一元二次方程提高题

第 1 页 共 21 页 一元二次方程提高题一元二次方程提高题 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 小题 1 一元二次方程 x2 6x 6 0 配方后化为 A x 3 2 15B x 3 2 3C x 3 2 15 D x 3 2 3 2 若关于 x 的方程 x2 2x 3 0 与 有一个解相同 则 a 的值为 A 1B 1 或 3C 1D 1 或 3 3 若关于 x 的方程 kx2 3x 0 有实数根 则实数 k 的取值范围是 A k 0 B k 1 且 k 0C k 1D k 1 4 关于 x 的一元二次方程 x2 a2 2a x a 1 0 的两个实数根互为相反数 则 a 的值为 A 2B 0C 1D 2 或 0 5 已知一元二次方程 x2 2x 1 0 的两根分别为 x1 x2 则 的值为 A 2B 1C D 2 6 对于方程 x2 2 x 2 m 如果方程实根的个数为 3 个 则 m 的值等于 A 1B C 2D 2 5 7 方程 x2 2x 1 4 0 求满足该方程的所有根之和为 A 0B 2C D 2 8 已知关于 x 的方程 m 1 2x 3 0 是一元二次方程 则 m 的值为 A 1B 1C 1 D 不能确定 9 m 是方程 x2 x 1 0 的根 则式子 2m2 2m 2015 的值为 A 2013B 2016C 2017D 2018 第 2 页 共 21 页 10 三角形两边长分别为 5 和 8 第三边是方程 x2 6x 8 0 的解 则此三角形的 周长是 A 15B 17C 15 或 17D 不能确定 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 小题 11 关于 x 的一元二次方程 k 1 x2 6x k2 k 0 的一个根是 0 则 k 的值是 12 已知实数 m 满足 m2 3m 1 0 则代数式 m2 的值等于 13 已知 m 是方程 x2 2017x 1 0 的一个根 则代数式 m2 2018m 3 的值 是 14 关于 x 的方程 x2 2mx 3m 0 的两个根是等腰 ABC 的两条边长 已知一个 根是 2 则 ABC 的周长为 15 若实数 a b 满足 a b a b 6 9 0 则 a b 的值为 三 解答题 共三 解答题 共 11 小题 小题 16 解方程 x 3 x 1 3 17 解一元二次方程 x2 3x 1 18 解方程 2x 1 2 2x 1 19 4x2 3 12x 用公式法解 20 解方程 2x2 4x 1 用配方法 第 3 页 共 21 页 21 已知 M 5x2 3 N 4x2 4x 1 求当 M N 时 x 的值 2 当 1 x 时 试比较 M N 的大小 22 已知关于 x 的一元二次方程 x2 2m 1 x m2 4 0 1 当 m 为何值时 方程有两个不相等的实数根 2 若边长为 5 的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的 2 倍 求 m 的 值 23 关于 x 的方程 x2 2k 1 x k2 2k 3 0 有两个不相等的实数根 1 求实数 k 的取值范围 2 设方程的两个实数根分别为 x1 x2 存不存在这样的实数 k 使得 x1 x2 若存在 求出这样的 k 值 若不存在 说明理由 24 学校为奖励 汉字听写大赛 的优秀学生 派王老师到商店购买某种奖品 他看到如图所示的关于该奖品的销售信息 便用 1400 元买回了奖品 求王老师 购买该奖品的件数 购买件数销售价格 第 4 页 共 21 页 不超过 30 件 单价 40 元 超过 30 件每多买 1 件 购买的所有衬衫单价降低 0 5 元 但单价不得低于 30 元 25 随着柴静纪录片 穹顶之下 的播出 全社会对空气污染问题越来越重视 空气净化器的销量也大增 商社电器从厂家购进了 A B 两种型号的空气净化 器 已知一台 A 型空气净化器的进价比一台 B 型空气净化器的进价多 300 元 用 7500 元购进 A 型空气净化器和用 6000 元购进 B 型空气净化器的台数相同 1 求一台 A 型空气净化器和一台 B 型空气净化器的进价各为多少元 2 在销售过程中 A 型空气净化器因为净化能力强 噪音小而更受消费者的 欢迎 为了增大 B 型空气净化器的销量 商社电器决定对 B 型空气净化器进行 降价销售 经市场调查 当 B 型空气净化器的售价为 1800 元时 每天可卖出 4 台 在此基础上 售价每降低 50 元 每天将多售出 1 台 如果每天商社电器销 售 B 型空气净化器的利润为 3200 元 请问商社电器应将 B 型空气净化器的售 价定为多少元 26 关于 x 的方程 x2 2x 2 其中 p 是实数 1 若方程没有实数根 求 P 的范围 2 若 p 0 问 p 为何值时 方程有两个相等的实数根 并求出这两个根 第 5 页 共 21 页 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 小题 1 2017 泰安 一元二次方程 x2 6x 6 0 配方后化为 A x 3 2 15B x 3 2 3C x 3 2 15 D x 3 2 3 分析 方程移项配方后 利用平方根定义开方即可求出解 解答 解 方程整理得 x2 6x 6 配方得 x2 6x 9 15 即 x 3 2 15 故选 A 点评 此题考查了解一元二次方程 配方法 熟练掌握完全平方公式是解本题 的关键 2 2017 凉山州 若关于 x 的方程 x2 2x 3 0 与 有一个解相同 则 a 的值为 A 1B 1 或 3C 1D 1 或 3 分析 两个方程有一个解相同 可以先求得第一个方程的解 然后将其代入 第二个方程来求 a 的值即可 注意 分式的分母不等于零 解答 解 解方程 x2 2x 3 0 得 第 6 页 共 21 页 x1 1 x2 3 x 3 是方程的增根 当 x 1 时 代入方程 得 解得 a 1 故选 C 点评 本题考查了解一元二次方程 因式分解法 分式方程的解 此题属于易 错题 解题时要注意分式的分母不能等于零 3 2017 齐齐哈尔 若关于 x 的方程 kx2 3x 0 有实数根 则实数 k 的取值范 围是 A k 0 B k 1 且 k 0C k 1D k 1 分析 讨论 当 k 0 时 方程化为 3x 0 方程有一个实数解 当 k 0 时 3 2 4k 0 然后求出两个中情况下的 k 的公共部分即可 解答 解 当 k 0 时 方程化为 3x 0 解得 x 当 k 0 时 3 2 4k 0 解得 k 1 所以 k 的范围为 k 1 故选 C 点评 本题考查了根的判别式 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根与 b2 4ac 有如下关系 当 0 时 方程有两个不相等的实数根 当 0 时 方 程有两个相等的实数根 当 0 时 方程无实数根 4 2017 呼和浩特 关于 x 的一元二次方程 x2 a2 2a x a 1 0 的两个实数根 互为相反数 则 a 的值为 第 7 页 共 21 页 A 2B 0C 1D 2 或 0 分析 设方程的两根为 x1 x2 根据根与系数的关系得 a2 2a 0 解得 a 0 或 a 2 然后利用判别式的意义确定 a 的取值 解答 解 设方程的两根为 x1 x2 根据题意得 x1 x2 0 所以 a2 2a 0 解得 a 0 或 a 2 当 a 2 时 方程化为 x2 1 0 4 0 故 a 2 舍去 所以 a 的值为 0 故选 B 点评 本题考查了根与系数的关系 若 x1 x2是一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根时 x1 x2 x1x2 也考查了根的判别式 5 2017 黔东南州 已知一元二次方程 x2 2x 1 0 的两根分别为 x1 x2 则 的值为 A 2B 1C D 2 分析 根据根与系数的关系得到 x1 x2 2 x1x2 1 利用通分得到 然后利用整体代入的方法计算 解答 解 根据题意得 x1 x2 2 x1x2 1 所以 2 故选 D 点评 本题考查了根与系数的关系 若 x1 x2是一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根时 x1 x2 x1x2 6 2017 江阴市自主招生 对于方程 x2 2 x 2 m 如果方程实根的个数为 3 第 8 页 共 21 页 个 则 m 的值等于 A 1B C 2D 2 5 分析 先把已知方程转化为关于 x 的一元二次方程的一般形式 再根据方程 有三个实数根判断出方程根的情况 进而可得出结论 解答 解 原方程可化为 x2 2 x 2 m 0 解得 x 1 若 1 0 则方程有四个实数根 方程必有一个根等于 0 1 0 1 0 解得 m 2 故选 C 点评 本题考查的是根的判别式及用公式法解一元二次方程 先根据题意得 出 x 的值 判断出方程必有一根为 0 是解答此题的关键 7 2017 雨城区校级自主招生 方程 x2 2x 1 4 0 求满足该方程的所有根之 和为 A 0B 2C D 2 分析 因为题目中带有绝对值符号 所以必须分两种情况进行讨论 去掉绝 对值符号 得到两个一元二次方程 求出方程的根 不在讨论范围内的根要舍 去 解答 解 当 2x 1 0 时 即 x 原方程化为 x2 2x 3 0 x 3 x 1 0 x1 3 x2 1 1 x2 1 舍去 x 3 第 9 页 共 21 页 当 2x 1 0 即 x 时 原方程化为 x2 2x 5 0 x 1 2 6 x 1 x1 1 x2 1 1 x1 1 舍去 x 1 则 3 1 2 故选 D 点评 本题考查的是解一元二次方程 由于带有绝对值符号 必须对题目进 行讨论 对不在讨论范围内的根要舍去 8 2017 凉山州一模 已知关于 x 的方程 m 1 2x 3 0 是一元二次方 程 则 m 的值为 A 1B 1C 1 D 不能确定 分析 根据一元二次方程的定义得出 m 1 0 m2 1 2 求出即可 解答 解 关于 x 的方程 m 1 2x 3 0 是一元二次方程 m 1 0 且 m2 1 2 即 m 1 且 m 1 解得 m 1 故选 B 点评 本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用 注意 是整式方 程 只含有一个未知数 所含未知数的项的最高次数是 2 9 2017 潮阳区模拟 m 是方程 x2 x 1 0 的根 则式子 2m2 2m 2015 的值为 A 2013B 2016C 2017D 2018 第 10 页 共 21 页 分析 根据一元二次方程的解的定义得到 m2 m 1 0 即 m2 m 1 然后利用 整体代入的方法计算 2m2 2m 2015 的值 解答 解 m 是方程 x2 x 1 0 的根 m2 m 1 0 即 m2 m 1 2m2 2m 2015 2 m2 m 2015 2 2015 2017 故选 C 点评 本题考查了一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未 知数的值是一元二次方程的解 10 2017 市中区三模 三角形两边长分别为 5 和 8 第三边是方程 x2 6x 8 0 的解 则此三角形的周长是 A 15B 17C 15 或 17D 不能确定 分析 求出已知方程的解确定出第三边 即可求出三角形周长 解答 解 方程 x2 6x 8 0 分解因式得 x 2 x 4 0 解得 x 2 或 x 4 当 x 2 时 三角形三边长为 2 5 8 不能构成三角形 舍去 当 x 4 时 三角形三边长为 4 5 8 周长为 4 5 8 17 故选 B 点评 此题考查了解一元二次方程 因式分解法 以及三角形三边关系 熟练 掌握因式分解的方法是解本题的关键 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 小题 11 2017 菏泽 关于 x 的一元二次方程 k 1 x2 6x k2 k 0 的一个根是 0 则 k 的值是 0 第 11 页 共 21 页 分析 由于方程的一个根是 0 把 x 0 代入方程 求出 k 的值 因为方程是 关于 x 的二次方程 所以未知数的二次项系数不能是 0 解答 解 由于关于 x 的一元二次方程 k 1 x2 6x k2 k 0 的一个根是 0 把 x 0 代入方程 得 k2 k 0 解得 k1 1 k2 0 当 k 1 时 由于二次项系数 k 1 0 方程 k 1 x2 6x k2 k 0 不是关于 x 的二次方程 故 k 1 所以 k 的值是 0 故答案为 0 点评 本题考查了一元二次方程的解法 一元二次方程的定义 解决本题的 关键是解一元二次方程确定 k 的值 过程中容易忽略一元二次方程的二次项系 数不等于 0 这个条件 12 2017 镇江 已知实数 m 满足 m2 3m 1 0 则代数式 m2 的值等于 9 分析 先表示出 m2 3m 1 代入代数式 通分 化简即可得出结论 解答 解 m2 3m 1 0 m2 3m 1 m2 3m 1 3m 1 第 12 页 共 21 页 9 故答案为 9 点评 此题主要考查了代数式的化简求值 分式的通分 约分 解本题的关 键是得出 m2 3m 1 13 2017 北仑区模拟 已知 m 是方程 x2 2017x 1 0 的一个根 则代数式 m2 2018m 3 的值是 2 分析 根据一元二次方程根的定义得到 m2 2017m 1 再利用整体代入的方法 得到原式 2017m 1 2018m 3 然后合并即可 解答 解 m 是方程 x2 2017x 1 0 的一个根 m2 2017m 1 0 m2 2017m 1 原式 2017m 1 2018m 3 1 m m 3 2 故答案为 2 点评 本题考查了一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未 知数的值是一元二次方程的解 14 2017 威海一模 关于 x 的方程 x2 2mx 3m 0 的两个根是等腰 ABC 的两 条边长 已知一个根是 2 则 ABC 的周长为 14 分析 利用一元二次方程解的定义 把 x 2 代入 x2 2mx 3m 0 得 m 4 则方 程化为 x2 8x 12 0 利用因式分解法解得 x1 2 x2 6 然后利用三角形三边的关 系确定三角形三边 再计算它的周长 第 13 页 共 21 页 解答 解 把 x 2 代入 x2 2mx 3m 0 得 4 4m 3m 0 解得 m 4 所以方程化为 x2 8x 12 0 解得 x1 2 x2 6 所以三角形三边为 6 6 2 所以 ABC 的周长为 14 故答案为 14 点评 本题考查了一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未 知数的值是一元二次方程的解 15 2017 曹县模拟 若实数 a b 满足 a b a b 6 9 0 则 a b 的值为 3 分析 设 t a b 则原方程转化为关于 t 的方程 t t 6 9 0 由此求得 t 的 值即可 解答 解 设 t a b 则由原方程得到 t t 6 9 0 整理 得 t 3 2 0 解得 t 3 即 a b 3 故答案是 3 点评 本题考查了换元法解一元二次方程 换元的实质是转化 关键是构造 元和设元 理论依据是等量代换 目的是变换研究对象 将问题移至新对象的 知识背景中去研究 从而使非标准型问题标准化 复杂问题简单化 变得容易 处理 三 解答题 共三 解答题 共 11 小题 小题 16 2017 丽水 解方程 x 3 x 1 3 分析 先把方程化为一般式 然后利用因式分解法解方程 第 14 页 共 21 页 解答 解 方程化为 x2 4x 0 x x 4 0 所以 x1 0 x2 4 点评 本题考查了解一元二次方程 因式分解法 就是因式分解法就是利用因 式分解求出方程的解的方法 这种方法简便易用 是解一元二次方程最常用的 方法 17 2017 埇桥区模拟 解一元二次方程 x2 3x 1 分析 配方 开方 即可得出两个方程 求出方程的解即可 解答 解 x2 3x 1 x2 3x 2 1 2 x 2 开方得 x x1 x2 点评 本题考查了解一元二次方程 能选择适当的方法解一元二次方程是解 此题的关键 18 2017 广元模拟 解方程 2x 1 2 2x 1 分析 因式分解法求解可得 解答 解 2x 1 2 2x 1 0 2x 1 2x 1 1 0 即 2x 2x 1 0 则 x 0 或 2x 1 0 解得 x 0 或 x 点评 本题主要考查解一元二次方程的能力 熟练掌握解一元二次方程的几 种常用方法 直接开平方法 因式分解法 公式法 配方法 结合方程的特点 第 15 页 共 21 页 选择合适 简便的方法是解题的关键 19 2017 江汉区校级模拟 4x2 3 12x 用公式法解 分析 利用公式法求解可得 解答 解 原方程整理为 4x2 12x 3 0 a 4 b 12 c 3 144 4 4 3 192 0 则 x 点评 本题主要考查解一元二次方程的能力 熟练掌握解一元二次方程的几 种常用方法 直接开平方法 因式分解法 公式法 配方法 结合方程的特点 选择合适 简便的方法是解题的关键 20 2017 江汉区校级模拟 解方程 2x2 4x 1 用配方法 分析 方程两边都除以 2 配方 开方 即可得出两个方程 求出方程的解 即可 解答 解 方程整理得 x2 2x 配方得 x2 2x 1 即 x 1 2 开方得 x 1 解得 x1 1 x2 1 点评 本题考查了解一元二次方程 能正确配方是解此题的关键 21 2017 萧山区模拟 已知 M 5x2 3 N 4x2 4x 1 求当 M N 时 x 的值 2 当 1 x 时 试比较 M N 的大小 第 16 页 共 21 页 分析 1 利用题意列方程 5x2 3 4x2 4x 然后利用因式分解法解方程即可 2 利用求差法得到 M N x 1 x 3 然后根据 x 的取值范围确定积的符合 从而得到 M 与 N 的关系关系 解答 解 1 根据题意得 5x2 3 4x2 4x 整理得 x2 4x 3 0 x 1 x 3 0 x 1 0 或 x 3 0 所以 x1 1 x2 3 2 M N 5x2 3 x2 4x x2 4x 3 x 1 x 3 1 x x 1 0 x 3 0 M N x 1 x 3 0 M N 点评 本题考查了解一元二次方程 因式分解法 因式分解法就是利用因式分 解求出方程的解的方法 这种方法简便易用 是解一元二次方程最常用的方 法 注意因式分解的应用 22 2017 绥化 已知关于 x 的一元二次方程 x2 2m 1 x m2 4 0 1 当 m 为何值时 方程有两个不相等的实数根 2 若边长为 5 的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的 2 倍 求 m 的 值 分析 1 根据方程的系数结合根的判别式 即可得出 4m 17 0 解之 即可得出结论 2 设方程的两根分别为 a b 根据根与系数的关系结合菱形的性质 即可 第 17 页 共 21 页 得出关于 m 的一元二次方程 解之即可得出 m 的值 再根据 a b 2m 1 0 即 可确定 m 的值 解答 解 1 方程 x2 2m 1 x m2 4 0 有两个不相等的实数根 2m 1 2 4 m2 4 4m 17 0 解得 m 当 m 时 方程有两个不相等的实数根 2 设方程的两根分别为 a b 根据题意得 a b 2m 1 ab m2 4 2a 2b 为边长为 5 的菱形的两条对角线的长 a2 b2 a b 2 2ab 2m 1 2 2 m2 4 2m2 4m 9 52 25 解得 m 4 或 m 2 a 0 b 0 a b 2m 1 0 m 4 若边长为 5 的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的 2 倍 则 m 的值为 4 点评 本题考查了根的判别式 根与系数的关系 菱形的性质以及解一元二 次方程 解题的关键是 1 根据方程的系数结合根的判别式 找出 4m 17 0 2 根据根与系数的关系结合菱形的性质 找出关于 m 的一元 二次方程 23 2017 鄂州 关于 x 的方程 x2 2k 1 x k2 2k 3 0 有两个不相等的实数 根 1 求实数 k 的取值范围 2 设方程的两个实数根分别为 x1 x2 存不存在这样的实数 k 使得 第 18 页 共 21 页 x1 x2 若存在 求出这样的 k 值 若不存在 说明理由 分析 1 由方程有两个不相等的实数根知 0 列出关于 k 的不等式求解 可得 2 由韦达定理知 x1 x2 2k 1 x1x2 k2 2k 3 k 1 2 2 0 将原式两边平方后 把 x1 x2 x1x2代入得到关于 k 的方程 求解可得 解答 解 1 方程有两个不相等的实数根 2k 1 2 4 k2 2k 3 4k 11 0 解得 k 2 存在 x1 x2 2k 1 x1x2 k2 2k 3 k 1 2 2 0 将 x1 x2 两边平方可得 x12 2x1x2 x22 5 即 x1 x2 2 4x1x2 5 代入得 2k 1 2 4 k2 2k 3 5 解得 4k 11 5 解得 k 4 点评 本题主要考查根与系数的关系及根的判别式 熟练掌握判别式的值与 方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键 24 2017 皇姑区一模 学校为奖励 汉字听写大赛 的优秀学生 派王老师到 商店购买某种奖品 他看到如图所示的关于该奖品的销售信息 便用 1400 元买 回了奖品 求王老师购买该奖品的件数 购买件数销售价格 不超过 30 件 单价 40 元 超过 30 件每多买 1 件 购买的所有衬衫单价降低 0 5 元 但单价不得低于 30 元 分析 根据题意首先表示出每件商品的价格 进而得出购买商品的总钱数 第 19 页 共 21 页 进而得出等式求出答案 解答 解 30 40 1200 1400 奖品数超过了 30 件 设总数为 x 件 则每件商品的价格为 40 x 30 0 5 元 根据题意可得 x 40 x 30 0 5 1400 解得 x1 40 x2 70 x 70 时 40 70 30 0 5 20 30 x 70 不合题意舍去 答 王老师购买该奖品的件数为 40 件 点评 此题主要考查了一元二次方程的应用 根据题意正确表示出每件商品 的价格是解题关键 25 2017 三门峡一模 随着柴静纪录片 穹顶之下 的播出 全社会对空气 污染问题越来越重视 空气净化器的销量也大增 商社电器从厂家购进了 A B 两种型号的空气净化器 已知一台 A 型空气净化器的进价比一台 B 型空气 净化器的进价多 300 元 用 7500 元购进 A 型空气净化器和用 6000 元购进 B 型 空气净化器的台数相同 1 求一台 A 型空气净化器和一台 B 型空气净化器的进价各为多少元 2 在销售过程中 A 型空气净化器因为净化能力强 噪音小而更受消费者的 欢迎 为了增大 B 型空气净化器的销量 商社电器决定对 B 型空气净化器进行 降价销售 经市场调查 当 B 型空气净化器的售价为 1800 元时 每天可卖出 4