最新北师大版九年级上相似三角形(知识点+练习例题+答案)

1 学生编号学生编号学生姓名学生姓名 授课教师授课教师 辅导学科辅导学科九年级数学九年级数学教材版本教材版本上教上教 课题名称课题名称相似三角形相似三角形课时进度课时进度总第 总第 课时 课时授课时间授课时间7 7 月月 2828 日日 教学目标教学目标 掌握相似三角形的概念 性质及判定方法 能够灵活应用相似三角形的性质和判定掌握相似三角形的概念 性质及判定方法 能够灵活应用相似三角形的性质和判定 方法方法解决实际问题 方法方法解决实际问题 重点难点重点难点 重点 相似三角形的概念 判定定理和相似三角形的性质重点 相似三角形的概念 判定定理和相似三角形的性质 难点 如何根据问题的结论 在较复杂的图形中找到所要证明的相似三角形 难点 如何根据问题的结论 在较复杂的图形中找到所要证明的相似三角形 同步教学内容及授课步骤同步教学内容及授课步骤 知识点归纳 知识点归纳 1 三角形相似的判定方法 1 定义法 对应角相等 对应边成比例的两个三角形相似 2 平行法 平行于三角形一边的直线和其它两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角 形与原三角形相似 3 判定定理 1 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等 那么这两 个三角形相似 简述为 两角对应相等 两三角形相似 4 判定定理 2 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例 并且夹角相等 那么这 两个三角形相似 简述为 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 5 判定定理 3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例 那么这两个三角形相 似 简述为 三边对应成比例 两三角形相似 6 判定直角三角形相似的方法 以上各种判定均适用 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似 直角三角形 中 斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 比例中项 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 如图 Rt ABC 中 BAC 90 AD 是斜边 BC 上的高 则有射影定理如下 1 AD 2 BD DC 2 AB 2 BD BC 2 3 AC 2 CD BC 注 由上述射影定理还可以证明 勾股定理 即 AB 2 AC 2 BC 2 典型例题 典型例题 例 1 如图 已知等腰 ABC 中 AB AC AD BC 于 D CG AB BG 分别交 AD AC 于 E F 求证 BE2 EF EG 证明 如图 连结 EC AB AC AD BC ABC ACB AD 垂直平分 BC BE EC 1 2 ABC 1 ACB 2 即 3 4 又 CG AB G 3 4 G 又 CEG CEF CEF GEC EG CE CE EF EC2 EG EF 故 EB2 EF EG 解题技巧点拨 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质 线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证 明 而其中利用线段的垂直平分线的性质得到 BE EC 把原来处在同一条直线上的三条线段 BE EF EC 转 换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键 例 2 已知 如图 AD 是 Rt ABC 斜 BC 上的高 E 是 AC 的中点 ED 与 AB 的延长线相交于 F 求证 BA FB AC FD 证法一 如图 在 Rt ABC 中 BAC Rt AD BC 3 3 C 又 E 是 Rt ADC 的斜边 AC 上的中点 ED 2 1 AC EC 2 C 又 1 2 1 3 DFB AFD DFB AFD FD FB AD BD 1 又 AD 是 Rt ABC 的斜边 BC 上的高 Rt ABD Rt CAD AD BD AC BA 2 由 1 2 两式得FD FB AC BA 故BA FB AC FD 证法二 过点 A 作 AG EF 交 CB 延长线于点 G 则BA FB AG FD 1 E 是 AC 的中点 ED AC D 是 GC 的中点 又 AD GC AD 是线段 GC 的垂直平分线 AG AC 2 由 1 2 两式得 BA FB AC FD 证毕 解题技巧点拨 本题证法中 通过连续两次证明三角形相似 得到相应的比例式 然后通过中间比 AD BD 过渡 使问题得证 证法二中是运用平行线分线段成比例定理的推论 三角形的中位线的判定 线段的垂直平分线的判定与性质使 问题得证 一 如何证明三角形相似 例例 1 如图 点 G 在平行四边形 ABCD 的边 DC 的延长线上 AG 交 BC BD 于点 E F 则 AGD 例例 2 已知 ABC 中 AB AC A 36 BD 是角平分线 求证 ABC BCD B G 4 例例 3 已知 如图 D 为 ABC 内一点连结 ED AD 以 BC 为边在 ABC 外作 CBE ABD BCE BAD 求证 DBE ABC 例例 4 矩形 ABCD 中 BC 3AB E F 是 BC 边的三等分点 连结 AE AF AC 问图中是否存在非全等的 相似三角形 请证明你的结论 二 如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例例 5 ABC 中 在 AC 上截取 AD 在 CB 延长线上截取 BE 使 AD BE 求证 DF AC BC FE 例例 6 已知 如图 在 ABC 中 BAC 900 M 是 BC 的中点 DM BC 于点 E 交 BA 的延长线于点 D 求证 1 MA2 MDME 2 MD ME AD AE 2 2 例例 7 如图 ABC 中 AD 为中线 CF 为任一直线 CF 交 AD 于 E 交 AB 于 F 求证 AE ED 2AF FB 三 如何用相似三角形证明两角相等 两线平行和线段相等 A B C D E M 1 2 5 例例 8 已知 如图 E F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点 且 求证 3 1 AD AF AB EB AEF FBD 例例 9 9 在平行四边形 ABCD 内 AR BR CP DP 各为四角的平分线 求证 SQ AB RP BC 例例 1010 已知 A C E 和 B F D 分别是 O 的两边上的点 且 AB ED BC FE 求证 AF CD 例例 1111 直角三角形 ABC 中 ACB 90 BCDE 是正方形 AE 交 BC 于 F FG AC 交 AB 于 G 求证 FC FG 例例 1212 Rt ABC 锐角 C 的平分线交 AB 于 E 交斜边上的高 AD 于 O 过 O 引 BC 的平行线交 AB 于 F 求证 AE BF 课后作业课后作业 学生姓名学生姓名所属年级所属年级九年级九年级辅导学科辅导学科数学数学 任课教师任课教师作业时限作业时限9090 分钟分钟布置时间布置时间月月 日日 一 填空题 A BC D E F G 6 1 已知 在 ABC 中 P 是 AB 上一点 连结 CP 当满足条件 ACP 或 APC 或 AC2 时 ACP ABC 2 两个相似三角形周长之比为 4 9 面积之和为 291 则面积分别是 3 如图 DEFG 是 Rt ABC 的内接正方形 若 CF 8 DG 4 2 则 BE 4 如图 直角梯形 ABCD 中 AD BC AD CD AC AB 已知 AD 4 BC 9 则 AC 5 ABC 中 AB 15 AC 9 点 D 是 AC 上的点 且 AD 3 E 在 AB 上 ADE 与 ABC 相似 则 AE 的长等于 6 如图 在正方形网格上画有梯形 ABCD 则 BDC 的度数为 7 ABC 中 AB AC A 36 BC 1 BD 平分 ABC 交于 D 则 BD AD 设 AB x 则关于 x 的方程是 8 如图 已知 D 是等边 ABC 的 BC 边上一点 把 ABC 向下折叠 折痕为 MN 使点 A 落在点 D 处 若 BD DC 2 3 则 AM MN 二 选择题 9 如图 在正 ABC 中 D E 分别在 AC AB 上 且AC AD 3 1 AE BE 则有 A AED BEDB AED CBD 7 C AED ABDD BAD BCD 10 如图 在 ABC 中 D 为 AC 边上一点 DBC A BC 6 AC 3 则 CD 的长为 A 1B 2 3 C 2D 2 5 11 如图 ABCD 中 G 是 BC 延长线上一点 AG 与 BD 交于点 E 与 DC 交于点 F 则图中相似三角形共 有 A 3 对 B 4 对 C 5 对 D 6 对 12 P 是 Rt ABC 的斜边 BC 上异于 B C 的一点 过点 P 作直线截 ABC 使截得的三角形与 ABC 相似 满足这样条件的直线共有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 13 如图 在直角梯形 ABCD 中 AB 7 AD 2 BC 3 若在 AB 上取一点 P 使以 P A D 为顶点的 三角形和以 P B C 为顶点的三角形相似 这样的 P 点有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 三 解答下列各题 14 如图 长方形 ABCD 中 AB 5 BC 10 点 P 从 A 点出发 沿 AB 作匀速运动 1 分钟可以到达 B 点 点 Q 从 B 点出发 沿 BC 作匀速直线运动 1 分钟可到 C 点 现在点 P 点 Q 同时分别从 A 点 B 点出发 经过 多少时间 线段 PQ 恰与线段 BD 垂直 8 15 已知 如图 正方形 DEFG 内接于 Rt ABC EF 在斜边 BC 上 EH AB 于 H 求证 1 ADG HED 2 EF2 BE FC 9 答案 答案 例例 1 分析 分析 关键在找 角相等 除已知条件中已明确给出的以外 还应结合具体的图形 利用公共角 对顶角及 由平行线产生的一系列相等的角 本例除公共角 G 外 由 BC AD 可得 1 2 所以 AGD EGC 再 1 2 对顶角 由 AB DG 可得 4 G 所以 EGC EAB 例例 2 分析 分析 证明相似三角形应先找相等的角 显然 C 是公共角 而另一组相等的角则可以通过计算来求得 借助 于计算也是一种常用的方法 证明 A 36 ABC 是等腰三角形 ABC C 72 又 BD 平分 ABC 则 DBC 36 在 ABC 和 BCD 中 C 为公共角 A DBC 36 ABC BCD 例例 3 分析 分析 由已知条件 ABD CBE DBC 公用 所以 DBE ABC 要证的 DBE 和 ABC 有一对 角相等 要证两个三角形相似 或者再找一对角相等 或者找夹这个角的两边对应成比例 从已知条件中可 看到 CBE ABD 这样既有相等的角 又有成比例的线段 问题就可以得到解决 证明 证明 在 CBE 和 ABD 中 CBE ABD BCE BAD CBE ABD 即 BC AB BE BD BC BE AB BD DBE 和 ABC 中 CBE ABD DBC 公用 CBE DBC ABD DBC DBE ABC 且 DBE ABC BC BE AB BD 例例 4 分析 分析 本题要找出相似三角形 那么如何寻找相似三角形呢 下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形 1 如图 称为 平行线型 的相似三角形 E 2 如图 其中 1 2 则 ADE ABC 称为 相交线型 的相似三角形 E E 1 2 4 2 3 如图 1 2 B D 则 ADE ABC 称为 旋转型 的相似三角形 观察本题的图形 如果存在相似三角形只可能是 相交线型 的相似三角形 及 EAF 与 ECA 解 设 AB a 则 BE EF FC 3a 由勾股定理可求得 AE 在 EAF 与 ECA 中 AEF 为公共角 且所以 a22 AE EC EF AE EAF ECA 例例 5 分析分析 证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及 DF FE BC AC 再利用相似三角形或平行线性质进行 证明 证明 过 D 点作 DK AB 交 BC 于 K DK AB DF FE BK BE 又 AD BE DF FE BK AD 而 BK AD BC AC 即 DF FE BC AC DF AC BC FE 例例 6 证明 证明 1 BAC 900 M 是 BC 的中点 MA MC 1 C DM BC C D 900 B 1 D 2 2 MAE MDA MA2 MDME MA ME MD MA 10 2 MAE MDA MD MA AD AE MA ME AD AE MD ME MA ME MD MA AD AE 2 2 评注 评注 命题 1 如图 如果 1 2 那么 ABD ACB AB2 ADAC 命题 2 如图 如果 AB2 ADAC 那么 ABD ACB 1 2 例例 7 分析分析 图中没有现成的相似形 也不能直接得到任何比例式 于是可以考虑作平行线构造相似形 怎样作 观察要证明的结论 紧紧扣住结论中 AE ED 的特征 作 DG BA 交 CF 于 G 得 AEF DEG 与结论相比较 显然问题转化为证 DG AF DE AE BF AF FB AF ED AE 2 1 2 FBDG 2 1 证明 证明 过 D 点作 DG AB 交 FC 于 G 则 AEF DEG 平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线 所得三角形与原三角形相似 1 DG AF DE AE D 为 BC 的中点 且 DG BF G 为 FC 的中点则 DG 为 CBF 的中位线 2 将 2 代入 1 BFDG 2 1 得 FB AF BF AF DE AE2 2 1 例例 8 分析 分析 要证角相等 一般来说可通过全等三角形 相似三角形 等边对等角等方法来实现 本题要证的两个 角分别在两个三角形中 可考虑用相似三角形来证 但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似 一个在 直角三角形中 另一个在斜三角形中 所以证明本题的关键是构造相似三角形 证明 证明 作 FG BD 垂足为 G 设 AB AD 3k 则 BE AF k AE DF 2k BD k23 ADB 450 FGD 900 DFG 450 DG FG BG k DF 2 2 kkk22223 2 1 BG FG AE AF 又 A FGB 900 AEF GBF AEF FBD 例例 9 分析 要证明两线平行较多采用平行线的判定定理 但本例不具备这样的条件 故可考虑用比例线段去证明 利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标 选择适当的比例线段 要证明 SQ AB 只需证明 AR AS BR DS 证明 在 ADS 和 ARB 中 DAR RAB DAB DCP PCB ABC ADS ABR 2 1 2 1 DS BR AS AR 但 ADS CBQ DS BQ 则 SQ AB 同理可证 RP BC BQ BR AS AR 例例 10 分析 要证明 AF CD 已知条件中有平行的条件 因而有好多的比例线段可供利用 这就要进行正确的选 择 其实要证明 AF CD 只要证明即可 因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成 OD OF OC OA 功 证明 AB ED BC FE 两式相乘可得 OD OB OE OA OB OF OC OE OD OF OC OA 例例 11 分析 要证明 FC FG 从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等 但存在较多的平行线的条件 因而 可用比例线段来证明 要证明 FC FG 首先要找出