必修四向量加法运算及其几何意义(附答案)

1 向量加法运算及其几何意义向量加法运算及其几何意义 学习目标 1 理解并掌握加法的概念 了解向量加法的物理意义及其几何意义 2 掌握向量 加法的三角形法则和平行四边形法则 并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算 3 了解向量加法的交换律和结合律 并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性 知识点一 向量的加法 1 向量加法的定义 定义 求两个向量和的运算 叫做向量的加法 对于零向量与任一向量 a 规定 0 a a 0 a 2 向量求和的法则 三角形法则 如图 已知非零向量 a b 在平面内任取一点 A 作 a b 则向量叫做 a 与 b 的和 记作 a b 即 AB BC AC a b AB BC AC 平行四边 形法则 如图 已知两个不共线向量 a b 作 a b 以 AB AD AB 为邻边作 ABCD AD 则对角线上的向量 a b AC 2 思考 如图 已知向量 a b 分别利用三角形法则和平行四边形法则作出向量 a b 答案 作法 1 在平面内任取一点 O 作 a b 则 a b OA AB OB 作法 2 在平面内任取一点 O 作 a b 以 OA OB 为邻边作 OACB 连接 OA OB OC 则 a b OC OA OB 知识点二 向量的加法和向量的模 1 当向量 a 与 b 不共线时 a b 的方向与 a b 都不相同 且 a b a b 2 当 a 与 b 同向时 a b a b 的方向相同 且 a b a b 3 当 a 与 b 反向时 若 a b 则 a b 与 a 的方向相同 且 a b a b 若 a b 0 则向量 a b 的方向 A 与向量 a 方向相同 B 与向量 a 方向相反 C 与向量 b 方向相同 D 不确定 2 下列等式错误的是 A a 0 0 a a B 0 AB BC AC C 0 D AB BA CA AC MN NP PM 3 a b 为非零向量 且 a b a b 则 A a b 且 a 与 b 方向相同 B a b 是共线向量且方向相反 9 C a b D a b 无论什么关系均可 4 如图所示 在平行四边形 ABCD 中 等于 BC DC BA A B BD DB C D BC CB 5 如图所示 在正六边形 ABCDEF 中 若 AB 1 则 等于 AB FE CD A 1 B 2 C 3 D 2 3 6 设 a b 是任一非零向量 则下列结论中正确的是 AB CD BC DA a b a b a a b b a b a b a b a b A B C D 二 填空题 7 根据图示填空 其中 a b c d DC CO OB BA 1 a b c 2 b d c 8 已知 a 3 b 5 则向量 a b 模长的最大值是 9 已知正方形 ABCD 的边长为 1 a b c 则 a b c AB AC BC 10 已知点 G 是 ABC 的重心 则 GA GB GC 10 三 解答题 11 如图 平行四边形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 交于 O 点 P 为平面内任意一点 求证 4 PA PB PC PD PO 12 已知 a 3 b 3 AOB 60 OA OB 求 a b 13 如图所示 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线和反向延长线上取点 F E 使 BE DF 求证 四边形 AECF 是平行四边形 11 当堂检测答案 1 答案 B 2 答案 D 解析 0 FD DA DE FA DE 0 AD BE CF AD DF FA FD DE AD FE AD AD DB AB 0 AD EC FD AD AD DB BD 故选 D 3 答案 2 13 解析 2 2 2 AB BC AC AC AC 13 4 解 1 AB CD BC AB BC CD AD 2 MA BN AC CB MA AC CB BN MC CN MN 3 0 AB BD CA DC AB BD DC CA 5 证明 AP AB BP AQ AC CQ AP AQ AB AC BP CQ 又 BP QC 且与方向相反 BP CQ 0 BP CQ 即 AP AQ AB AC AB AC AP AQ 12 课时精练答案 一 选择题 1 答案 A 解析 如果 a 和 b 方向相同 则它们的和的方向应该与 a 或 b 的方向相同 如果它们的方 向相反 而 a 的模大于 b 的模 则它们的和的方向与 a 的方向相同 2 答案 B 解析 2 0 故 B 错 AB BC AC AC AC AC 3 答案 A 4 答案 C 解析 0 BC DC BA BC DC BA BC BC 5 答案 B 解析 2 AB FE CD AB BC CD AD 6 答案 C 解析 a 0 a b a b b a b a b 故选 C 二 填空题 7 答案 1 2 DB CA 解析 1 a b c DC CO OB DB 2 b d c CO BA OB CA 8 答案 8 13 解析 a b a b 3 5 8 a b 的最大值为 8 9 答案 2 2 解析 a b c AB AC BC AB BC AC 2 2 AC AC AC 2 10 答案 0 解析 如图所示 连接 AG 并延长交 BC 于 E 点 点 E 为 BC 的中点 延长 AE 到 D 点 使 GE ED 则 0 GB GC GD GD GA 0 GA GB GC 三 解答题 11 证明 PA PB PC PD PO OA PO OB PO OC PO OD 4 PO OA OB OC OD 4 PO OA OC OB OD 4 0 0 4 PO PO 4 PA PB PC PD PO 12 解 如图 3 OA OB 14 四边形 OACB 为菱形 连接 OC AB 则 OC AB 设垂足为 D AOB 60 AB 3 OA 在 Rt BDC 中 CD 3 3 2 a b 2 3 OC 3