数学八年级下《二次根式》复习教学案.doc

二二 次次 根根 式式 复习课复习课 知识点汇总知识点汇总 知识点一 知识点一 二次根式的概念二次根式的概念 形如 的式子叫做二次根式 注 在二次根式中 被开放数可以是数 也可以是单项式 多项式 分式等代数式 但 必须注意 因为负数没有平方根 所以是为二次根式的前提条件 如 等是二次根式 而 等都不是二次根式 知识点二 取值范围知识点二 取值范围 1 二次根式有意义的条件 由二次根式的意义可知 当 a 0 时 有意义 是 二次根式 所以要使二次根式有意义 只要使被开方数大于或等于零即可 2 二次根式无意义的条件 因负数没有算术平方根 所以当 a 0 时 没有意 义 知识点三 二次根式知识点三 二次根式 的非负性 的非负性 表示 a 的算术平方根 也就是说 是一个非负数 即 0 注 因为二次根式 表示 a 的算术平方根 而正数的算术平方根是正数 0 的算术平方根是 0 所以非负数 的算术平方根是非负数 即0 这个性质也就是非负数的算术平方根的性质 和绝对值 偶次方类似 这个性质在解答 题目时应用较多 如若 则 a 0 b 0 若 则 a 0 b 0 若 则 a 0 b 0 知识点四 二次根式 知识点四 二次根式 的性质的性质 文字语言叙述为 一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数 注 二次根式的性质公式 是逆用平方根的定义得出的结论 上面的 公式也可以反过来应用 若 则 如 知识点五 二次根式的性质知识点五 二次根式的性质 文字语言叙述为 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 注 1 化简时 一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数 若是正数或 0 则等 于 a 本身 即 若 a 是负数 则等于 a 的相反数 a 即 2 中的 a 的取值范围可以是任意实数 即不论 a 取何值 一定有意义 3 化简时 先将它化成 再根据绝对值的意义来进行化简 知识点六 知识点六 与与的异同点的异同点 1 不同点 与表示的意义是不同的 表示一个正数 a 的算术平方根的 平方 而表示一个实数 a 的平方的算术平方根 在中 而中 a 可以是正实数 0 负实数 但与都是非负数 即 因而它的运算的结果是有差别的 而 2 相同点 当被开方数都是非负数 即时 时 无意 义 而 历年考点例析历年考点例析 考点考点 1 1 无理数 无理数 知识回顾 知识回顾 无限不循环的小数 叫做无理数 知识特点 知识特点 常见的无理数 1 以及 的有理数倍数 2 235 3 2 01001000100001 考查题型考查题型 例 1 写出一个有理数和一个无理数 使它们都是小于 1 的数 08 年自贡市 分析 1 的绝对值是 1 所以 小于 1 的数的绝对值一定要大于 1 只要符合这一点 就可以了 所以 本题的答案不是唯一的 解 小于 1 的有理数 4 5 等等 小于 1 的无理数 等等 235 例 2 从实数 0 4 中 挑选出的两个数都是无理数的为 2 3 1 A 0 B 4 C 4 D 08 年湖北省宜昌市 3 1 22 分析 根据常见的无理数 可以发现只有 和 是无理数 因此 选项 D 是正确的 2 解 选 D 例 3 如图 1 所示 A B C D 四张卡片上分别写有四个实数 从中任取 5 23 7 两张卡片 A B C D 图 1 1 请列举出所有可能的结果 用字母 A B C D 表示 2 求取到的两个数都是无理数的概率 08 嘉兴市 分析 用列表的方式 把所有的结果找出来 后根据无理数的定义 作出判断 解 1 仔细观察上面的四个数 不难发现 B D 是无理数 A 和 C 是有理数 结果列表如下 2 仔细观察上表 一共有 12 种可能性 期中 都是无理数的可能性有 2 种 因此 两个数都是无理数的概率为 6 1 12 2 考点考点 2 2 平方根 平方根 知识回顾 知识回顾 一般地 如果一个数 x 的平方等于 a 即 x2 a 那么这个数 x 叫做 a 的平方根 记作 读作 正负根号 a a 知识特点 知识特点 1 被开方数 a 满足的关系式是 a 0 2 平方根 x 与被开方数 a 满足的关系式是 x a 3 被开方数 a 与平方根 x 满足的关系式是 a x2 2 2 2 aaa 4 两个平方根之间满足的关系式是 0 即两个平方根互为相反数 所aa 以 他们的和为 0 如下说法都是正确的 a的平方根是 a 是a的平方根 a 是a的平方根 a 是a的平方根 其中a是非负数 a 此外 0的平方根是0这个特例要记清楚 考查题型考查题型 例 4 2 的平方根是 A 4B C D 08 年南京市 22 2 分析 根据平方根的特点 正数有两个平方根 且常用 来体现 两个 解 选 D 例 5 9 的算术平方根是 A 3 B 3 C 3 D 08 恩施自治州 3 分析 算术平方根是平方根中的正数根 只有一个 所以 选项 A C 都是不正确的 因为 32 9 所以 9 的算数平方根是 3 解 选 B 例 6 化简 4 A 2 B 2 C 4 D 4 08 年甘肃省白银市 分析 理解的意义是解题的关键 的意义实际上就是求正数 4 的算术平方根 所44 以 应该只有一个 为正数 并且这个数的平方应该等于 4 这样只有选项 A 符合要求 解 选 A 化简 08 年安徽省 2 4 分析 分析 因为 4 2 16 的意义是求正数 16 的算数平方根 因为 2 4 42 16 所以 4 2 4 考点考点 3 3 二次根式 二次根式 知识回顾 知识回顾 形如 a 0 的式子 叫做二次根式 a 知识特点 知识特点 1 被开放数 a 是一个非负数 2 二次根式是一个非负数 即 0 aa 3 有限个二次根式的和等于 0 则每个二次根式的被开方数必须是 0 考查题型考查题型 例 7 若式子在实数范围内有意义 则x的取值范围是5x A x 5B x 5C x 5D x 5 08 常州市 分析 在这里二次根式的被开方数是 x 5 要想使式子在实数范围内有意义 5x 必须满足条件 x 5 0 所以 x 5 因此 选项 D 是正确的 解 选 D 例 8 若 则 08 年遵义市 230ab 2 ab 分析 因为 a 2 和都是非负数 并且它们的和是 0 3 b 所以 a 2 0 且 0 所以 a 2 b 3 3 b 所以 a2 b 4 3 1 例 9 若实数满足 则 xy 的值是 08 年宁波市 xy 2 2 3 0 xy 分析 因为 和都是非负数 并且它们的和是 0 2 x 2 3 y 所以 0 且 0 所以 x 2 y 2 x 2 3 y3 所以 xy 2 3 考点考点 4 4 二次根式的化简与计算 二次根式的化简与计算 知识回顾 知识回顾 二次根式的化简 实际上就是把二次根式化成最简二次根式 然后 通过合并同类 二次根式的方法进行二次根式的加减运算 知识特点 知识特点 二次根式的加减运算 a b a b m 0 mmm 二次根式的乘法运算 a 0 b 0 abab 二次根式的除法运算 a 0 b 0 ab b ab b a 二次根式的乘方运算 a a 0 2 a 二次根式的开方运算 2 a 0 0 a a aa 考查题型考查题型 例 10 下列计算正确的是 A B 2 34 26 5 84 2 C D 08 年聊城市 2733 2 3 3 分析 这就是二次根式化简的综合题目 2与 4的被开方数不相同 所以 它们不32 是同类二次根式 所以 不能进行合并计算 所以 A 是错误的 因为 所以 B 也是错误的 2222248 2 因为 所以 C 是正确的 27339327 根据二次根式的开方公式 得到 D 是错误的 解 选 C 例 11 若baybax 则xy的值为 A a2 B b2 C ba D ba 08 年大连市 分析 xy a b 所以 D 是正确的 ba ba 2 a 2 b 解 选 D 考点考点 5 5 最简二次根式 最简二次根式 知识回顾 知识回顾 满足下列条件的二次根式 叫做最简二次根式 1 被开方数的因数是整数 因式是整式 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 知识特点 知识特点 1 最简二次根式中一定不含有分母 2 对于数或者代数式 它们不能在写成 an m 的形式 考查题型考查题型 例 12 下列根式中属最简二次根式的是 A B C D 08 年湖北省荆州市 2 1a 1 2 827 分析 因为 B 中含有分母 所以 B 不是最简二次根式 而 8 22 2 27 32 3 所以 选项 C D 都不是最简二次根式 所以 只有选项 A 是正确的 解 选 A 考点考点 6 6 估算 估算 例 13 估计 1 3220 2 的运算结果应在 08 年芜湖市 分析 524201620 2 1 32 因为 4 5 9 所以 所以 2 3 954 5 所以 4 2 6 5 所以 4 4 2 4 6 4 所以 8 2 4 10 也就是在 8 到 9 之间 55 解 选择 C 考试题型归纳考试题型归纳 一一 基本概念型基本概念型 例例 1 二次根式中 字母的取值范围是 a 1 A B C D a 1a 1a 1a 1 析解 形如的式子叫二次根式 其中被开方数 a 的取值范围是 则a a 0a 0 二次根式中 即 故选 C a 1a 10a 1 说明 注意二次根式中被开方数是非负数这个隐含条件是解题关键 例例 2 在下列根式中 最简二次根式有 4 528 3 abx A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个 析解 最简二次根式的概念是 1 被开方式的因数是整数 因式是整式 2 被 开方数中不含能开得尽方的因数或因式 而 所以最简二次2282 2 3 aaaxx 根式有两个 故选 C 4 5 b 例例 3 下列根式中 与是同类二次根式的是 3 A B C D 2412 3 2 18 析解 几个二次根式化成最简二次根式以后 如果被开方数相同 这几个二次根式 叫做同类二次根式 而 所以与是242 6122 3 3 2 6 2 183 2 3 同类二次根式的是 故选 B 12 二二 性质运用型性质运用型 例例 4 已知 则化简的结果是 x 2xx 2 44 A B C D x 2x 2 x22 x 析解 因为 所以xxxx 22 4422 x 2x 20 故选 Dxxx 2 442 例例 5 化简得 44123 22 xxx A 2B C D 44x 244x 析解 因为 230 x xxx 3 2 2323 2 所以2104412121 2 xxxxx 故 故选 A 4412321232 22 xxxxx 说明 以上二例主要应用二次根式的性质 1 2 aa a a a a 2 0 0 正确应用二次根式的性质是解决本题的关键 aa a 2 0 三三 结论开放型结论开放型 例例 6 先将化简 然后自选一个合适的 x 值 代入化简后的式子 x x x xx 2 22 32 求值 析解 这是一道结论开放题 它留给我们较大的发挥和创造空间 但要注意 x 的取 值范围是 x 2 原式 x x xx x x xx 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x x xxx 2 2 2 取 原式 x 2 x 4 2 四四 大小比较型大小比较型 例例 7 用计算器计算 根据你发现的规律 21 21 31 31 22 41 41 51 51 22 判断 与 n 为大于 1 的整数 的值的大小关系为 P n n 2 1 1 Q n n 11 11 A B C D 与 n 的取值有关PQ PQ PQ 析解 利用计算器计算得 从而可以推断 21 21 31 31 41 41 51 51 2222 故选 C P n n Q n n 22 1 1 11 11 例例 8 设 则 a b c 的大小关系是 abc 322352 A B C D abc acb cba bca 析解 同理 11 32 32 3232 32 a 1 23 1 52 bc 因为 所以 故选 A 5223320 111 0 cba cba 五五 判断正误型判断正误型 例例 9 化简时 甲的解法是 3 52 乙的解法是 3 52 352 5252 52 以下判断正确的是 3 52 5252 52 52 A 甲的解法正确 乙的解法不正确 B 甲的解法不正确 乙的解法正确 C 甲 乙的解法都正确 D 甲 乙的解法都不正确 析解 甲是将分子和分母同乘以进行分母有理化 乙是利用52 进行约分 所以二人都是正确的 故选 C 35252 例例 10 对于题目 化简并求值 其中 甲 乙两人的解 11 2 2 2 aa a a 1 5 答不同 甲的解答是 11 2 111149 5 2 22 aa a aa a aa a 乙的解答是 11 2 11111 5 2 22 aa a a a aa a a 谁的解答是错误的 为什么 析解 乙的解答是错误的 因为当时 所以 而应当是a 1 5 1 5 1 0 a a a a a a a 11 2 a aa a 11 2 六六 规律探索型规律探索型 例例 11 细心观察图形 认真分析各式 然后解答问题 112 1 2 2 1 S 213 2 2 2 2 S 314 3 2 2 3 S 1 请用含有 n n 是正整数 的等式表示上述变化规律 2 推算出的长 OA10 3 求出的值 SSSS 1 2 2 2 3 2 10 2 析解 1 通过类比 可推知 nnS n n 2 11 2 2 OAOAOAOA 12310 12310 3 SSSS 1 2 2 2 3 2 10 2 1 2 2 2 3 2 10 2 1 4 12310 55 4 2222 七七 计算说理型计算说理型 例例 12 有这样一道题 计算 的值 其中 xx xx xx xx xx 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 某同学把 错抄成 但他的计算结果是正确的 请回x 1005x 1005x 1050 答这是怎么回事 试说明理由 析解 这是一道说理型试题 既然 x 的值取错 计算结果仍是正确 那么可以猜测 此二次根式化简后与 x 的值无关 这时应从二次根式的化简入手 揭开它神秘的面纱 原式 xx xxxx xx xxxx x 22 22 22 22 2 4 44 4 44 xxx xxxx x x x x 222222 2 2 2 424 4 424 4 48 4 2 八八 数形结合型数形结合型 例例 13 如图 1 正方形网格中 每个小正方形的边长为 1 则网格上的三角形 ABC 中 边长为无理数的边数有 A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个 图 1 析解 由题意知 BC 2313 22 ACAB 3455126 2222 所以边长为无理数的边数是 2 个 故选 C 例例 14 数轴上的点并不都表示有理数 如图 2 中数轴上的点 P 所表示的数是 2 这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做 图 2 A 代入法B 换元法C 数形结合D 分类讨论 析解 本题 形 数 结合 所反映的正是数学中的一种思想方法 数形结合 故 选 C 九九 阅读理解型阅读理解型 例例 15 我国古代数学家秦九韶在 数书九章 中记述了 三斜求积术 即已知三角形的三边长 求它的面积 用现代式子表示即为 其中 a b c 为三角形的三边长 s 为面积 sa b abc 1 42 22 222 2 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式 其中 sp papbpc p abc 2 1 若已知三角形的三边长分别为 5 7 8 试分别运用公式 和公式 计算该 三角形的面积 s 2 你能否由公式 推导出公式 请试试 析解 1 s 1 4 57 578 2 22 222 2 1 2 571 5 2 4810 3 222 又 p 1 2 57810 s10 105 107 1081053210 3 2 1 42 22 222 2 a b abc 1 422 222222 ab abc ab abc 1 16 2222 cababc 1 16 1 16 2222222 cab cab abc abc papbppc p papbpc 1 42 22 222 2 a b abc p papbpc 解题策略解题策略 一 二次根式的定义一 二次根式的定义 例 1 函数的自变量 x 的取值范围是 yx 21 A xB xC xD x 1 2 1 2 1 2 1 2 解题策略 根据二次根式的定义 被开方数必须是非负数 答案为 A 例 2 函数的自变量 x 的取值范围是 y x x x 1 2 5 3 AxBx CxxDxx 2525 253253 且且 解题策略 根据二次根式的定义 被开方数必须是非负数 还应特别注意分式的分 母不能为零 答案为 C 二 二次根式的性质二 二次根式的性质 例 3 若 则 xy 的值等于 yyxy 2 4410 A 6B 2C 2D 6 解题策略 紧扣二次根式是一个非负数的性质 可以得到 a a 0 故 答案为 A y xy 20 10 2 xy 32 例 4 如果 那么 x 的取值范围是 xx 22 2 A xB xc xD x 2222 解题策略 运用二次根式是一个非负数的性质知 答案为a a 0 x 20 C 例 5 若 b 0 化简的结果是 ab3 Ab abB babCbabD b ab 解题策略 紧紧抓住二次根式被开方数必须是非负数 由二次根式的性质 aa a a a a abab bb ab 2 32 0 0 知 答案为 C 三 最简二次根式三 最简二次根式 例 6 把二次根式化成最简二次根式为 x y x y 0 例 7 下列各式中属于最简二次根式的是 AxBx yCD 225 11205 解题策略 最简二次根式必须满足下列两个条件 1 被开方数的因数是整数 因 式是整式 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 例 6 的答案为 例 7 的答案为 A xy 四 同类二次根