23 由 的例子可知 也没有结合律 因为 4 b 3 4 2 b 12 2b 那么 12 2b 2 解出 b 5 例 2 定义运算 为 a b a b a b 求 5 7 7 5 求 12 3 4 12 3 4 这个运算 有交换律 结合律吗 如果 3 5 x 3 求 x 解 5 7 5 7 5 7 35 12 23 7 5 7 5 7 5 35 12 23 要计算 12 3 4 先计算括号内的数 有 3 4 3 4 3 4 5 再计 算第二步 12 5 12 5 12 5 43 所以 12 3 4 43 对于 12 3 4 同样先计算括号内的数 12 3 12 3 12 3 21 精品文档 2 欢迎下载 其次 21 4 21 4 21 4 59 所以 12 3 4 59 由于 a b a b a b b a b a b a a b a b 普通加法 乘法交换律 所以有 a b b a 因此 有交换律 由 的例子可知 运算 没有结合律 5 x 5x 5 x 4x 5 3 5 x 3 4x 5 3 4x 5 3 4x 5 12x 15 4x 2 8x 13 那么 8x 13 3 解出 x 2 例 3 定义新的运算 a b a b a b 求 6 2 2 6 求 1 2 3 1 2 3 这个运算有交换律和结合律吗 解 6 2 6 2 6 2 20 2 6 2 6 2 6 20 1 2 3 1 2 1 2 3 5 3 5 3 5 3 23 1 2 3 1 2 3 2 3 1 11 1 11 1 11 23 先看 是否满足交换律 a b a b a b b a b a b a a b a b 普通加法与乘法的交换律 所以 a b b a 因此 满足交换律 再看 是否满足结合律 a b c a b a b c a b a b c a b a b c abc ac bc ab a b c a b c a b c b c a b c b c a b c b c 精品文档 3 欢迎下载 abc ab ac a bc b c abc ac bc ab a b c 普通加法的交换律 所以 a b c a b c 因此 满足结合律 说明 对于普通的加法不满足分配律 看反例 1 2 3 1 5 1 5 1 5 11 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 3 5 7 12 因此 1 2 3 1 2 1 3 例 4 有一个数学运算符号 使下列算式成立 2 4 8 5 3 13 3 5 11 9 7 25 求 7 3 解 通过对 2 4 8 5 3 13 3 5 11 9 7 25 这几个算式的观察 找到规律 a b 2a b 因此 7 3 2 7 3 17 例 5 x y 表示两个数 规定新运算 及 如下 x y mx ny x y kxy 其中 m n k 均为自然数 已知 1 2 5 2 3 4 64 求 1 2 3 的值 分析 我们采用分析法 从要求的问题入手 题目要求 1 2 3 的值 首先我们要 计算 1 2 根据 的定义 1 2 k 1 2 2k 由于 k 的值不知道 所以首先要计算出 k 的值 k 值求出后 l 2 的值也就计算出来了 我们设 1 2 a 1 2 3 a 3 按 的定义 a 3 ma 3n 在只有求出 m n 时 我们才能计算 a 3 的值 因此要计算 1 2 3 的值 我们就要先求出 k m n 的值 通 过 1 2 5 可以求出 m n 的值 通过 2 3 4 64 求出 k 的值 解 因为 1 2 m 1 n 2 m 2n 所以有 m 2n 5 又因为 m n 均为自然数 所以解出 当 m 1 n 2 时 2 3 4 1 2 2 3 4 8 4 k 8 4 32k 有 32k 64 解出 k 2 当 m 3 n 1 时 2 3 4 3 2 1 3 4 9 4 k 9 4 36k 有 36k 64 解出 k 这与 k 是自然数矛盾 因此 m 3 n 1 k 9 7 1 9 7 1 这组值应舍去 所以 m l n 2 k 2 1 2 3 2 1 2 3 4 3 1 4 2 3 10 在上面这一类定义新运算的问题中 关键的一条是 抓住定义这一点不放 在计算时 m 1 n 2 m 2 n 舍去 2 3 m 3 n 1 精品文档 4 欢迎下载 严格遵照规定的法则代入数值 还有一个值得注意的问题是 定义一个新运算 这个新运 算常常不满足加法 乘法所满足的运算定律 因此在没有确定新运算是否具有这些性质之 前 不能运用这些运算律来解题 课后习题课后习题 1 a b 表示 a 的 3 倍减去 b 的 例如 2 1 1 2 1 3 2 2 根据以上的规定 计算 2 1 10 6 7 2 1 2 定义新运算为 a b b 1a 求 2 3 4 的值 若 x 4 1 35 则 x 3 有一个数学运算符号 使下列算式成立 求 的值 2 1 3 2 6 3 5 4 9 7 45 11 6 5 7 1 42 6 11 3 5 4 4 定义两种运算 对于任意两个整数 a b a b a b 1 a b a b 1 计算 4 6 8 3 5 的值 若 x x 4 30 求 x 的值 5 对于任意的整数 x y 定义新运算 x y 其中 m 是一个确定的整数 y 2x m y x 6 如果 1 2 2 则 2 9 6 对于数 a b 规定运算 为 a b a 1 1 b 若等式 a a a 1 a 1 a a 成立 求 a 的值 7 表示一种运算符号 它的含义是 x y xy 1 Ay1x 1 已知 2 1 求 1998 1999 的值 1 2 1 A112 1 3 2 8 a b 在 x 5 1 6 中 求 x 的值 b a ba 9 规定 a b a a 1 a 2 a b 1 a b 均为自然数 b a 如 果 x 10 65 那么 x 精品文档 5 欢迎下载 10 我们规定 符号 表示选择两数中较大数的运算 例如 5 3 3 5 5 符号 表示选 择两数中较小数的运算 例如 5 3 3 5 3 计算 25 2 106 237 99 34 3 0 33 23 625 0 26 17 6 0 课后习题解答课后习题解答 1 2 3 所以有 5x 2 30 解出 x 6 4 左边 精品文档 6 欢迎下载 8 解