甘肃省高台县第一中学2020届高三数学上学期期中试题 理

1 甘肃省高台县第一中学甘肃省高台县第一中学 20202020 届高三数学上学期期中试题届高三数学上学期期中试题 理理 1 1 选择题 本大题共选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 请将答案写在答题卡上分 请将答案写在答题卡上 1 已知集合 则 2 log 1 0 axx 3 bx x r c ab a b c d 1 2 3 2 3 1 2 3 2 若复数满足 则 z 1 42zii z a 5b c 25d 1717 3 正方形abcd中 点e f分别是dc bc的中点 那么ef a 11 22 abad b 11 22 abad c 11 22 abad d 11 22 abad 4 等比数列 n a 的前n项和为 n s 公比为q 若 63 9ss 5 62s 则 1 a a 2 b 2 c 5 d 3 5 过抛物线的焦点的直线 交抛物线于 两点 如xy4 2 l 11 yxp q 22 yx 果 则 6 21 xxpq a 6 b 7 c 8 d 9 6 在圆心角为 90 的扇形中 以圆心 o 为起点作射线 oc 则使得 aoc 与 boc 都不小 于 15 的概率为 a b c d 1 4 1 3 1 2 2 3 7 在长方体 abcd a1b1c1d1中 ab 3 ad 1 aa1 点 o 为长方形 abcd 对角线的2 2 交点 e 为棱 cc1的中点 则异面直线 ad1与 oe 所成的角为 a 30 b 45 c 60 d 90 8 在中 内角 的对边分别是 外接圆半径为 若abc abcabcr 且的面积为 则 1 sinsinsin 2 bbaaac abc 2 2sin 1 cos2 rba cosb a b c d 1 4 1 3 1 2 3 4 9 为得到函数的图象 只需要将函数的图象 a 向左平行移动 个单位 b 向右平行移动 个单位 c 向左平行移动个单位 d 向右平行移动个单位 10 在三棱锥 p abc 中 点 p a b c 均在球 o 的球面上 且 ab bc ab 8 bc 6 若此三棱锥体积的最大值为 则球 o 的表面积为 40 5 a b c d 90 120 160 180 11 已知数列 是递增的等差数列 且 是函数的两个零 n a 2 a 3 a65 2 xxxf 点 设数列 2 1 nn a a 的前项和为 若不等式 对任意正整数恒n n t n t 1 log1 3 a a n 成立 则实数 a 的取值范围为 a 0 b 0 c 0 d 0 1 1 4 1 3 1 2 12 已知函数在上至少存在两个不同的 2 0 sin 2 xxf 3 2 2 3 满足 且函数在上具有单调性 和 21 x x4 21 xfxf xf 12 3 0 6 分别为函数图象的一个对称中心和一条对称轴 则下列命题中正确的是 12 7 x xf a 函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为 xf 4 b 函数图象关于直线对称 xf 3 x c 函数图象关于点对称 xf 0 12 d 函数在上是单调递减函数 xf 2 6 2 2 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 展开式中的常数项为 6 1 2 x x 14 已知f x x3 2x2 x 6 则f x 在点p 1 2 处的切线与坐标轴围成的三角形 的面积等于 15 将甲 乙等 5 位同学分别保送到北京大学 上海交通大学 浙江大学三所大学就读 则每所大学至少保送一人的不同保送方法有 种 16 过抛物线的焦点的直线交该抛物线于 两点 若 2 2 0 c xpy p fab 为坐标原点 则 4 afbf o af of 三 解答题 三 解答题 6 6 个小题 共个小题 共 7070 分分 17 12 分 已知数列是递增的等差数列 且 成等比 n a 3 5a 1 a 75 aa 36 aa 数列 4 1 求数列的通项公式 n a 2 若 数列的前项和 求满足的最小的的值 11 2 2 n nn b aa n bn n s 24 25 n s n 18 12 分 某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系 对该校 200 名高三学 生平均每天体育锻炼的时间进行调查 调查结果如下表 平均每天锻炼的 时间 分钟 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 总人数 203644504010 将学生日均体育锻炼时间在 40 60 的学生评价为 锻炼达标 1 请根据上述表格中的统计数据填写下面 2 2 列联表 锻炼不达标锻炼达标合计 男 女 20110 合计 并通过计算判断 是否能在犯错误的概率不超过 0 025 的前提下认为 锻炼达标 与性 别有关 2 在 锻炼达标 的学生中 按男女用分层抽样方法抽出 10 人 进行体育锻炼体会 交流 5 求这 10 人中 男生 女生各有多少人 从参加体会交流的 10 人中 随机选出 2 人作重点发言 记这 2 人中女生的人数为x 求x的分布列和数学期望 参考公式 k2 2 n adbc abcdacbd 其中n a b c d 临界值表 p k2 k0 0 100 050 0250 010 k02 7063 8415 0246 635 19 三棱锥a bcd中 abc和 bcd所在平面互相垂直 且 bc bd 4 ac 4 cd 4 acb 45 e f分别为ac dc的中点 23 1 求证 平面abd 平面bcd 2 求二面角e bf c的正弦值 20 12 分 已知椭圆 其短轴为 离心率为 双曲线 e 22 22 1 0 xy ab ab 4 1 e 的渐近线为 离心率为 且 22 1 xy mn 0m 0n yx 2 e 12 1e e 1 求椭圆的方程 e 2 设椭圆的右焦点为 过点作斜率不为的直线交椭圆于 两 ef 4 0 g 0emn 6 点 设直线和的斜率为 试判断是否为定值 若是定值 求出 fmfn 1 k 2 k 12 kk 该定值 若不是定值 请说明理由 21 12 分 已知函数 1 0 x f xa xea 1 讨论函数的单调性 f x 2 当时 令函数 当时 恒有0a 1 xkx g xeekx 0 x 求实数的取值范围 2 4 g f xg xx a 请请考考生生在在 2 22 2 2 23 3 题题中中任任选选一一题题作作答答 如如果果多多做做 则则按按所所做做的的第第一一题题计计分分 选修选修 4 44 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 22 10 分 在直角坐标系中 直线 的参数方程为 为参数 以xoyl 1cos 2sin xt yt t 坐标原点为极点 以轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 曲线的极坐标方程为xc 2cos4sin0 1 求曲线的普通方程 c 2 已知 直线 与曲线交于 两点 求的最大值 1 2 mlcpq 22 mpmq 7 选修选修 4 54 5 不等式选讲 不等式选讲 23 10 分 已知函数 21 xxxf 1 求不等式的解集 03 xxf 2 设函数 若存在使成立 求实数的取值 22 xxfxg x 2 2g x 范围 高台县第一中学高台县第一中学 20192019 年秋学期高三年级期中考试年秋学期高三年级期中考试 数学 理科 试卷数学 理科 试卷 试卷命制 审题教师 3 3 选择题 本大题共选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 请将答案写在答题卡上分 请将答案写在答题卡上 1 已知集合 则 2 log 1 0 axx 3 bx x r c ab a b c d 1 2 3 2 3 1 2 3 答案 d 解析 由集合 则或 2 log 1 0 12 axxxx 1 r c ax x 2 x 又 所以 3 bx x 1 2 3 r c ab 2 若复数满足 则 z 1 42zii z a 5 5b c 2525d 1717 答案 a 解析 由 得 所以 所以 1 42zii 42 124 i zi i 34zi 5z 3 正方形abcd中 点e f分别是dc bc的中点 那么ef 8 a 11 22 abad b 11 22 abad c 11 22 abad d 11 22 abad 答案 c 4 等比数列 n a 的前n项和为 n s 公比为q 若 63 9ss 5 62s 则 1 a a 2 b 2 c 5 d 3 答案 b 5 过抛物线的焦点的直线 交抛物线于 两点 如xy4 2 l 11 yxp q 22 yx 果 则 6 21 xxpq a 6 b 7 c 8 d 9 答案 c 6 如图 在圆心角为 90 的扇形中 以圆心o为起点作射线oc 则使得 aoc与 boc 都不小于 15 的概率为 a b 1 4 1 3 c d 1 2 2 3 解析 在上取c1 c2两点使 aoc1 15 boc2 15 则满足条件的射线oc ab 落在 c1oc2内部 c1oc2 60 则所求概率为 故选 d 60 90 2 3 9 答案 d 7 在长方体 abcd a1b1c1d1中 ab 3 ad 1 aa1 点 o 为长方形 abcd 对角线的2 交点 e 为棱 cc1的中点 则异面直线 ad1与 oe 所成的角为 a 30 b 45 c 60 d 90 8 在中 内角 的对边分别是 外接圆半径为 若abc abcabcr 且的面积为 则 1 sinsinsin 2 bbaaac abc 2 2sin 1 cos2 rba cosb a b c d 1 4 1 3 1 2 3 4 答案 d 解析 由正弦定理得 1 sinsinsin 2 bbaaac 22 1 2 baac 的面积为 abc 22 2sin 1 cos2 sinrbaab 2 1 sinsin 2 acbab 则 代入 得 2ca 22 2ba 由余弦定理得 222222 2 423 244 cos acbaaa ac b a 9 为得到函数的图象 只需要将函数的图象 a 向左平行移动 个单位 b 向右平行移动 个单位 10 c 向左平行移动个单位 d 向右平行移动个单位 答案 d 详解 由题将函数可化为 将的图象转换为 该图象向右平移个单位 即可得到的图象 10 在三棱锥 p abc 中 点 p a b c 均在球 o 的球面上 且 ab bc ab 8 bc 6 若此三棱锥体积的最大值为 则球 o 的表面积为 40 5 a b c d 90 120 160 180 11 12 已知数列 是递增的等差数列 且 是函数的两个零 n a 2 a 3 a65 2 xxxf 点 设数列 2 1 nn a a 的前项和为 若不等式 对任意正整数恒n n t n t 1 log1 3 a a n 成立 则实数 a 的取值范围为 a 0 b 0 c 0 d 0 1 1 4 1 3 1 2 12 已知函数在上至少存在两个不同的 2 0 sin 2 xxf 3 2 2 满足 且函数在上具有单调性 和 21 x x4 21 xfxf xf 12 3 0 6 分别为函数图象的一个对称中心和一条对称轴 则下列命题中正确的是 12 7 x xf a 函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为 xf 4 b 函数图象关于直线对称 xf 3 x c 函数图象关于点对称 xf 0 12 d 函数在上是单调递减函数 xf 2 6 12 4 4 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 展开式中的常数项为 240240 6 1 2 x x 14 已知f x x3 2x2 x 6 则f x 在点p 1 2 处的切线与坐标轴围成的三角形 的面积等于 解析 f x x3 2x2 x 6 f x 3x2 4x 1 f 1 8 故切线方程为y 2 8 x 1 即 8x y 10 0 13 令x 0 得y 10 令y 0 得x 5 4 所求面积s 10 1 2 5 4 25 4 15 将甲 乙等 5 位同学分别保送到北京大学 上海交通大学 浙江大学三所大学就读 则每所大学至少保送一人的不同保送方法有 种 解答 解 根据题意 分 2 步进行分析 先将甲 乙等 5 位同学分成 3 组 若分成 1 2 2 的三组 有 15 种分组方法 若分成 1 1 3 的三组 有 10 种分组方法 则将 5 人分成 3 组 有 15 10 25 种分组方法 将分好的三组对应三所大学 有 a33 6 种情况 则每所大学至少保送一人的不同保送方法 25 6 150 种 16 过抛物线的焦点的直线交该抛物线于 两点 若 2 2 0 c xpy p fab 为坐标原点 则 4 afbf o af of 14 三 解答题 三 解答题 6 6 个小题 共个小题 共 7070 分分 17 12 分 已知数列是递增的等差数列 且 成等比 n a 3 5a 1 a 75 aa 36 aa 数列 1 求数列的通项公式 n a 2 若 数列的前项和 求满足的最小的的值 11 2 2 n nn b aa n bn n s 24 25 n s n 答案 1 2 21 n an 13 解析 1 设的公差为 n ad0d 15 由条件得 1 2 11 25 27 2 0 ad aadd d 1 1 2 a d 12 1 21 n ann 2 11 211 2 2121 n nn b aann 1111112 11 33521212121 n n s nnnn l 由 得 满足的最小的的值为 224 2125 n n n 24 25 n s n13 18 12 分 某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系 对该校 200 名高 三学生平均每天体育锻炼的时间进行调查 调查结果如下表 平均每天锻炼的 时间 分钟 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 总人数 203644504010 将学生日均体育锻炼时间在 40 60 的学生评价为 锻炼达标 1 请根据上述表格中的统计数据填写下面 2 2 列联表 锻炼不达标锻炼达标合计 男 女 20110 合计 并通过计算判断 是否能在犯错误的概率不超过 0 025 的前提下认为 锻炼达标 与性别有关 2 在 锻炼达标 的学生中 按男女用分层抽样方法抽出 10 人 进行体育锻炼 体会交流 16 求这 10 人中 男生 女生各有多少人 从参加体会交流的 10 人中 随机选出 2 人作重点发言 记这 2 人中女生的人数为 x 求x的分布列和数学期望 参考公式 k2 2 n adbc abcdacbd 其中n a b c d 临界值表 p k2 k0 0 100 050 0250 010 k02 7063 8415 0246 635 18 17 19 19 如图 三棱锥如图 三棱锥a a bcdbcd中 中 abcabc和和 bcdbcd所在平面互相垂直 且所在平面互相垂直 且 bcbc bdbd 4 4 acac 4 4 cdcd 4 4 acbacb 45 45 e e f f分别为分别为acac dcdc的中点 的中点 导学号导学号 2 23 3 55460186 55460186 18 1 1 求证 平面求证 平面abdabd 平面平面bcdbcd 2 2 求二面角求二面角e e bfbf c c的正弦值 的正弦值 练方法练方法 练规范练规范 练满分练满分 练能力练能力 1 1 证明 证明 由由bcbc 4 4 acac 4 4 acbacb 45 45 2 2 则则abab 4 4 4 42 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2c co os s 4 45 5 acac2 2 bcbc2 2 abab2 2 则 则 abcabc 90 90 abab bcbc 2 2 分分 又平面又平面abcabc 平面平面bcdbcd 平面 平面abcabc 平面平面bcdbcd bcbc abab 平面平面abcabc abab 平面平面bcdbcd 又又abab 平面平面abdabd 故平面故平面abdabd 平面平面bcdbcd 4 4 分分 2 2 解 解 由由bcbc bdbd 点 点f f为为dcdc的中点 知的中点 知bfbf dcdc cdcd 4 4知知cfcf 2 2 3 33 3 则则 sin sin fbcfbc 2 2 3 3 4 4 3 3 2 2 19 fbcfbc 60 60 则 则 dbcdbc 120 120 6 6 分分 如图所示 以点如图所示 以点b b为坐标原点 以平面为坐标原点 以平面dbcdbc内与内与bcbc垂直的直线为垂直的直线为x x轴 以轴 以bcbc为为y y轴 以轴 以 baba为为z z轴建立空间直角坐标系 轴建立空间直角坐标系 则则b b 0 0 0 0 0 0 a a 0 0 0 0 4 4 c c 0 0 4 4 0 0 e e 0 0 2 2 2 2 d d 2 2 2 2 0 0 f f 1 1 0 0 3 33 3 8 8 分分 0 0 2 2 2 2 1 1 0 0 b be e b bf f 3 3 显然平面显然平面cbfcbf的一个法向量为的一个法向量为n n1 1 0 0 0 0 1 1 设平面设平面befbef的法向量为的法向量为n n2 2 x x y y z z 取取x x 1 1 得一个法向量 得一个法向量n n2 2 1 1 10 10 分分 3 33 3 设二面角设二面角e e bfbf c c的大小为的大小为 则则 cos cos cos cos n n1 1 n n2 2 n n1 1 n n2 2 n n1 1 n n2 2 3 3 7 7 2 21 1 7 7 因此因此 sinsin 则二面角 则二面角e e bfbf c c的正弦值为的正弦值为 12 12 分分 2 2 7 7 7 7 2 2 7 7 7 7 20 12 分 已知椭圆 其短轴为 离心率为 双曲线 e 22 22 1 0 xy ab ab 4 1 e 的渐近线为 离心率为 且 22 1 xy mn 0m 0n yx 2 e 12 1e e 1 求椭圆的方程 e 20 2 设椭圆的右焦点为 过点作斜率不为的直线交椭圆于 两 ef 4 0 g 0emn 点 设直线和的斜率为 试判断是否为定值 若是定值 求出 fmfn 1 k 2 k 12 kk 该定值 若不是定值 请说明理由 答案 1 2 见解析 22 1 84 xy 解析 1 由题意可知 24b 2b 1 m n 双曲线的离心率 2 12 n e m 则椭圆的离心率为 椭圆的离心率 则 1 2 2 e 2 1 2 2 1 2 cb e aa 2 2a 椭圆的标准方程 22 1 84 xy 2 设直线的方程为 mn 4 0 yk xk 22 4 28 yk x xy 消去整理得 y 2222 12 163280kxk xk 设 则 11 m x y 22 n xy 2 12 2 16 21 k xx k 2 12 2 328 21 k x x k 1212 12 1212 4 4 2222 yyk xk x kk xxxx 12211212 1212 4 2 4 2 26 16 2 2 2 2 xxxxx xxx kk xxxx 将 2 12 2 16 21 k xx k 2 12 2 328 21 k x x k 代入上式得 即 1212 26 160 x xxx 12 0kk 21 21 12 分 已知函数 1 0 x f xa xea 1 讨论函数的单调性 f x 2 当时 令函数 当时 恒有0a 1 xkx g xeekx 0 x 求实数的取值范围 2 4 g f xg xx a 解析 1 2 x fxaex 当时 在上 函数单调递减 在上 0a 2 0fx f x 2 函数单调递增 0fx f x 当时 在上 函数单调递增 在上 0a 2 0fx f x 2 函数单调递减 0fx f x 综上 当时 递减区间为 递增区间为 当时 递增区0a 2 2 0a 间为 递减区间为 2 2 2 1 1 1 kxxkxx g xkekek ee 0 x 10 x e 当时 由于 所以 即 0k 0 x 10 kx e 0g x 当时 由于 所以 即 0k 0 x 10 kx e 0g x 当时 0k 10 x g xe 综上 当时 函数单调递增 0 x g x 所以由可得 即 2 4 g f xg xx 2 4f xxx 2 1 4 x a xexx 22 等价