2011高考数学一轮复习精讲精练系列 导数及其应用教案（上册）

用心 爱心 专心 导数及其应用导数及其应用 1 1 了解导数概念的某些实际背景 如瞬时速度 加速度 光滑曲线切线的斜率等 掌握函 数在一点处的导数的定义和导数的几何意义 理解导函数的概念 2 2 熟记八个基本导数公式 c m x m 为有理数 xxaexx a xx log ln cos sin 的导数 掌握两个 函数和 差 积 商的求导法则 了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数 3 3 理解可导函数的单调性与其导数的关系 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充 分条件 导数在极值点两侧异号 会求一些实际问题 一般指单峰函数 的最大值和最小值 导数 导数的概念 导数的求法和 差 积 商 复合函数的导数 导数的应用 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 导数的应用价值极高 主要涉及函数单调性 极大 小 值 以及最大 小 值等 遇 到有关问题要能自觉地运用导数 第 1 课时 变化率与导数 导数的计算 1 1 导数的概念 函数 y xf的导数 x f 就是当 x 0 时 函数的增量 y 与自变量 的增量 x的比 x y 的 即 x f 2 2 导函数 函数 y xf在区间 a b 内 的导数都存在 就说 xf在区间 a b 内 其导数也是 a b 内的函数 叫做 xf的 记作 x f 或 x y 函数 xf的导函 数 x f 在 0 xx 时的函数值 就是 xf在 0 x处的导数 基础过关基础过关 知识网络知识网络 考纲导读考纲导读 高考导航高考导航 用心 爱心 专心 3 3 导数的几何意义 设函数 y xf在点 0 x处可导 那么它在该点的导数等于函数所表示曲 线在相应点 00 yxM处的 4 4 求导数的方法 1 八个基本求导公式 C n x n Q sin x cos x x e x a ln x log x a 2 导数的四则运算 vu xCf uv v u 0 v 3 复合函数的导数 设 xu 在点 x 处可导 ufy 在点 xu 处可导 则复合函数 xf 在点 x 处可导 且 x f 即 xux uyy 例例 1 1 求函数 y 1 2 x在 x0到 x0 x 之间的平均变化率 解解 y 11 11 11 2 0 2 0 2 0 2 02 0 2 0 xxx xxx xxx 11 2 11 2 2 0 2 0 0 2 0 2 0 2 0 xxx xx x y xxx xxx 变式训练变式训练 1 1 求 y x在 x x0处的导数 解解 limlimlim 00 0000 0 00 00 xxxx xxxxxx x xxx x y xxx 2 11 lim 000 0 xxxx x 例例 2 2 求下列各函数的导数 1 sin 2 5 x xxx y 2 3 2 1 xxxy 3 4 cos21 2 sin 2 xx y 4 1 1 1 1 xx y 典型例题典型例题 用心 爱心 专心 解解 1 sinsin 2 3 2 3 2 5 2 1 x x xx x xxx y y cossin23 2 3 sin 232 2 5 23 2 3 xxxxxxxxxx 2 方法一方法一 y x2 3x 2 x 3 x3 6x2 11x 6 y 3x2 12x 11 方法二方法二 y 3 2 1 3 2 1 xxxxxx 2 1 2 1 xxxx x 3 x 1 x 2 x 2 x 1 x 3 x 1 x 2 2x 3 x 3 x 1 x 2 3x2 12x 11 3 y sin 2 1 2 cos 2 sinx xx cos 2 1 sin 2 1 sin 2 1 xxxy 4 x xx xx xx y 1 2 1 1 11 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 22 xx x x y 变式训练变式训练 2 2 求 y tanx 的导数 解解 y cos 1 cos sincos cos cossincos sin cos sin 22 22 2 xx xx x xxxx x x 例例 3 3 已知曲线 y 3 4 3 1 3 x 1 求曲线在 x 2 处的切线方程 2 求曲线过点 2 4 的切线方程 解解 1 y x2 在点 P 2 4 处的切线的斜率 k y x 2 4 曲线在点 P 2 4 处的切线方程为 y 4 4 x 2 即 4x y 4 0 2 设曲线 y 3 4 3 1 3 x与过点 P 2 4 的切线相切于点 3 4 3 1 3 00 xxA 则切线的斜率 k y 0 x x 2 0 x 切线方程为 3 4 3 1 0 2 0 3 0 xxxxy 即 3 4 3 2 3 0 2 0 xxxy 点 P 2 4 在切线上 4 3 4 3 2 2 3 0 2 0 xx 即 044 043 2 0 2 0 3 0 2 0 3 0 xxxxx 0 1 1 4 1 000 2 0 xxxx x0 1 x0 2 2 0 解得 x0 1 或 x0 2 用心 爱心 专心 故所求的切线方程为 4x y 4 0 或 x y 2 0 变式训练变式训练 3 3 若直线 y kx 与曲线 y x3 3x2 2x 相切 则 k 答案答案 2 或 4 1 例例 4 4 设函数 bx axxf 1 a b Z Z 曲线 xfy 在点 2 2 f处的切线方程为 y 3 1 求 xf的解析式 2 证明 曲线 xfy 上任一点的切线与直线 x 1 和直线 y x 所围三角形的面积为定值 并求出此定值 1 解解 2 1 bx axf 于是 0 2 1 3 2 1 2 2 b a b a 解得 1 1 b a 或 3 8 4 9 b a 因为 a b Z Z 故 1 1 x xxf 2 证明证明 在曲线上任取一点 1 1 0 00 x xx 由 2 0 0 1 1 1 x xf知 过此点的切线方程为 1 1 1 1 1 0 2 00 0 2 0 xx xx xx y 令 x 1 得 1 1 0 0 x x y 切线与直线 x 1 1 交点为 1 1 1 0 0 x x 令 y x 得12 0 xy 切线与直线 y x 的交点为 12 12 00 xx 直线 x 1 1 与直线 y x 的交点为 1 1 从而所围三角形的面积为222 1 2 2 1 1121 1 1 2 1 0 0 0 0 0 x x x x x 所以 所围三角形的面积为定值 2 变式训练变式训练 4 4 偶函数 f x ax4 bx3 cx2 dx e 的图象过点 P 0 1 且在 x 1 处的切线方 程为 y x 2 求 y f x 的解析式 解解 f x 的图象过点 P 0 1 e 1 又 f x 为偶函数 f x f x 故 ax4 bx3 cx2 dx e ax4 bx3 cx2 dx e b 0 d 0 f x ax4 cx2 1 函数 f x 在 x 1 处的切线方程为 y x 2 可得切点为 1 1 a c 1 1 用心 爱心 专心 1 f 4ax3 2cx x 1 4a 2c 4a 2c 1 由 得 a 2 5 c 2 9 函数 y f x 的解析式为 1 2 9 2 5 24 xxxf 1 理解平均变化率的实际意义和数学意义 2 要熟记求导公式 对于复合函数的导数要层层求导 3 搞清导数的几何意义 为解决实际问题 如切线 加速度等问题打下理论基础 第 2 课时 导数的概念及性质 1 1 函数的单调性 函数 y xf在某个区间内可导 若 x f 0 则 xf为 若 x f 0 则 xf为 逆命题不成立 2 如果在某个区间内恒有0 x f 则 xf 注 连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的 3 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 确定函数 xf的 求 x f 令 解此方程 求出它在定义区间内的一切实根 把函数 xf的间断点 即 xf的无定义点 的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺 序排列起来 然后用这些点把函数 xf的定义区间分成若干个小区间 确定 x f 在各小开区间内的 根据 x f 的符号判定函数 xf在各个相应小开区 间内的增减性 2 2 可导函数的极值 极值的概念 设函数 xf在点 0 x附近有定义 且对 0 x附近的所有点都有 或 则称 0 xf为函数的一个极大 小 值 称 0 x为极大 小 值点 求可导函数极值的步骤 求导数 x f 求方程 x f 0 的 小结归纳小结归纳 基础过关基础过关 用心 爱心 专心 检验 x f 在方程 x f 0 的根左右的符号 如果在根的左侧附近为正 右侧附近为负 那么函数 y xf在这个根处取得 如果在根的左侧附近为负 右侧为正 那么函 数 y xf在这个根处取得 3 3 函数的最大值与最小值 设 y xf是定义在区间 a b 上的函数 y xf在 a b 内有导数 则函数 y xf在 a b 上 有最大值与最小值 但在开区间内 有最大值与最小值 2 求最值可分两步进行 求 y xf在 a b 内的 值 将 y xf的各 值与 af bf比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为 最小值 3 若函数 y xf在 a b 上单调递增 则 af为函数的 bf为函数的 若函数 y xf在 a b 上单调递减 则 af为函数的 bf为函数的 例例 1 1 已知 f x ex ax 1 1 求 f x 的单调增区间 2 若 f x 在定义域 R R 内单调递增 求 a 的取值范围 3 是否存在 a 使 f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 若存在 求 出 a 的值 若不存在 说明理由 解 解 xf ex a 1 若 a 0 xf ex a 0 恒成立 即 f x 在 R R 上递增 若 a 0 ex a 0 ex a x lna f x 的单调递增区间为 lna 2 f x 在 R R 内单调递增 xf 0 在 R R 上恒成立 ex a 0 即 a ex在 R R 上恒成立 a ex min 又 ex 0 a 0 3 方法一方法一 由题意知 ex a 0 在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 ex在 0 上为增函数 x 0 时 ex最大为 1 a 1 同理可知 ex a 0 在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 a 1 a 1 方法二方法二 由题意知 x 0 为 f x 的极小值点 0 f 0 即 e0 a 0 a 1 变式训练变式训练 1 1 已知函数 f x x3 ax 1 1 若 f x 在实数集 R R 上单调递增 求实数 a 的取值范围 2 是否存在实数 a 使 f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出 a 的取值范围 若不 典型例题典型例题 用心 爱心 专心 存在 说明理由 3 证明 f x x3 ax 1 的图象不可能总在直线 y a 的上方 1 解解 由已知 xf 3x2 a f x 在 上是单调增函数 xf 3x2 a 0 在 上恒成立 即 a 3x2对 x R R 恒成立 3x2 0 只需 a 0 又 a 0 时 xf 3x2 0 故 f x x3 1 在 R R 上是增函数 则 a 0 2 解解 由 xf 3x2 a 0 在 1 1 上恒成立 得 a 3x2 x 1 1 恒成立 1 x 1 3x2 3 只需 a 3 当 a 3 时 xf 3 x2 1 在 x 1 1 上 xf 0 即 f x 在 1 1 上为减函数 a 3 故存在实数 a 3 使 f x 在 1 1 上单调递减 3 证明证明 f 1 a 20 即 e ax ax2 2x 0 得 0 x a 2 f x 在 0 2 a 上是减函数 在 a 2 0上是增函数 当 0 a 2 2 时 f x 在 1 2 上是减函数 f x max f 1 e a 当 1 a 2 2 即 1 a 2 时 f x 在 a 2 1上是增函数 在 2 2 a 上是减函数 f x max f a 2 4a 2e 2 当 a 2 2 时 即 0 a 1 时 f x 在 1 2 上是增函数 f x max f 2 4e 2a 综上所述 当 0 a2 时 f x 的最大值为 e a 变式训练变式训练 3 3 设函数 f x x x a 2 x R R 其中 a R R 1 当 a 1 时 求曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 2 当 a 0 时 求函数 f x 的极大值和极小值 解解 1 当 a 1 时 f x x x 1 2 x3 2x2 x f 2 2 xf 3x2 4x 1 2 f 12 8 1 5 当 a 1 时 曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 5x y 8 0 2 f x x x a 2 x3 2ax2 a2x xf 3x2 4ax a2 3x a x a 用心 爱心 专心 令 xf 0 解得 x 3 a 或 x a 由于 a 0 以下分两种情况讨论 若 a 0 当 x 变化时 xf 的正负如下表 x 3 a 3 a 3 a a a a xf 0 0 f x 3 27 4 a 0 因此 函数 f x 在 x 3 a 处取得极小值 f 3 a 且 f 3 a 27 4 3 a 函数 f x 在 x a 处取得极大值 f a 且 f a 0 若 a0 xP 0 时 x 12 当 0 x0 当 x 12 时 xP 0 xf 0 的 x 的取值范围 小结归纳小结归纳 用心 爱心 专心 导数及其应用单元检测题 一 选择题一 选择题 1 曲线 y ex在点 2 e2 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A 4 9 e2 B 2e2 C e2 D 2 e2 2 如果函数 y f x 的图象如图所示 那么导函数 y xf 的图象可能是 3 设 f x x2 2 x 则 f x 的单调增区间是 A 0 3 4 B 3 4 C 0 D 0 3 4 4 设 a R R 若函数 y ex ax x R R 有大于零的极值点 则 A a 1 C a e 1 5 已知函数 y f x x3 px2 qx 的图象与 x 轴切于非原点的一点 且 y极小值 4 那么 p q 的 值分别为 A 6 9 B 9 6 C 4 2 D 8 6 6 已知 x 0 y 0 x 3y 9 则 x2y 的最大值为 A 36 B 18 C 25 D 42 7 下列关于函数 f x 2x x2 ex的判断正确的是 f x 0 的解集是 x 0 x 2 f 2 是极小值 f 2 是极大值 f x 没有最小值 也没有最大值 A B C D 8 函数 f x 的图象如图所示 下列数值排序正确的是 A 0 2 f 3 f f 3 f 2 B 0 3 f f 3 f 2 2 f C 0 f 3 2 f f 3 f 2 D 0 f 3 f 2 2 f 3 f 用心 爱心 专心 9 若函数 f x x3 ax2 1 在 0 2 内单调递减 则实数 a 的取值范围为 A a 3 B a 3 C a 3 D 0 a 3 10 函数 f x x3 ax2 bx a2 在 x 1 时有极值 10 则 a b 的值为 A a 3 b 3 或 a 4 b 11 B a 4 b 11 C a 3 b 3 D 以上都不正确 11 使函数 f x x 2cosx 在 0 2 上取最大值的 x 为 A 0 B 6 C 3 D 2 12 若函数 f x x3 3bx 3b 在 0 1 内有极小值 则 A 0 b 1 B b0 D b 2 1 二 填空题二 填空题 13 若 f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 没有极值 则 a 的取值范围为 14 如图是 y f x 导数的图象 对于下列四个判断 f x 在 2 1 上是增函数 x 1 是 f x 的极小值点 f x 在 1 2 上是增函数 在 2 4 上是减函数 x 3 是 f x 的极小值点 其中判断正确的是 15 函数 f x 的导函数 y xf 的图象如右图 则函数 f x 的单调递增区间为 16 已知函数 f x 的导函数为 xf 且满足 f x 3x2 2x 2 f 则 5 f 三 解答题三 解答题 17 已知函数 f x x3 2 1 x2 bx c 1 若 f x 在 上是增函数 求 b 的取值范围 2 若 f x 在 x 1 处取得极值 且 x 1 2 时 f x c2恒成立 求 c 的取值范围 18 设 p f x x2 4 x a 在 2 和 2 上是单调增函数 q 不等式 x2 2x a 的解 集为 R R 用心 爱心 专心 如果 p 与 q 有且只有一个正确 求 a 的取值范围 19 已知函数 f x x x 1 x a 在 2 上是增函数 试确定实数 a 的取值范围 20 已知定义在 R R 上的函数 f x 2x3 bx2 cx b c R R 函数 F x f x 3x2是奇函数 函数 f x 在 x 1 处取极值 1 求 f x 的解析式 2 讨论 f x 在区间 3 3 上的单调性 21 如图所示 P 是抛物线 C y 2 1 x2上一点 直线 l 过点 P 并与抛物线 C 在点 P 的切线垂直 l 与抛物线 C 相交于另一点 Q 当点 P 在抛物线 C 上移动时 求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程 并求点 M 到 x 轴的最短距离 22 已知某质点的运动方程为 s t t3 bt2 ct d 下图是其运动轨迹的一部分 若 用心 爱心 专心 t 2 1 4 时 s t 3d2恒成立 求 d 的取值范围 导数及其应用单元检测题答案 一 选择题一 选择题 1 答案 D 2 答案 A 3 答案 A 4 答案 A 5 答案 A 6 答案 A 7 答案 D 8 答案 B 9 答案 A 10 答案 B 11 答案 B 12 答案 A 二 填空题二 填空题 13 答案 1 2 14 答案 15 答案 1 0 和 2 16 答案 6 三 解答题三 解答题 17 解解 1 xf 3x2 x