matlab进行图像变换域分析

课程设计任务书课程设计任务书 学生姓名 学生姓名 专业班级 专业班级 通信通信 10051005 班班 指导教师 指导教师 工作单位 工作单位 信息工程学院信息工程学院 题题 目目 利用 MATLAB 仿真软件系统进行图像变换域分析 初始条件 初始条件 装有 matlab 的 pc 机一台 要求完成的主要任务要求完成的主要任务 包括课程设计工作量及其技术要求 以及说明书撰写等具体要求 利用 MATLAB 仿真软件进行图像的变换域分析 要求 读取图像并求图像的奇异值 SVD 分解 正交分解 QR 离散余弦变换 DCT 离散傅利叶变换 DFT 小波变换 DWT 并保存和显示变换后的图像 课程设计进度安排 课程设计进度安排 1 方案设计 1 天2 软件设计 2 天 3 系统调试 1 天4 答辩 1 天 指导教师签名 指导教师签名 年年 月月 日日 系主任 或责任教师 签名 系主任 或责任教师 签名 年年 月月 日日 武汉理工大学 matlab 课程设计 报告 1 目录 摘 要 2 Abstract 3 1 matlab 基本操作 4 1 1 基础知识 4 1 2 图像的读取及程序 4 2 matlab 图像操作 6 2 1 图像的奇异值分解 6 2 1 1 奇异值分解理论知识 6 2 1 2 程序及运行结果 6 2 2 图像的正交分解 9 2 2 1 正交分解理论知识 9 2 2 2 程序及运行结果 9 2 3 图像的离散余弦变换 10 2 3 1 离散余弦变换理论基础 10 2 3 2 程序及运行结果 11 2 4 图像的离散傅利叶变换 12 2 4 1 离散傅利叶变换理论基础 12 2 4 2 程序及运行结果 14 2 5 图像的小波变换 15 2 5 1 小波变换的理论基础 15 2 4 2 程序及运行结果 18 三 收获 体会和建议 21 四 参考文献 23 武汉理工大学 matlab 课程设计 报告 2 摘 要 MATLAB 语言是由美国 MathWorks 公司推出的计算机软件 经过多年的逐步发展与不 断完善 现已成为国际公认的最优秀的科学计算与数学应用软件之一 是近几年来在国内外 广泛流行的一种可视化科学计算软件 它集数值分析 矩阵运算 信号处理和图形显示于一 体 构成了一个方便的 界面友好的用户环境 而且还具有可扩展性特征 MATLAB 是一种向量语言 非常适合于图像处理 其自带的数字图像处理工具箱包括 15 类函数 支持四种图像类型 并可相互转换 ATLAB 可操作的图像文件包括 BMP HDF JPEG PCX TIFF XWD 等格式 本文介绍了 MATLAB 语言的特点以及图 像处理工具箱实现的经典图像处理技术 总体介绍了 对图像的基本操作 以及对图像进行 FFT 变换 DCT 变换 SVD 变换 QR 变换 小波变换等 通过对一副图像通过 MATLAB 的图像工具箱箱中 imread imshow subplot figure 等 基本图像处理函数以及 fft fft2 dct dct2 svd qr wavedec2 等图像矩阵变换函数 进行处理 能大致基本展示 MATLAB 对图像处理方面的强大功能 并且通过本次课程设计 掌握了这 款软件的基本操作 其图像工具栏的基本函数 以及对图像进行的一些增强操作等 武汉理工大学 matlab 课程设计 报告 3 Abstract MATLAB language is introduced by the United States MathWorks computer software after years of gradual development and continuous improvement which has become internationally recognized as the best scientific computing and mathematical application one at home and abroad in recent years widespread a kinds of scientific visualization software It combines numerical analysis matrix computation signal processing and graphical display on the whole constitute a convenient user friendly user environment but also has the scalability characteristics MATLAB is a vector language is very suitable for image processing its built in digital image processing toolbox including 15 class functions in support of four kinds of image types and can be interchangeable ATLAB operable image files including BMP HDF JPEG PCX TIFF XWD and other formats This article describes the characteristics of the language of the MATLAB image processing toolbox to achieve the classic image processing technology Presented an overview on the basic operation of the image as well as images FFT transform DCT transform SVD transform QR transform wavelet transform Through an image through the MATLAB image toolbox box imread imshow subplot figure the basic image processing functions and fft fft2 dct dct2 svd qr wavedec2 other image matrix transformation functions for processing can be roughly demonstrate the basic aspects of MATLAB for image processing power And through this curriculum design and mastered the basic operation of this software and its basic function of the image toolbar as well as a number of images to enhance operations and so on 武汉理工大学 matlab 课程设计 报告 4 1 matlab 基本操作 1 11 1 基础知识基础知识 Matlab 中基本变量都是以矩阵的形式保存的 一幅图像即是一个二维的矩阵 变量名 区分大小写 如 a 和 A 表示两个不同的变量 图像 I 中第 i 行第 j 列的像素用 I i j 表示 其中行号和列号都从 1 开始计数 要了解更多关于 Matlab 的基本知识 可看 Matlab help 下的 Matlab 目录 本实验可能用到的 matlab 函数有 zeros imwrite imread imshow FFT2 abs log min max 查询具体的函数用法可 以在 Matlab help 中查找 或在 Matlab command window 中打 空格 函数名 在 Matlab command window 中的命令在打回车后直接执行 也可以在 m file editor 中 编写程序 存盘为 m 文件后 按 Debug 菜单下的 Run 自动逐条执行命令 Debug 菜单 下还提供了设置断点逐行执行等调试命令 做本实验时可先在 command window 中熟悉 Matlab 命令与函数 最后所有命令应保存在一个 m 文件中 便于检查和调试 每次画图前可用 figure 命令新开一个图像窗口 否则前一次显示的图像会被新的图像 覆盖 也可用 figure n 命令规定当前图像窗口序号 1 21 2 图像的读取图像的读取及程序及程序 在编辑窗口中 如下编辑 M 文件 表示注释部分 清除 MATLAB 中所有的工作平台变量 关闭打开的图形窗口 clear close all I imread C Users Administrator Pictures 002 jpg 读取一张图像到I figure imshow I 调用函数显示导入的图像 在命令窗口中运行函数 可得到 figure 的运行结果了所选的图片 如图 1 1 所示 武汉理工大学 matlab 课程设计 报告 5 图 1 1 武汉理工大学 matlab 课程设计 报告 6 2 matlab 图像操作 2 1 图像的奇异值分解 2 1 1 奇异值分解理论知识 定义1 对于矩阵 有个标量满足 NN AN 1 2 i iN 公式 2 1 0 i AI 则称这一组为矩阵唯一的特征值 i A 定义 2 如果存在这样一个的向量 有 1N i V 公式 2 2 iii AVV 则称为的与特征值对应的一个特征向量 一共有个特征向量 i V A i AN 定义 3 矩阵奇异值分解 矩阵的奇异值分解 Singular Value Decomposition 简称 SVD 是矩阵所固有的特征 设矩阵 那么矩阵的奇异值 m n AR rank Ar rn A 分解定义如下 公式2 3 1 1212 1 00 00 r TT mnjjj j r m n AUDVu uuv vvu v 其中 和是正交矩阵 其列向量分别为和 1 m m m UuuR 1 n n n VvvR i u i v U V 分别称为矩阵 A 的左奇异矩阵和右奇异矩阵 D 是对角阵 称作矩阵 1 i ir 的奇异值 此处是或的特征值的正平方根 满足 A T AA T A A i 121 0 rrm 矩阵奇异值具有很好的稳定性 当矩阵 A 有微小振动时 其奇异值的改变不会大于 振动矩阵的 2 范数 若矩阵奇异值经过归一化处理 则可实现奇异值的比例不变性 另 外 矩阵奇异值还具有旋转不变性 因此 奇异值能有效地反映矩阵的特征 在图像处 理中能表现图像的代数特性 2 1 2 程序及运行结果 I imread C Users Administrator Pictures 002 jpg II rgb2gray I 将图像转换为灰度图像 武汉理工大学 matlab 课程设计 报告 7 A im2double II U S V svd A 对图像做svd分解 SN U S V SN等价于原图像 SM U S V subplot 1 6 1 建立子图 imshow II subplot 1 6 2 imshow U subplot 1 6 3 imshow S subplot 1 6 4 imshow V subplot 1 6 5 imshow SM subplot 1 6 6 imshow SN 运行结果如图2 1所示 各图像依次为原图像转换为灰度图后的图像 矩阵U等价的图 像 矩阵S等价的图像 矩阵V等价的图像 矩阵SM等价的图像 矩阵SN等价的图像 武汉理工大学 matlab 课程设计 报告 8 图2 1a svd变换后运行结果 从左至右依次为 原图像转换为灰度图后的图像 矩阵U等价的图像 矩阵S等价的图像 图2 1b svd变换后运行结果 从左至右依次为 矩阵V等价的图像 矩阵SM等价的图像 矩阵SN等价的图像 2 22 2 图像的正交分解图像的正交分解 2 2 1 正交分解理论知识 实数矩阵 A 的 QR 分解分解是把 A 分解为 公式2 4 QRA 这里的 Q 是正交矩阵 意味着 QTQ 1 而 R 是上三角矩阵 类似的 我们可以定义 A 的 QL RQ 和 LQ 分解 更一般的说 我们可以因数分解复数 m n 矩阵 有着 m n 为 m n 酉矩阵 在 Q Q 1的意义上 和 n n 上三角矩阵的乘积 如果 A 是非奇异的 则这个因数分解为是唯一 当我们要求 R 的对角是正数的时 候 武汉理工大学 matlab 课程设计 报告 9 2 2 2 程序及运行结果 I imread C Users Administrator Pictures 002 jpg II rgb2gray I A im2double II Q R qr A 0 对矩阵A进行经济型QR分解 B Q R subplot 1 3 1 imshow II subplot 1 3 2 imshow Q subplot 1 3 3 imshow R 运行结果如图2 3所示 各图像从左至右依次为原图像转换为灰度图后的图像 矩阵 Q 等价的图像 矩阵 R 等价的图像 图2 3 对图像进行正交分解后的显示窗口 武汉理工大学 matlab 课程设计 报告 10 从左至右 原始灰度图 分解后 Q 矩阵代表图 分解后 R 矩阵代表图 2 32 3 图像的离散余弦变换图像的离散余弦变换 2 3 1 离散余弦变换理论基础 离散余弦变换 尤其是它的第二种类型 经常被信号处理和图像处理使用 用于对信 号和图像 包括静止图像和运动图像 进行有损数据压缩 这是由于离散余弦变换具有很 强的 能量集中 特性 大多数的自然信号 包括声音和图像 的能量都集中在离散余弦变换 后的低频部分 离散余弦变换 Discrete Cosine Transform 的计算速度要比对象为复数的离散傅 立叶变换块得多 并且已经被广泛应用到图像压缩编码 语音信号处理等众多领域 一维离散余弦变换的定义可以用下式表示 公式 2 5 公式 2 6 式中是第个余弦变换系数 是广义频率变量 是时域 uFuu1 2 1 Nu xf 点序列 N1 2 1 0 Nx 公式 2 7 二维离散余弦变换的定义由下式表示 公式 2 8 其中为空间域中二维向量 为变换系数矩阵 yxf1 2 1 0 Nyx vuF 1 2 1 Nvu 2 3 2 程序及运行结果 如下编辑 M 程序 可得如图 2 4 所示的经离散余弦变换后的图像 I imread C Users Administrator Pictures 002 jpg 1 0 1 0 N x xf N F 1 0 2 1 2 cos 2 N x N ux xf N uF 1 1 2 12 cos 2 0 1 N u N ux uF N F N xf 1 0 1 0 2 12 cos 2 12 cos 2 N x N y N vy N uy yxf N 武汉理工大学 matlab 课程设计 报告 11 S dct2 II subplot 1 2 1 imshow I subplot 1 2 2 imshow log abs S 输出频谱二维图像 colormap jet 64 定义色图为HSV变异真彩色图 运行结果如图 2 4 所示 各图像从左至右依次为原图像 dct 变换后输出图像 图 2 4 dct 变换后窗口显示图像 从左至右依次为 原始图像 dct 变换后图像 武汉理工大学 matlab 课程设计 报告 12 2 4 图像的图像的离散傅利叶变换离散傅利叶变换 2 4 1 离散傅利叶变换理论基础 离散傅立叶变换还有一个明显的优点就是具有快速算法 即快速傅立叶算法 Fast Fourier Transform 它可以大大减少计算次数 使计算量减少到只是相当于直接使用离散 傅立叶变换所用的一小部分 并且 二维离散傅立叶变换很容易从一维的概念推广得到 在数字图像处理中 二维离散傅立叶被广泛的应用于图像增强 复原 编码和分类中 如果为一长度为 N 的数字序列 则其离散傅里叶正变换定义由下式来表示 公式 2 9 二维离散函数的傅立叶变换为 yxf 公式 2 10 离散傅里叶变换已成为数字信号处理的重要工具 但是它的计算量较大 运算时间长 在某种程度上限制了它的使用 为了解决这一矛盾 引用了快速傅里叶变换的思想 快速傅立叶算法以的组成状况可以分成为 2 的整数幂的算法 为高复合数的NNN 算法 为素数的算法三种情况 这里介绍第一种算法 N 令 NxjWN 2exp 一维离散傅立叶变换公式变为 公式 2 11 分别为 再令xu 1 2 1 0 N n N2 2 1 0 n 在此基础上 将分解成为和对应的偶数和奇数两部分 的取值 xf 2 xf 12 xf x 范围由原来的 0 到改为 0 到 下面我们按照奇偶来将序列进行划分 设 1 N 1 2 N nf 公式 2 12 1 0 N n un N WnfuF 1 2 0 1 2 0 12 2 12 2 N n N n nu N nu N WnfWnf 因此 离散傅立叶变换可以改写成下面的形式 1 0 1 0 1 2 exp 1 N x N x ux N Wxf N uxNjxf N uF 1 0 2 exp N x N ux jxfxfuF 12 2 nfnh nfng 1 2 3 2 1 0 N n 2 N 武汉理工大学 matlab 课程设计 报告 13 公式 2 13 因此 一个求点的离散傅立叶变换可以被转换成为两个求 点的离散傅立叶变换 N 可以进一步写出 8 点 DFT 的完整 FFT 计算的流程框图 如图 2 5 图 2 5 FFT 计算的流程框图 2 4 2 程序及运行结果 I imread C Users Administrator Pictures 002 jpg II rgb2gray I figure 1 imshow II colorbar j fft2 II k fftshift j 做fft变换 同时将零点移到中 心 figure 2 l log abs k 1 0 1 0 2exp M x N y N vy M ux jyxfyxfvuF 武汉理工大学 matlab 课程设计 报告 14 imshow l 显示频谱 colorbar n ifft2 j 255 做fft逆变换 figure 3 imshow n colorbar 运行结果如图 2 6 所示 各图像从左至右依次为原图像 快速傅里叶变换后输出图像 快速傅里叶逆变换后输出图像 图 2 6 fft 变换后窗口显示图像 从左至右依次为 原始灰度图 fft 变换后图 fft 逆变换后图 2 52 5 图像的小波变换图像的小波变换 2 5 1 小波变换的理论基础 小波 Wavelet 这一术语 顾名思义 小波 就是小的波形 所谓 小 是指它具有衰减性 而称之为 波 则是指它的波动性 其振幅正负相间的震荡形式 与 Fourier 变换相比 小 波变换是时间 空间 频率的局部化分析 它通过伸缩平移运算对信号 函数 逐步进行多尺 武汉理工大学 matlab 课程设计 报告 15 度细化 最终达到高频处时间细分 低频处频率细分 能自动适应时频信号分析的要求 从而可聚焦到信号的任意细节 解决了 Fourier 变换的困难问题 成为继 Fourier 变换以来 在科学方法上的重大突破 有人把小波变换称为 数学显微镜 傅里叶与小波两者都是基 信号都可以分成无穷多个他们的和 叠加 而 展开系数就是基与信号之间的内积 更通俗的说是投影 展开系数大的 说明信号和基 是足够相似的 这也就是相似性检测的思想 但我们必须明确的是 傅里叶是 0 2pi 标准 正交基 而小波是 inf 到 inf 之间的基 因此 小波在实轴上是紧的 而傅里叶的基 正 弦或余弦 与此相反 而小波能不能成为 Reisz 基 或标准稳定的正交基 所有满足容 许性条件 从 INF 到 INF 积分为零 的函数 都可以成为小波 小波作为尺度膨胀和空 间移位的一组函数也就诞生了 对于任何一个尺度 a 和平移因子 b 的小波 和原信号内积 所得到的小波系数 都可以表示成 在 a b 附近生成的小波 投影后小波系数的线性组 合 这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西 它顶多也只能作为一种积分变换或基 但它的显微镜特点和相似性检测能力 已经显现出来了 经过一次小波分解后 图像都 被分解为四个 1 4 大小的图像 它们都是由原图与一个小波基图像的内积后 再经过在行 和列方向进行 2 倍的间隔抽样而生成的 设 y t L2 R L2 R 表示平方可积的实数空间 即能量有限的信号空间 其傅里叶变 换为 Y w 当 Y w 满足允许条件 Admissible Condition 公式 2 14 时 我们称 y t 为一个基本小波或母小波 Mother Wavelet 将母函数 y t 经伸缩和平 移后 就可以得到一个小波序列 对于任意的函数 f t L2 R 的连续小波变换为 公式 2 15 Haar 函数是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数 同时也是最 简单的一个函数 它是非连续的 类似一个阶梯函数 Haar 函数与 db1 小波函数是一样 R C d 2 其它0 101 x x 武汉理工大学 matlab 课程设计 报告 16 的 Haar 函数的定义为 公式 2 16 尺度函数为 公式 2 17 在实际运用中 尤其是在计算机上实现 连续小波必须加以离散化 因此 有必要 讨论一下连续小波 ya b t 和连续小波变换 Wf a b 的离散化 下列三个二维小波基是建立二维小波的基础 y1 x y f x y y y2 x y y x f y y3 x y y x y y 它们构成二维平方可积函数空间 L2 R2 的正交归一基 公式 2 18 二维离散小波分解的过程如下 从一幅 N N 的图像 f1 x y 开始 其中上标指示尺度 N 是 2 的幂 对于 j 0 2j 20 1 尺度 也就是原图像的尺度 j 值的每一次增大都使尺度加倍 而使分辨 率减半 在变换的每一层次 图像都被分解为四个 1 4 大小的图像 它们都是由原图与一个小 波基图像的内积后 再经过在行和列方向进行 2 倍的间隔抽样而生成的 对于第一个层 次 j 1 可写成 公式 2 19 公式 2 20 其其0 1 2 1 1 2 101 x x H R 2 1 d t a bt tfafbaW baf 3 2 1 0 2 2 2 Z nmljljnymxyyx jjljl nmj 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 0 2 nymxyxfnmf nymxyxfnmf nymxyxfnmf nymxyxfnmf 武汉理工大学 matlab 课程设计 报告 17 公式 2 21 公式 2 22 后续的层次 j 1 依次类推 形成如图 2 7 所示的形式 图2 7 二维离散小波分析原理示意图 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 0 2 nymxyxfnmf nymxyxfnmf nymxyxfnmf nymxyxfnmf 武汉理工大学 matlab 课程设计 报告 18 在 matlab 中可以借助函数 wavedec2实现二维小波变换 进行二维信号的多层小波分 解 格式 C S wavedec2 X N wname C S wavedec2 X N Lo D Hi D 其中 C S wavedec2 X N wname 使用小波基函数 wname 对二维信号 X 进行 N 层分 解 C S wavedec2 X N Lo D Hi D 使用指定的分解低通和高通滤波器 Lo D 和 Hi D 分解信号 X 别可以实现一维 二维和 N 维 DFT 2 4 2 程序及运行结果 Clear all clc 清楚上次程序执行结果 I imread C Users Administrator Pictures 002 jpg II rgb2gray I imshow II A im2double II L H wfilters haar d 调用haar小波的分解和综合滤波器系数 只返 回 Lo D和Hi D的分解滤波器系数 C S wavedec2 A 1 L H 对图像进行二维信号的多层小波分解 使用指定的分解低通和高通滤波器 L 和 H 分解信号 A 可以实现一维DFT 其中C是小波 变换后的结果数据 以一维矢量的形式组织 S 是二维矩阵 记录了C中数据的分布形式 isize prod S 1 cA C 1 isize cH C isize 1 isize cV C 2 isize 1 isize cD C 3 isize 1 isize cA reshape cA S 1 1 S 1 2 cH reshape cH S 2 1 S 2 2 武汉理工大学 matlab 课程设计 报告 19 cV reshape cV S 2 1 S 2 2 cD reshape cD S 2 1 S 2 2 figure colormap gray subplot 2 2 1 imagesc cA 显示cA图像并显示标尺 subplot 2 2 2 imagesc c