层次分析法论文

1层次分析法应用于城市购房决策中的实例分析濮长飞南京晓庄学院 04 数本 2 班 摘要：摘要：本文针对消费者购房这一具体问题，基于高等代数矩阵内容，立足于数学建模，通过具体实例的分析详细描述了采用层次分析法解决多目标决策问题的方法和步骤，为消费者的购房决策提供科学合理的办法。关键词：关键词：成对比较矩阵；特征根；特征向量；层次分析法 随着经济的发展，收入水平的增加，消费者对商品房的要求也在增加。目前多数消费者购房有的因为工作，有的是为了改善居住环境，还有的是为了投资。不管是什么原因，由于涉及金额巨大，购房需慎之又慎，以免花钱买后悔。 针对消费者的需求，房地产开发商也在不断地推出新的楼盘。这些楼盘往往各有各的特点，这使得消费者经常因选房而筋疲力尽，生怕捡了芝麻丢了西瓜。究其原因，主要是考虑的因素太多，价格、交通、环境等等。如就价格而言，甲比乙便宜；而就交通而言，乙又不如甲，这就使得购房者难以做出孰优孰劣的判断。但是，所有的购房者都想买到物美价廉的房子，这是总目标，如果我们能够对备选房源“物美价廉”的程度进行量化，就能通过简单的数值比较做出决策。运用统计学中的层次分析法就能轻松解决这一决策难题。一、层次分析法概述一、层次分析法概述1 简介 层次分析法是美国运筹学家萨蒂在 20 世纪 70 年代提出的一种实用的定性和定量相结合的多准则决策方法。它是把复杂的决策按照目标层、准则层、子准则层、方案层的顺序表示为一个有序的递阶层次结构，通过人们的比较判断，计算各种决策方案在不同准则及总目标之下的相对重要性权重，从而把难以量化的各种方案定量化，以得到各种方案的相对优劣的排序值，并据此做出最后的决策。2 层次分析法的基本步骤 第一步：根据问题的性质和要求，提出一个总目标。将目标逐层分解为几个层次，建立层次结构模型。 2 第二步：对同一层次的各元素关于上一层次某一准则的重要性进行两两比较并赋权值，构造成对比较矩阵。 设某层有个因素，要比较它们对上一层某一准则(或目标)的影响程度，确定n1,nxXX在该层中相对于某一准则所占的比重。上述比较是两两因素之间的比较，比较时取尺度。用1 9表示第 个因素相对于第个因素的比较结果， 则ijaij ， 称为成对比较矩阵。1111()nijn nnnnaaAaaaA比较尺度：(尺度的含义) 1 9 第三步：针对某一准则，计算各方案的相对权重，即层次单排序，并进行一致性检验。定义一致性指标 1nCIn其中为最大特征根，为矩阵阶数。n随机一致性指标的数据如下：RI 尺度 含义 1第 个因素与第个因素的影响相同ij 3第 个因素比第个因素的影响稍强ij 5第 个因素比第个因素的影响强ij 7第 个因素比第个因素的影响明显强ij 9第 个因素比第个因素的影响绝对强ij 2,4,6,8第 个因素相对于第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间ij 倒数两要素相比，后者比前者重要性标度 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11RI 0 00.580.901.121.241.321.411.451.491.513 一般地，当一致性比率时，检验通过，可用其归一化特征向量作为权向量。0.1CICRRI 第四步：计算各层元素对总目标的合成权重，即层次总排序。 设层个因素，对总目标的排序为，层个因素对上层 AAm12,mA AAZ12,ma aaBn中因素为的层次单排序为，jA12,jjnjbbb1,2,jnB 层的层次总排序为： ： 1B1 112 121mmaba ba b ： 2B1 212222mmaba ba b ： nB1122nnmnmaba ba b即 B 层第 个因素对总目标的权值为。i1mjijja b二、实例分析二、实例分析某公司部门主管毕业五年后欲在南京市购买一套商品房，由于南京市每个区的情况不一样，他要先确定在哪个区买，等地点确定后再确定在哪个楼盘买。以下是他确定地点需要参考的五个标准： A1 交通状况 A2 环境质量 A3 配套设施 A4 子女教育 A5 价格AB 1212,mmA AAa aaB 层的层次总排序 1B 2B nB 11121,mbbb21222,mbbb 12,nnnmbbb111mjjja bc221mjjja bc 1mjnjnja bc4 有三个可供选择的方案： B1 江宁区 B2 鼓楼区 B3 栖霞区 决策者要分析和解决的问题是如何合理选择一套自己较满意的住房。因此要对上述三种方案进行分析，按优劣顺序选择最佳方案。1 建立层次结构模型：上述五个标准都是该购房者在选择住房时应考虑的因素，其目的是要选择购买合适的住房。据此可以建立层次分析结构模型如下图： 选择合适的地点 Z 交通状况A1配套设施A3子女教育A4价格A5鼓楼区 B2江宁区 B1栖霞区 B3环境质量A22 构造六个成对比较矩阵如下表： 表 1 表 2 表 3 表 4表 5 表 6 ZA1A2A3A4A5A1 11/2 31/31/3A2 2 1 51/41/2A31/31/5 11/7 1/5A4 3 4 7 1 3A5 3 2 51/3 1A1B1B2B3B1 11/7 1/5B2 7 1 3B3 51/3 1A2B1B2B3B1 1 7 3B21/7 11/3B31/3 3 1A3B1B2B3B1 11/7 1/3B2 7 1 5B3 31/5 15 3 层次单排序，并进行一致性检验求解各元素排序权重的方法有很多，本文采用最大特征根法，即用最大特征根对应的特征向量归一化后作为权向量。由 MATLAB 软件算得结果如下：（以下各特征根及特征向量依次对应于表格）1 6 15.20360.1885,0.2817,0.0770,0.8351,0.4264a 23.064910.1013,0.9140,0.3928b 33.007020.9331,0.1226,0.3382b 43.064930.1067,0.9628,0.2483b 53.038540.1506,0.9161,0.3715b 63.071350.9643,0.0821,0.2517b 接下来进行一致性检验： 115.203650.050915 1nCIn110.05090.0450.11.12CICRRI 223.064930.0324513 1nCIn220.032450.0560.10.58CICRRI 333.007030.003513 1nCIn330.00350.0060.10.58CICRRI 443.064930.0324513 1nCIn440.032450.0560.10.58CICRRI 553.038530.0192513 1nCIn550.019250.0330.10.58CICRRI 663.071330.0356513 1nCIn660.035650.0610.10.58CICRRI可以认为检验通过，将六个特征向量归一化得权向量：0.1043,0.1557,0.0426,0.4617,0.2357a A4B1B2B3B1 11/5 1/3B2 5 1 3B3 31/3 1A5B1B2B3B1 1 9 5B21/9 11/4B31/5 4 1610.0719,0.6491,0.2790b 20.6694,0.0880,0.2426b 30.0810,0.7306,0.1884b 40.1047,0.6370,0.2583b 50.7429,0.0632,0.1939b 由上可知，就选房而言，子女教育是最重要的，其次为房价；而就交通状况鼓楼区最好；环境质量江宁区最优；配套设施鼓楼区最齐全；子女教育鼓楼最佳；房价江宁最便宜。4 层次总排序于是，可计算出各待选方案关于总目标的排序：0.07190.66940.08100.10470.74290.1043 0.64910.1557 0.08800.0426 0.73060.4617 0.63700.2357 0.06320.27900.24260.18840.25830.19390.339,0.422,0.239综合考虑购房要求，应在鼓楼区买房。此人已决定在鼓楼买房，接下来就要确定在哪个楼盘买。以下是他确定楼盘的五个标准： D1 内部结构 D2 小区环境 D3 楼层 D4 地段 D5 面积 有三个可供选择的房源： E1 房源甲 E2 房源乙 E3 房源丙同样地，第一步：先建立层次结构模型：7内部结构D1楼层D3地段D4面积D5房源乙 E2房源甲 E1房源丙 E3小区环境D2 第二步：构造成对比较矩阵： 表 7 表 8 表 9 表 10 表 11 表 12 第三步：层次单排序，并进行一致性检验，仍然采用最大特征根法CD1D2D3D4D5D1 11/4 41/51/2D2 4 1 61/3 2D31/41/6 11/7 1/3D4 5 3 7 1 5D5 21/2 31/5 1D1E1E2E3E1 1 2 5E21/2 1 2E31/51/2 1D2E1E2E3E1 11/31/5E2 3 11/2E3 5 2 1D3E1E2E3E1 1 2 4E21/2 1 2E31/41/2 1D5E1E2E3E1 11/2 1E2 2 1 2E3 11/2 1D4E1E2E3E1 11/3 1/2E2 3 1 1E3 2 1 1 选择合适的房源 C 8算得结果如下：（以下各特征根及特征向量依次对应于表格）7 12 75.23760.1593,0.4228,0.0722,0.8624,0.2169d 83.005510.8902,0.4132,0.1918e 93.003720.1640,0.4629,0.8711e 103.000030.8729,0.4364,0.2182e 113.018340.2762,0.7238,0.6323e 123.000050.4082,0.8165,0.4082e 一致性检验： 775.237650.059415 1nCIn770.05940.0530.11.12CICRRI 883.005530.0027513 1nCIn880.002750.00470.10.58CICRRI 993.003730.0018513 1nCIn990.001850.00320.10.58CICRRI 10103.00003013 1nCIn101000.000.10.58CICRRI 11113.018330.0091513 1nCIn11110.009150.020.10.58CICRRI 12123.00003013 1nCIn121200.000.10.58CICRRI可以认为一致性检验通过，将特征向量归一化得：0.0919,0.2439,0.0416,0.4975,0.1251d 10.5954,0.2763,0.1283e 20.1095,0.3090,0.5815e 30.5715,0.2857,0.1428e 40.1692,0.4434,0.3874e 50.2500,0.5000,0.2500e 9由上可知，选择房源地段最重要，其次是小区环境；就内部结构而言房源甲最稳固；小区环境房源丙最佳；楼层房源甲最适宜；地段房源乙最好；面积房源乙最理想。第四步：层次总排序三个备选房源对于总目标的排序为：0.59540.10950.57150.16920.25000.0919 0.27630.2439 0.30900.0416 0.28570.4975 0.44340.1251 0.50000.12830.58150.14280.38740.25000.221,0.396,0.383可以看出，房源乙是最佳选择。三、结语三、结语 对于一个普通消费者来说，买房可能是其一生中最大的一笔投资。但是由于对房子的要求较多，而且这些要求无法量化，消费者很难做出准确的判断，只能根据开发商的描述和房源周围环境感性购房。这种情况下房子质量往往得不到保证。本文就消费者购房这一具体问题，详细描述了采用层次分析法解决多目标决策问题的方法及步骤，把定性分析和定量计算结合起来，有效地克服了主观臆断性，做到了选择的科学性和合理性。其最大的特点就是简单易懂，容易掌握，是消费者科学购房的一种实用方法。当然不是说层次分析分析法在解决这类问题时一点缺点没有，它也有不足之处：1 它只能从原有方案中选优，不能生成新方案；2 它的比较、判断、直到结果都是粗糙的，不适于精度要求很高的问题；3 从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素的作用很大，这就使得决策结果可能难以为众人接受。当然，采取专家群体判断的办法是克服这一缺点的一种途径。 10参考文献参考文献：1 William.F.Lucas. 离散与系统模型. 国防科技大学出版社,19962 姜启源,谢金星,叶俊. 数学建模（第三版）. 高等教育出版社,20033 陈修兰. 层次分析法应用于经济决策中的实例分析. 山西煤炭管理干部学院学报. 2006.14 莫生红,吕宏芬,李明伟. 层次分析法在市民购房决策中的应用. 经济论坛. 2007 年第 19 期