第五章线性系统的频域分析法2

精品文档 118欢迎下载 第 5 章 线性系统的频域分析法 Frequency response analysis 5 1 频率特性及其表示法 幅相曲线 对数频率特性曲线 5 2 典型环节对数频率特性曲线的绘制 5 3 典型环节的幅相曲线的绘制 5 4 稳定裕度和判据 5 2 典型环节对数频率特性曲线的绘制 5 2 5 最小相位系统与非最小相位系统 Minimum phase systems and non minimum phase systems 在右半 s 平面内既无极点也无零点的传递函数 称为最小相位传 递函数 反之 在右半 s 平面内有极点和 或 零点的传递函数 称 为非最小相位传递函数 具有最小相位传递函数的系统称为最小相位 系统 反之 具有非最小相位传递函数的系统 称为非最小相位系统 在具有相同幅值特性的系统中 最小相位传递函数 系统 的相 角范围 在所有这类系统中是最小的 任何非最小相位传递函数的相 角范围 都大于最小相位传递函数的相角范围 对于最小相位系统 其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定 对 于非最小相位系统则不是这种情况 作为例子 考虑下列两个系统 它们的特性频率分别为 1 1 1 1 Tj Tj jG 1 1 2 0 1 1 TT Tj Tj jG j T 1 1 1 T 1 1 T j T 1 图 5 18 最小相位系统和非最小相位系统的零 极点分布图 如前所述 对于最小相位系统 幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应 精品文档 119欢迎下载 关系 这意味着 如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上 给定 则相角曲线被唯一确定 反之亦然 这个结论对于非最小相位系统 不成立 Bode Diagram Frequency rad sec Phase deg Magnitude dB 20 15 10 5 0 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 180 135 90 45 0 图 5 19的相角特性 11 sGsG和 1 jG 2 jG 精品文档 120欢迎下载 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 图 5 19的相角特性 11 sGsG和 对于最小相位系统 相角在时变为 n decdBmn 90 为极点数 m 为零点数 两个系统的对数幅值曲线在时的斜率都 等于 因此 为了确定系统是不是最小相位的既需 decdBmn 20 要检查对数幅值曲线高频渐近线的斜率 又需检查在时相角 如果当时对数幅值曲线的斜率为 并且相 decdBmn 20 角等于 那么该系统就是最小相位系统 decdBmn 90 5 2 6 传递延迟 Transport lag See p190 传递延时是一种非最小相位特性 如果不采取对消措施 高频时将造成严 重的相位滞后 这类传递延迟通常存在于热力 液压和气动系统中 延迟环节的输入和输出的时域表达式为 精品文档 121欢迎下载 1 trttc s e sR sC sG j ejG 其幅值总是等于 1 这是因为 1sincos jjG 因此 传递延迟的对数幅值等于 0 分贝 传递延迟的相角为 deg 3 57 rad 10 1 10 0 10 1 600 500 400 300 200 100 0 图 5 20 传递延迟的相角特性曲线 5 2 7 系统类型与对数幅值之间的关系 考虑单位反馈控制系统 静态位置 速度和加速度误差常数分别描述 了 0 型 1 型和 2 型系统的低频特性 对于给定的系统 只有静态误差常 数是有限值 才有意义 当趋近于零时 回路增益越高 有限的静态 误差常值就越大 精品文档 122欢迎下载 系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率 因此 对于给定的输 入信号 控制系统是否存在稳态误差 以及稳态误差的大小 都可以从观 察对数幅值曲线的低频区特性予以确定 静态位置误差常数的确定 R s E s C s sG 图 5 21 单位反馈控制系统 考虑图 5 21 所示的单位反馈控制系统 假设系统的开环传递函数为 1 1 1 1 1 1 21 21 sTsTsTs sTsTsTK sG n m 1 1 1 1 1 1 21 21 jTjTjTj jTjTjTK jG n m 图 5 22 为一个 0 型系统对数幅值曲线的例子 在这个系统中 在低频段等于 即 jG p K p KjG lim 0 由此得知 低频渐近线是一条幅值为分贝的水平线 p Klog20 12 0 1 15 ss sG cfl dB 23 52182518111362 cf2 dB 9 54242509439325 cf3 dB 30 45757490560675 精品文档 123欢迎下载 10 1 10 0 10 1 40 30 20 10 0 10 20 30 20logK 20dB dec 40dB dec 图 5 22 某一 0 型系统对数幅值曲线 静态速度误差常数的确定 考虑图 5 21 所示的单位反馈控制系统 图 5 23 为一个 1 型系统对数幅值 曲线的例子 斜率为的起始线段 或其延长线 与decdB 20 的直线的交点具有的幅值为 这可证明如下 1 v Klog20 在 1 型系统中 1 j K jG v 因此 斜率为的起始线段 或其 v v K j K log20log20 1 1 decdB 20 延长线与 0 分贝线的交点的频率在数值上等于 假设交点上的频率为v K 于是即1 1 1 j Kv 精品文档 124欢迎下载 1 v K 作为一个例子 考虑具有单位反馈的 1 型系统 其开环传递函数为 1 Tss K sG 如果定义转角频率为 假设斜率为的直线与 或其延长2 decdB 40 线与 0 分贝线的交点为 3 T 1 2 T K 2 3 KKv 1 由此得到 2 321 即 2 3 3 1 在伯德图上 2331 loglogloglog 因此 点恰好是点与点之间的中点 3 2 1 精品文档 125欢迎下载 10 0 10 1 10 2 40 30 20 10 0 10 20 30 20dB dec 40dB dec 图 5 23 某个 1 型系统对数幅值曲线 cf2 dB 6 02059991327962 cf1 dB 26 02059991327962 cf3 dB 33 97940008672038 静态加速度误差常数的确定 考虑图 5 21 所示的单位反馈控制系统 图 5 24 为一个 2 型系统对数幅值 曲线的例子 斜率为的起始线段 或其延长线 与decdB 40 的直线的交点具有的幅值为 1 a Klog20 由于低频时 1 2 j K jG a 所以 a a K j K log20 log20 1 2 斜率为的起始线段 或其延长线与 0 分贝线的交点的频率为decdB 40 精品文档 126欢迎下载 在数值上等于的平方根 证明如下 a a K 于是 01log20 log20 2 a a j K aa K 对数坐标 dB decdB 40 decdB 60 decdB 20 1 0 aa K 图 5 24 2 型系统对数幅值曲线 5 3 极坐标图 Polar plot 幅相频率特性曲线 奈奎斯特曲线 频率特性是复数 可用幅值和相角的向量表 jG jG 示 当输入信号的频率由零变化到无穷大时 向量的幅值和 jG 相位也随之作相应的变化 其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图 在极坐标图上 正 负相角是从正实轴开始 以逆时针 顺时针旋转来定义 的 图 5 25 是这类极坐标图的一个例子 精品文档 127欢迎下载 3 2 10123 5 4 3 2 1 0 1 2 Real Axis Imag Axis 图 5 25 极坐标图 的极坐标图上的每一点 都代表一个特定值上的向量端点 jG 在实轴和虚轴上的投影 就是的实部和虚部 采用极坐 jG jG 标图的优点是它能在一幅图上表示出系统在整个频率范围内的频率响应特 性 但它不能清楚地表明开环传递函数中每个因子对系统的具体影响 5 3 1 积分与微分因子 90 111 j j jG 所以的极坐标图是负虚轴 的极坐标图是 j jG 1 jjG 正虚轴 精品文档 128欢迎下载 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 3 2 10123 5 4 5 4 3 5 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 图 5 26 积分因子极坐标图 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 3 2 10123 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 5 图 5 27 微分因子极坐标图 精品文档 129欢迎下载 5 3 2 一阶因子 Tarctg T Tj jG 2 1 1 1 1 01 0 jG 45 2 1 1 T jG 图 5 27 微分因子极坐标图 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 1 5 1 0 500 511 5 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 图 5 28 一阶因子极坐标图 j jG 1 1 精品文档 130欢迎下载 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 3 2 10123 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 5 图 5 29 一阶因子极坐标图 jjG 1 5 3 3 二阶因子 0 21 1 2 nn jj jG 01 0 jG 1800 jG 的高频部分与负实轴相切 极坐标图的精确形状与阻尼比有关 jG 但对于欠阻尼和过阻尼的情况 极坐标图的形状大致相同 对于欠阻尼情况 当时 我们得到 相角为 n 2 1 j jG n 因此可以看出 的轨迹与虚轴交点处的频率 就是无 90 jG 精品文档 131欢迎下载 阻尼自然频率 在极坐标图上 距原点最远的频率点 相应于谐振频 n 率 这时的峰值 可以用谐振频率处的向量幅值 与 r jG r 处向量幅值之比来确定 0 对于过阻尼情况 当增加到远大于 1 时 的轨迹趣近于半圆 jG 这是因为对于强阻尼系统 特征方程的根为实根 并且其中一个根远小于 另一个根 因为对于足够大的值 比较大的一个根对系统影响很小 因 此系统的特征与一阶系统相似 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 3 2 10123 6 5 4 3 2 1 0 图 5 30 二阶因子极坐标图 精品文档 132欢迎下载 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 3 2 10123 6 5 4 3 2 1 0 对于 2 21 nn jjjG 2 1 2 2 nn j 极坐标图的低频部分为 01 0 jG 极坐标图的高频部分为 180 jG 精品文档 133欢迎下载 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 3 2 10123 0 1 2 3 4 5 6 图 5 31 二阶因子极坐标图 2 21 nn jj 例 5 2 考虑下列二阶传递函数 试画出这个传递函数的 1 1 Tss sG 极坐标图 解 1 1 Tjj jG Tarctg T Tjj jG 90 1 1 1 1 2 极坐标图的低频部分为 901 0 jG 极坐标图的高频部分为 1800 jG 精品文档 134欢迎下载 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 3 2 10123 6 5 4 3 2 1 0 图 5 32 极坐标图 1 1 Tjj 5 3 4 传递延迟 极坐标图极坐标图 2 21 nn jj r M jG 欠阻尼极坐标图极坐标图 5 3 5 极坐标图的一般形状 精品文档 135欢迎下载 图 5 33 5 4 对数幅 相图 Nichols Chart 尼柯尔斯图 Nichols Chart Open Loop Phase deg Open Loop Gain dB 180 135 90 450 50 40 30 20 10 0 10 20 图 5 34 二阶因子对数幅 相图 5 5 奈奎斯特稳定判据 Nyquist Stability Criterion C s R s G s H s 精品文档 136欢迎下载 图 3 35 闭环系统 考虑图 5 35 所示的闭环系统 其闭环传递函数为 1 sGsH sG sR sC 为了保证系统稳定 特征方程 0 1 sGsH 的全部根 都必须位于左半 s 平面 虽然开环传递函数的极 sGsH 点和零点可能位于右半 s 平面 但如果闭环传递函数的所有极点均位于左 半 s 平面 则系统是稳定的 奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应与 jGjH 在右半 s 平面内的零点数和极点数联系起来的判据 这 1sGsH 种方法无须求出闭环极点 得到广泛应用 由解析的方法和实验的方法得 到的开环频率特性曲线 均可用来进行稳定性分析 奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的 假设开环传递函数可以表示成 s 的多项式之比 对于物 sGsH 理上可实现的系统 闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分 子多项式的阶数 这表明 当 s 趋于无穷大时 任何物理上可实现系统的 的极限 或趋于零 或趋于常数 sGsH 5 5 1 预备知识 0 1 sGsHsF 可以证明 对于 S 平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线 在 平面上必存在一条封闭曲线与之对应 平面上的原点被封闭曲 sF sF 线包围的次数和方向 在下面的讨论中具有特别重要的意义 我们将包围 精品文档 137欢迎下载 的次数和方向与系统的稳定性联系起来 例如考虑下列开环传递函数 2 1 6 ss sGsH 其特征方程为 2 1 6 1 1 ss sGsHsF 0 2 1 4 25 1 4 25 1 ss jsjs 函数在 s 平面内除了奇点外处处解析 对于 s 平面上的每一个解析 sF 点 平面上必有一点与之对应 例如 则为 sF21js sF 577 0 115 1 23 22 6 1 21 j jj jF 这样 对于 s 平面上给定的连续封闭轨迹 只要它不通过任何奇点 在 平面上就必有一个封闭曲线与之对应 sF S 平面 平面 sF 101234 1 0 5 0 0 5 1 1 5 2 4 3 2 101 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 1 6 1 8 2 A B C D A1 B1 C1 D1 a 精品文档 138欢迎下载 3 2 101 2 1 5 1 0 5 0 0 5 1 1 5 2 101234 2 1 5 1 0 5 0 0 5 1 1 5 2 A B C D E F F1 A1 B1 C1 D1 E1 b 3 2 101 3 2 1 0 1 2 3 01234 2 1 5 1 0 5 0 0 5 1 1 5 2 d 精品文档 139欢迎下载 图 5 36 s 平面上的图形在平面上的保角变换 图 5 36 a 所示为上半 s 平面内的直线和在平面1 3 2 sF 上的保角变换 例如 上半 s 平面内的直线映射到平 0 3 js sF 面上 就变成了平面上的的曲线 对于 s 平面上顺时针转出的 sF 3 轨迹 ABCD 其在平面上对应曲线是 A1B1C1D1 曲线的箭头表示运动 sF 方向 根据保角变换的性质 s 平面相上和平面上对应的角度是相等 sF 的 并且具有相同的意义 例如 因为 s 平面内的直线 AB 与 CD 相互垂直 所以在 平面上 A1B1 与 C1D1 在 B1 点也构成直角 由图 5 36 b 可 sF 以看出 当 s 平面上的图形包围两个的极点时 的轨迹将反时 sF sF 针方向包围平面上原点两次 sF 在的平面上 图形包围原点的次数 取决于 s 平面上的封闭曲 sF 线 例如 这个曲线当 s 平面上的图形包围的两个极点和两个零点 sF 相应的的轨迹将不包围原点 如图 5 36 c 所示 如果这个曲线只 sF 包围一个零点 相应的的轨迹将顺时针包围原点一次 如图 5 sF 36 d 所示 如果 s 平面上的封闭曲线既不包围原点又不包围极点 的轨迹将永远不会包围平面上的原点 如图 5 36 d 所示 sF sF 对于 s 平面上的每一点 除了奇点外 在平面上只有一个相应 sF 的点与之对应 即从 s 平面到平面的影射是一一对应的 但是 从 sF 平面到 s 平面的影射不是一一对应的 因为对于平面上的某一 sF sF 给定点 在 s 平面上可能有一个以上的点与之对应 例如如图 5 36 c 中 对于平面上的 B1 点 在 s 平面上与之对应的有 3 3 和 0 3 sF 两个点 如果在 s 平面上曲线包围 k 个零点和 k 个极点 k 0 1 2 即包围 的零点数与极点数相同 则在平面上 相应的封闭曲线不包围 sF 平面上的原点 上述讨论是影射定理的图解说明 奈奎斯特稳定判 sF 据正是建立在影射定理的基础上 5 5 2 影射定理 sF 精品文档 140欢迎下载 设为两个 s 的多项式之比 并设 P 为的极点数 Z 为 sF sF 的零点数 它们位于 s 平面上的某一封闭曲线内 且有多重极点和 sF 多重零点的情况 又设上述封闭曲线不通过的任何极点和零点 于 sF 是 s 平面上的这一封闭曲线影射到平面上 也是一条封闭曲线 当 sF 变量 s 顺时针通过封闭曲线时 在平面上 相应的轨迹顺时针包围 sF 原点的总次数 R 等于 Z P sF 若 R 为正数 表示的零点数超过了极点数 若 R 为负数 表示 sF 的极点数超过了零点数 在控制系统应用中 由很容易确 sF sGsH 定的 P 数 因此 如果 的轨迹图中确定了 1 sGsHsF sF R 则 s 平面上封闭曲线内的零点数很容易确定 5 5 3 影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 为了分析线性控制系统的稳定性 令 s 平面上的封闭曲线包围整个右 半 s 平面 这时的封闭曲线由整个轴 从到 和右半 s 平面 j 上半径为无穷大的半圆轨迹构成 该封闭曲线为奈奎斯特轨迹 轨迹的方 向为顺时针方向 如图 5 37 所示 因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半 s 平面 所以它包围了的所有正实部的极点和零点 如果 1sGsH 在右半 s 平面不存在零点 则不存在闭环极点 因而系统是 1sGsH 稳定的 封闭曲线 即奈奎斯特曲线不通过 1sGsH 的任何极点和零 点 如果将影射定理应用到的特殊情况 可以陈述 1 sGsHsF 如下 如果 s 平面上的封闭曲线包围整个右半 s 平面 则函数 在右半 s 平面内的零点数等于函数 1 sGsHsF 精品文档 141欢迎下载 右半 s 平面内的极点数 加上在 1 sGsHsF 平面内的对应封闭曲线对平面 1 sGsHsF 1 sGsHsF 上原点的顺时针方向包围次数 平面s j 0 图 5 37 s 平面内的封闭曲线 根据前面的假设条件 有 闭环常数 1 limsHsG s 即当 s 沿半径为无穷大的半圆运动时 函数保 1 sGsHsF 持常数 因此 的轨迹是否包围了 1 sGsHsF 平面上的原点 可以考虑 s 平面上的封闭曲线的一 1 sGsHsF 部分 即只考虑轴来确定 传函数奈奎斯特闭环系统 j 5 5 4 奈奎斯特稳定判据 利用的轨迹 对 1 j0 点的包围情况以及分析系统的方法 jHjG 概括为下列奈奎斯特稳定判据 对于在轴上既无极点也无零 sGsH j 点的特殊情况 如果开环传递函在 s 右半平面内有 k 个极点 sGsH 精品文档 142欢迎下载 并且 则为了使闭环系统稳定 当从变到时 常数 1 limsHsG s 的轨迹必须反时针包围 1 j0 点 k 次 jHjG Re Im 平面GH 1 1 jHjG 10 Re Im 0 1 jHjG jHjG 1 平面GH 5 5 5 关于奈奎斯特稳定判据的几点说明 这一判据可表示为 PRZ 式中 函数在右半 s 平面内的零点数 Z 1 sGsHsF 对 1 j0 点顺时针包围的次数 R 函数在右半 s 平面内的极点数 P sGsH 如果 P 不等于零 对于稳定的控制系统 必须或 这意味0 ZPR 着必须反时针方向包围 1 j0 点 P 次 如果函数在右半 s 平面内无任何极点 则 因此 sGsH RZ 为了保证系统稳定 的轨迹必须不包围 1 j0 点 jHjG 5 5 6含有位于上极点和 或零点的特殊情况 sHsG j 精品文档 143欢迎下载 平面s j 0j 0j j j 1 A B C 平面GH Re Im FED F E D A B C 0 0 图 5 39 s 平面上的封闭曲线和 GH 平面上的轨迹 其中 sHsG 1 Tss K sHsG 因为奈奎斯特轨迹不能通过的极点 和或零点 S 平面上的封 sHsG 闭曲线的形状必须加以改进 在原点附近采用半径为无穷小 的半圆 如 图 5 39 所示 变量 沿着轴从运动到 从到 变量s j j 0j 0j 0j 沿着半径为 的半圆运动 再沿着正轴从运动到 s 1 j 0j j 从开始 轨迹为半径为无穷大的半圆 变量沿着此轨迹返回到起始点 j 平面s j 0j 0j j j 1 A B C 平面GH Re Im F E D 0 0 1 图 5 40 s 平面上的封闭曲线和 GH 平面上的轨迹 其中 sHsG 1 2 Tss K sHsG 精品文档 144欢迎下载 对于包含因子的开环传递函数 当变量 s 沿半 3 2 1 s sGsH 径为 的半圆运动时 的图形中将有 个半径为无穷大 1 sGsH 的顺时针方向的半圆环绕原点 例如 考虑开环传递函数 1 2 Tss K sHsG 设 则 j es j es e K sHsG j 2 2 lim 当 s 平面上的时 的相角 如图 5 40 9090 sGsH 180180 所示 在右半 s 平面内没有极点 并且对所有的正 K 值 轨迹包围 点两次 所以函数在右半 s 平面内存在两个零点 因01j 1sGsH 此 系统是不稳定的 如果含有位于轴上的极点和 或零点 则可以采用类 sGsH j 似的方法进行分析 奈奎斯特稳定判据 对于含有位于轴上的极点和 或 sGsH j 零点的一般情况 如果开环传递函数在右半 s 平面内有 k 个 sGsH 极点 则为了使系统稳定 当变量 s 顺时针通过变化后的奈奎斯特轨迹时 轨迹必须反时针方向包围点 k 次 sGsH 01j 0j j 5 6 稳定性分析 如果在 s 平面内 奈奎斯特轨迹包含的 Z 个零点和 P 个 1sGsH 极点 并且当 s 变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时 不通过 1sGsH 精品文档 145欢迎下载 的任何极点或零点 则在平面上相对应的曲线将沿顺时针方向 sGsH 包围点次 负 R 值表示反时针包围点 01j PZR 01j a 不包围 1 j0 如果这时在右半 s 平面内没有极点 说 sGsH 明系统是稳定的 否则 系统是不稳定的 b 反时针包围点 如果反时针方向包围的次数 等于01j 在右半 s 平面内没有极点数 则系统是稳定的 否则系统是不 sGsH 稳定的 c 顺时针包围点 系统是不稳定的 01j 例 5 3 设闭环系统的开环传递函数为 1 1 21 sTsT K sGsH 的轨迹如图 5 41 所示 在右半 s 平面内没有任 jGjH sGsH 何极点 并且的轨迹不包围 所以对于任何的值 jGjH 01j 该系统都是稳定的 精品文档 146欢迎下载 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 1 0 8 0 6 0 4 0 200 20 40 60 81 0 6 0 4 0 2 0 0 2 0 4 0 6 图 5 41 例 5 3 中的极坐标图 jGjH 例 5 4 设系统具有下列开环传递函数 1 1 21 sTsTs K sGsH 试确定以下两种情况下 系统的稳定性 增益 K 较小 增益 K 较大 小 K 值 平面GH Re Im 0 0 1 0 0 0 Z R P 精品文档 147欢迎下载 平面GH Re Im 0 0 1 2 2 0 Z R P 大 K 值 图 5 42 例 5 4 中的极坐标图 jGjH jjjj00 在右半 s 平面内的极点数等于零 为了使系统稳定必须保证 sGsH 或者说的轨迹不包围点 对于小 K 0 ZR sGsH 01j 的轨迹不包围点 因此系统在小 K 值时是稳定的 对于 sGsH 01j 大 K 的轨迹顺时针包围点两次 说明有两个闭环极点 sGsH 01j 为位于右半 s 平面 因此系统在大 K 值时是稳定的 例 5 5 设开环传递函数为 1 1 1 2 2 sTs sTK sGsH 该系统的闭环稳定性取决于和相对大小 试画出该系统的奈奎斯特图 1 T 2 T 并确定系统的稳定性 精品文档 148欢迎下载 Re Im 0 0 1 21 TT 平面GH 平面GH Re Im 0 0 1 21 TT 点矢量穿过01 jjHjG 稳定 平面GH Re Im 0 0 1 21 TT 不稳定 图 5 43 例 5 5 中的极坐标图 jGjH 时 的轨迹不包围 因此 系统是稳定的 21 TT sGsH 01j 当时 的轨迹通过点 这表明闭环极点位于 21 TT sGsH 01j 轴上 当 时 的轨迹顺时针方向包围点两次 j 21 TT sGsH 01j 因此系统有两个闭环极点位于右半 s 平面 系统是不稳定的 精品文档 149欢迎下载 例 5 6 设一个闭环系统具有下列开环传递函数 1 Tss K sHsG 试确定该闭环系统的稳定性 平面GH Re Im 1 0 0 图 5 44 例 5 6 中的极坐标图 jGjH 在右半 s 平面内有一个极点 因此 图 5 44 中的奈 sGsH T s 1 1 P 奎斯特图表明 sGsH 轨迹顺时针方向包围点一次 因此 01j 因为 这表明闭环系统有两个极点在右半 s 平面 因此1 R2 PRZ 系统是不稳定的 例 5 7 设一个闭环系统具有下列开环传递函数 试确定该闭环系统的稳定性 1 1 3 K ss sK sHsG 在右半 s 平面内有一个极点 因此 开环系统是不稳 sGsH 1 s1 P 精品文档 150欢迎下载 定的 图 5 45 表明轨迹逆时针方向包围点一次 因此 sGsH 01j 因为 这说明没有零点位于右半 s 平面内 1 R0 PRZ 1sGsH 闭环系统是稳定的 这是一个开环系统不稳定 但是回路闭合后 变成稳 定系统的例子 平面GH Re Im 0 0 1 图 5 45 例 5 7 中的极坐标图 jGjH 1 1 1 3 1 3 jjj jj K jj j KjG 1 3 4 1 33 2 2 2 2 j K j jj Kj KK 1 3 1 4 2 2 2 3 K K jG 13 4 3 例 5 8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为 式中均为正值 为使系统稳定 开 1 1 32 2 21 sTsTsTT K sG 31 2 TTTK和 环增益与时间常数之间满足什么关系 K 31 2 TTT和 解 1 1 32 2 21 jTjTjTT K jG 1 32 2 3221 3 321 jTTjTTTTjTTT K 精品文档 151欢迎下载 jTTTTTTTT K 1 2 32132 2 312 此式太复杂利用上式直接令虚部 222 32132 22 312 2 32132 2 312 1 1 TTTTTTTT jTTTTTTTT K 为零即可 虚部为零与负实轴相交于0 2 32132 TTTTT 321 32 TTT TT c 312 32 312 2 312 1 1 TTT TT TTT K TTT K jG c c 2 3 2 2 22 21 1 1 j e TTTT K jG 3 2 21 2 1 arctgT TT T arctg 0 0 jKjG 00 jjG 画出一半利用对称性画出另一半 1 1 312 32 312 TTT TT TTT K 1 31 32 31 K TT TT TT2 3 2 1 321 KTTT 8 3 2 1 321 KTTT 精品文档 152欢迎下载 2 1012345678 6 4 2 0 2 4 6 Real Axis Imag Axis 2 1012345678 6 4 2 0 2 4 6 Real Axis Imag Axis 精品文档 153欢迎下载 图 5 45b 例 5 8 题的极坐标图 Re Im 0 1 平面G 大时K 小时K 图 5 46 的极坐标图 1 1 1 1 1 1 21 21 jTjTjTj jTjTjTK jG n m mn 图 46 所示为 3 种具有不同开环增益值的极坐标图 对于大 jG 的 K 值 系统是不稳定的 当增益减小到一定值时 的轨迹通过 jG 点 对于小的 K 值 系统是稳定的 01j 一般来说 的轨迹越接近与包围 1 j001j 点 系统响应的 jG 震荡性越大 因此 的轨迹对点的靠近程度 可以用来度量 jG 01j 稳定裕量 对条件稳定系统不适用 在实际系统中常用相位裕量和增益裕 量表示 精品文档 154欢迎下载 Re Im h 1 PlaneG Positive Gain Margin Positive Phase Margin 1 1 Re Im h 1 Negative Gain Margin Negative Phase Margin 1 1 Stable System Unstable System jG jG PlaneG 64 Log Log Log Log 90 270 180 Positive Gain Margin Positive Phase Margin Negative Gain Margin Negative Phase Margin Stable System Unstable System 0 dB 90 270 180 0 dB 图 5 47 稳定系统和不稳定系统的相位裕度和幅值裕度 相位裕度 相角裕度 Phase Margin 设系统的截止频率 Gain cross over frequency 为 c 1 ccc jHjGjA 定义相角裕度为 180 cc jHjG 相角裕度的含义是 对于闭环稳定系统 如果开环相频特性再滞后 度 精品文档 155欢迎下载 则系统将变为临界稳定 当 时 相位裕量相位裕度为正值 当时 相位裕度为负值 为0 0 了使最小相位系统稳定 相位裕度必须为正 在极坐标图上的临界点为 0 分贝和 180 度 180 增益裕度 幅值裕度 Gain Margin h 设系统的穿越频率 Phase cross over frequency 12 kjHjG xxx 1 0 k 定义幅值裕度为 1 xx jHjG h 幅值裕度 的含义是 对于闭环稳定系统 如果系统开环幅频特性再增大h h倍 则系统将变为临界稳定状态 若以分贝表示 则有 log20 xx jHjGdBh 当增益裕度以分贝表示时 如果 则增益裕度为正值 1 h0 dBh 如果 则增益裕度为负值 正增益裕度 以分贝表示 表示系1 h0 dBh 统是稳定的 负增益裕度 以分贝表示 表示系统是不稳定的 对于稳定的最小相位系统 增益裕度指出了系统在不稳定之前 增益 能够增大多少 对于不稳定系统 增益裕度指出了为使系统稳定 增益应 当较少多少 一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大 因为这类系统的极坐标图与负 实轴不相交 因此 理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的 当然 一 阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的 因为在推导系统方程时 忽 略了一些小的时间滞后 因此它们不是真正的一阶或二阶系统 如果计及 这些小的滞后 则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的 5 7 3 关于相位裕度和增益裕度的几点说明 控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对 1 j0 点靠近程 度的度量 因此 这两个裕度可以用来作为涉及准则 只用增益裕度和相位裕度 都不足以说明系统的的相对稳定性 为了 确定系统的相对稳定性 必须同时给出这两个量 对于最小相位系统 只有当相位裕度和增益裕度都是正值时 系统才 是稳定的 负的裕度表示系统不稳定 适当的相位裕度和增益裕度可以防 精品文档 156欢迎下载 止系统中元件变化造成的影响 并且指明了频率值 为了得到满意的性能 相位裕度应当在之间 增益裕度应当大于 6 分贝 6030 与 例 5 9 已知一单位反馈系统的开环传递函数为 05 01 2 01 sss K sG 试求 K 1 时系统的相位裕度和增益裕度 要求通过增益 K 的调整 使系统的增益裕度 20logh 20dB 相位裕度 40 解 180 xxx jHjG 1 cc jHjG 18005 0 2 090 xxx arctgarctg 即 9005 0 2 0 xx arctgarctg 21 21 21 1 tgtg tgtg tg xx xx 05 0 2 01 05 0 2 0 005 0 2 01 xx 10 x 在处的开环对数幅值为 x log20 xx jHjGdBh 05 0 1 2 01 1 log20 xxx jjj 22 1005 0 1log20 102 0 1log2010log20 dB281720 根据 K 1 时的开环传递函数 可以求出截止频率 Gain cross over frequency 为 c 1 cc jHjG 05 0 1 2 01 1 ccc c jjj jG 1 0025 0 1 04 0 1 1 22 c cc 1 c 10405 0 2 090 ccc arctgarctg 76104180 180 c 由题意知10 h1 0 x jG 1 0 0025 0 1 04 0 1 22 x xx K 5 225 0 141101 0 K 验证是否满足相位裕度的要求 精品文档 157欢迎下载 根据的要求 则得 40 1404018005 0 2 090 ccc arctgarctg 5005 0 2 0 cc arctgarctg 2 1 05 0 2 01 05 0 2 0 cc cc 4 c 1 0025 0 1 04 0 1 22 c cc K 2 502 1 28 1 4 K 不难看出 就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求 5 2 K Bode Diagram Frequency rad sec Phase deg Magnitude dB 100 80 60 40 20 0 20 10 0 10 1 10 2 270 225 180 135 90 精品文档 158欢迎下载 Bode Diagram Frequency rad sec Phase deg Magnitude dB 40 30 20 10 0 10 20 10 0 10 1 225 180 135 90 图 5 48 例 5 9 的幅值裕度和相位裕度示意图 例 5 10 已知一单位反馈系统的开环对数幅频特性如图 5 49 所示 最小相 位系统 试求 所示所示单位反馈系统已知已知已知已知 例 5 11 设一单位反馈系统对数幅频特性如图 5 50 所示 最小相位系统 写出系统的开环传递函数 判别系统的稳定性 如果系统是稳定的 则 求时的稳态误差 ttr 精品文档 159欢迎下载 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 40 20 0 20 40 60 80 图 5 50 最小相位系统的开环对数幅频特性 解 由图得 5 1 01 0 1 1 0 1 jjj jK jG 1lg20 5 1 1lg20 01 0 1 1lg20 1 0 1 1lg20lg20 222 K 1 1100 10 K 10 K 2 01 1001 101 10 sss s sG 由于是最小相位系统 因而可通过计算相位裕度 是否大于零来判断系 统的稳定性 由图可知 在处1 c c 4 106 5 1 01 0 1 1 0 1 90 arctgarctgarctg c 则得 0 系统稳定 6 73 180 c 单位斜坡输入时 系统的稳态误差为1 0 10 11 v ss K e 精品文档 160欢迎下载 5 7 4 谐振峰值幅值和谐振峰值频率 5 22 22 2 2 2 1 1 nn jG 令 5 23 22 2 2 2 1 nn g 5 24 0 1 2 2 2 2 1 2 22 2 nnnn g dt d 或 5 25 1 4 21 22 2 2 222 n n g 时有最小值有最大值 这个最大值 2 21 n 2 2 0 g jG 称为谐振峰值 用表示 r M 5 26 707 0 2 2 0 12 1 2 r M 谐振频率 2 21 nrr 5 7 5 标准二阶系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系 书上例 5 13p203 S S 2 n n2 R s C s 3 8 在图 3 8 所示的标准二阶系统中 单位阶跃响应中的最大超调量可以 精确地与频率响应中的谐振峰值联系在一起 因此 从本质上看 在频率 响应中包含的系统动态特性信息与在瞬态响应中包含的系统的动态特性信 息是相同的 2 2 n n ss sG