计算方法作业纸

计算方法 I 课后作业 专业班级 学号 姓名 1 第一章 数值计算引论 1 下列近似值的误差限都是 0 005 则有 3 位有效数字 有 1 位有效数字 38 1 1 x0312 0 2 x 2 已知近似值有两位有效数字 则其相对误差限为 x 1 10 2 1 3 作为圆周率的近似值 则误差的绝对值 有效数字有 3 位 7 22 1 x 2 10 2 1 作为圆周率的近似值 则误差的绝对值 有效数字有 7 位 113 355 2 x 6 10 2 1 4 为避免两个相近的数相减造成有效数字的严重损失 往往要变换计算公式 下列运算应如何改变 改变公式为 或者 10 sin cos1 xx x x 且 且 x x cos1 sin 2 tan x 改变公式为 1 1 1 21 1 x x x x 1 21 2 2 xx x 改变公式为 1 11 x x x x x xx xxx 11 2 改变公式为 1 1 1 2 x t dt x x 1 1 1 arctan xx 5 当正数充分大时 应将改写为 x 1ln 2 xx 5 考虑算法的数值稳定性 减小四则运算误差要考虑以下一些原则 由于计算机的字长有限 进行加减法运算时 要防止 大数吃掉小数 减法运算时 要注意 两个相近数相减 会造成有效数字的严重损失 除法运算时 要注意 避免绝对值很小的数做除 数 2 第二章 非线性方程的数值解法 一 填空题 1 计算的牛顿程序为 收敛阶为 若已知的一个近似值是22 则用此牛顿法计算 保留六位有效数字 414 1 0 x 1 x 2 设 且迭代过程至少平方收敛到 试确定的值 5 2 xaxx 1kk xx 5 xa 3 计算的牛顿迭代公式为 不包含除法运算 其收敛阶为 1 1 c c 5 求方程根的牛顿迭代格式是 xxcos 6 求方程的根的弦截法的迭代格式是 10 x xe 7 若要求解的重根 用修正的牛顿方法求解的迭代格式是 012 2 xx 二 计算题 1 判断是否为方程的重根 若是 用牛顿迭代法的修正法求 误差不超过的近似根 2 利用牛顿切线法导出计算的公式 并求 要求精度为 0 1 c c3 1 6 10 3 利用牛顿切线法导出计算的公式 并求 要求精度为 0 cc115 6 10 计算方法 I 课后作业 专业班级 学号 姓名 3 第三章 线性代数方程组的数值解法 一 填空题 1 顺序 Gauss 消去法能够实现的条件是 为避免小主元作除数 产生了 消去法 2 若方程组 Ax b 的系数矩阵 A 满足 则 A 的 LU 分解存在且唯一 在 A 的三角分解 A LU 中 若 L 是单位下三角矩阵 U 是上三角矩阵 称为 3 设向量 则 T x 3 4 2 1 x 2 x x 4 设矩阵 则 43 21 A 1 A A 2 A A 1 Acond 2 Acond Acond 5 解方程组的迭代格式收敛的充要条件是 bAx fBxx kk 1 若 则 J 法的迭代矩阵是 该法收敛的充要条件是 a 满足 12 1 a a A 若使用 G S 迭代法 其迭代矩阵是 该法收敛的充要条件是 a 满足 6 用高斯塞德尔迭代法解 的迭代公式为 3 2 1 521 1102 1210 x x x 10 5 1 3 二 计算题 1 分别用 Gauss 列主元消去法和 LU 三角分解法解方程组 并求系数矩阵的行列 743 122 0232 321 321 321 xxx xxx xxx 式 2 已知方程组 分别写出 J 法和 G S 法的迭代矩阵并判断两种迭代法的收敛性 bAx 41 12 A 3 用列主元高斯约当法求的逆矩阵 032 203 120 A 4 4 用列主元高斯约当法解方程组 743 122 0232 321 321 321 xxx xxx xxx 第四章 插值法 一 填空题 1 设函数在 4 个互异节点的函数值分别是 根据多项式插值的唯一性 xf 4321 xxxx 4321 yyyy 必存在唯一的次数 的插值多项式 满足插值条件 利用 Lagrange 插值 xP 需要作 个 次数均为 次的多项式插值基函数 其一般式为 于 xlj 是插值函数 xP 2 阶差商与阶导数的关系是 设nn 则 若 则 n nx axaaxf 10 10n xxxf 13 2 xxf 3 2 1 f 4 3 2 1 f 3 二 计算题 1 给出概率积分 的数据表 x x dxexf 0 22 试分别用二次 Lagrange 插值和 Newton 插值计算的近似值 472 0 f 2 求一个次数不超过 2 次的多项式 P x 使它满足 P 0 1 P 1 2 P 2 9 3 已知 用抛物线插值求的值并估sin0 320 315 sin0 340333 sin0 360 353 sin0 3367 计误差 x 0 460 470 480 49 xf 0 4846550 4937450 5027500 511668 计算方法 I 课后作业 专业班级 学号 姓名 5 6 第五章 函数逼近算法 一 计算题 1 已知右边的一组数据 用最小二乘法求拟合这组数据的一条直线 2 求形如的经验公式 使它能和下列数据拟合 b x yae 3 用最小二乘法求形如的式子 使之与右侧数据 2 bxay 相拟合 解 记 则拟合函数为 2 xt btay 由题意得 N i ii N i i N i i N i i N i i yttbta ytbaN 11 2 1 11 其中 7 40 2 14 30 10 4 111 2 1 N i ii N i i N i i N i i ytyttN 即